高中数学第三章 数学建模活动（二）2 测量和自选建模作业的汇报交流学案设计

§1　建筑物高度的测量

§2　测量和自选建模作业的汇报交流

知识点1　数学建模的概念

把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模．

知识点2　正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

测量底部不能到达的建筑物的高度时，往往需要在经过建筑物底部的水平面内引一条基线．

(1)当基线CD与建筑物AB在同一铅垂面内时，如图，需要测量哪些数据？如何计算该建筑物的高度？

[提示]　测量出基线CD的长及在C，D处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，

在Rt△ABD中，BD＝，

在Rt△ABC中，BC＝，

∴a＝CD＝BC－BD＝－.

∴AB＝.

(2)当基线CD与建筑物AB不在同一铅垂面内时，如图，需要测量哪些数据？如何计算该建筑物的高度？

[提示]　测量出基线CD的长及在C处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，在平面BCD内，测量出∠BCD与∠BDC的度数．

在△BCD中，BC＝×sin D.

∵AB⊥BC ，

∴∠BAC＝－∠ACB.

∴在△ABC中，AB＝×sin ∠ACB＝×sin ∠ACB.

∴AB＝×sin ∠ACB＝.

类型1　基线与建筑物在同一铅垂面内

【例1】　如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.

[解]　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.

根据正弦定理得＝，即＝，

∴AC＝＝.

在Rt△ACD中，CD＝AC sin ∠CAD

＝AC sin β＝.

所以，山的高度为.

解三角应用题的一般步骤

(1)准确理解题意，分清已知和所求，尤其要理解应用题中的名词和术语；

(2)画出示意图，并在图形中标注出已知条件；

(3)若已知量与未知量涉及多个三角形，则需要利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，并作答．

1．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度．(精确到1m.≈1.4142，sin 35°≈0.5736).

[解]　过点D作DE∥AC交BC于E，

因为∠DAC＝20°，

所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.

又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.

在△ABD中，

由正弦定理得，AB＝＝1000(m).

在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈811(m).

所以，山的高度约为811m.

类型2　基线与建筑物不在同一铅垂面内

【例2】　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.

[解]　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.

因此只需在△ABD中求出AD即可，

在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，

由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m).

所以，山的高度为800(＋1)m．

测量高度时，要准确理解仰角、俯角的数学含义．它是将实际问题转化为数学问题的关键．

2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD.

[解]　依题意，∠CAB＝30°，AB＝600 m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，

∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.

由正弦定理，得BC＝·sin ∠CAB＝×sin 30°＝300，

∴CD＝BC tan ∠CBD＝300×tan 30°＝100(m).

所以，山的高为100m.

1．如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．

[解]　选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．

由在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高是h.

那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC＝，

AB＝AE＋h＝AC sin α＋h＝＋h.

所以，该建筑物高度AB为＋h.

2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，求电视塔的高度．

[解]　由题意画出示意图，

设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，

在Rt△ABD中，由已知BD＝h，在△BCD中，

由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD，

即3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500.

所以，电视塔的高度为500m.

3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案：包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．

[解]　方案1：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示).

②第一步：计算AM，由正弦定理，得AM＝；

第二步：计算AN，由正弦定理，得AN＝；

第三步：计算MN，由余弦定理得：MN＝.

方案2：①需要测量的数据有：

A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示).

②第一步：计算BM，由正弦定理，得BM＝；

第二步：计算BN，由正弦定理，得BN＝；

第三步：计算MN，由余弦定理得：MN＝.

4.某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．

[解]　在△BCD中，CD＝40m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠DBC＝45°＋90°＝135°.

由正弦定理，得＝，

∴BD＝＝＝20(m).

在Rt△ABE中，tan ∠AEB＝，AB为定值，故要使∠AEB最大，需要BE最小，

即BE⊥CD，这时∠AEB＝30°.

在△BCD中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，

∴BE＝BD·sin ∠BDE＝20sin 15°＝10(－1)(m).

在Rt△ABE中，AB＝BE tan ∠AEB＝10(－1)·tan 30°＝(3－)(m).

所以，塔的高度为(3－)m．