2022届高考数学一轮复习第六章不等式6.4推理与证明学案理含解析北师大版

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第四节　推理与证明
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节是高考的热点，一般以选择题或填空题的形式考查合情推理和演绎推理；直接证明、间接证明和数学归纳法，一般以函数、不等式、数列等为背景进行考查，题型以解答题为主，综合性较强．
本节主要考查考生的逻辑推理核心素养．

授课提示：对应学生用书第129页
知识点一　合情推理与演绎推理
1．合情推理
类型
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理
2．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
• 温馨提醒 •
1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．
2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．

1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是（　　）
A．an＝3n－2　　　　 B．an＝4n－3
C．an＝n2 D．an＝3n－1
解析：由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，得a2＝4，a3＝9，a4＝16．猜得an＝n2．故选C．
答案：C
2．演绎推理“因为对数函数y＝logax（a>0且a≠1）是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数”所得结论错误的原因是（　　）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误
解析：因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，当00，求证： －≥a＋－2．
[证明]　因为a>0，要证原不等式成立，只需证＋2≥a＋＋，
即证a2＋＋4＋4≥＋2＋2，
只需证·≥a＋，
即证2≥a2＋＋2，
只需证a2＋≥2．
由基本不等式知a2＋≥2显然成立，
所以原不等式成立．

分析法证明问题的思路与适用范围
（1）分析法的思路：
“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“要证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．
（2）分析法证明问题的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
考法（二）　综合法
[例2]　若任意x∈D，总有f（x）e（其中e是自然对数的底数）用分析法求证：ba>ab．
证明：因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证aln b>bln a，只需证>．
取函数f（x）＝，因为f′（x）＝，所以当x>e时，f′（x）b>e时，有f（b）>f（a），
即>．得证．
2．设a>0，b>0，且a2＋b2＝＋．证明：a2＋a