2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.6离散型随机变量及其分布列学案理含解析北师大版

第六节　离散型随机变量及其分布列

授课提示：对应学生用书第220页

知识点一　离散型随机变量

1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i＝1，2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，则表

称为离散型随机变量X的概率分布列．

（2）离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0（i＝1，2，…，n）；②p1＋p2＋…＋pn＝1．

1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（　　）

A．至少取到1个白球　 B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数  D．取到的球的个数

解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2．

答案：C

2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取得红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是（　　）

A．X＝4  B．X＝5

C．X＝6  D．X≤5

解析：事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，所以X＝6．

答案：C

3．设随机变量X的分布列如下：

则p＝_________．

解析：由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，

所以p＝1－＝．

答案：

知识点二　离散型随机变量的分布列

1．两点分布

像

这样的分布列叫做两点分布列．

如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P（X＝1）为成功概率．

2．超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P（X＝k）＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．

• 温馨提醒 •

利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．

1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X＝4）＝_________．

解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P（X＝4）＝＝．

答案：

2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P（X＝0）＝_________．

解析：由已知得X的所有可能取值为0，1，且P（X＝1）＝2P（X＝0），由P（X＝1）＋P（X＝0）＝1，得P（X＝0）＝．

答案：

3．设随机变量X的分布列为

则P（|X－3|＝1）＝_________．

解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，

P（|X－3|＝1）＝P（X＝2）＋P（X＝4）

＝＋＝．

答案：

授课提示：对应学生用书第221页

题型一　离散型随机变量分布列的性质　　

1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则q的值为（　　）

A．1　　　　　　　　　 B．±

C．－  D．＋

解析：由分布列的性质知

解得q＝－．

答案：C

2．设随机变量X的概率分布列如下表所示：

若F（x）＝P（X≤x），则当x的取值范围是[1，2）时，F（x）等于（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝．而x∈[1，2），所以F（x）＝P（X≤x）＝＋＝．

答案：D

3．离散型随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），其中a是常数，则P的值为_________．

解析：由×a＝1，知a＝1，得a＝．

故P＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝×＋×＝．

答案：

离散型随机变量的分布列的性质的应用

（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；

（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；

（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

题型二　超几何分布　　

[例]　为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．

从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．

[解析]　（1）由已知，有P（A）＝＝．

所以事件A发生的概率为．

（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．

P（X＝k）＝（k＝1，2，3，4）．

故P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝，

P（X＝4）＝＝，

所以随机变量X的分布列为

1．超几何分布的两个特点

（1）超几何分布是不放回抽样问题．

（2）随机变量为抽到的某类个体的个数．

2．超几何分布的应用条件

（1）两类不同的物品（或人、事）．

（2）已知各类对象的个数．

（3）从中抽取若干个个体．

[对点训练]

　（2021·济宁模拟）PM2．5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2．5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2020年全年每天的PM2．5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

（1）从这10天的PM2．5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；

（2）从这10天的数据中任取3天的数据，记X表示抽到PM2．5监测数据超标的天数，求X的分布列．

解析：（1）记“从10天的PM2．5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有1天空气质量达到一级”为事件A，

则P（A）＝＝．

（2）依据条件，X服从超几何分布，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3，则

P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3），

∴P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，

因此X的分布列为

题型三　离散型随机变量的分布列　　

[例]　（2021·安阳模拟）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销售量x的分布频率

f（x）＝

（1）求a的值并估计销售量的平均数；

（2）若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列（将频率视为概率）．

[解析]　（1）由题意知

解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，

结合f（x）＝

得＋＋＋＋＝1，则a＝0．15．

可知销售量分别在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）内的频率分别是0．1，0．1，0．2，0．3，0．3，

所以销售量的平均数为55×0．1＋65×0．1＋75×0．2＋85×0．3＋95×0．3＝81．

（2）销售量分布在[70，80），[80，90），[90，100）内的频率之比为2∶3∶3，所以在各组抽取的天数分别为2，3，3．

X的所有可能取值为1，2，3，

P（X＝1）＝＝＝，

P（X＝3）＝＝＝，

P（X＝2）＝1－－＝．

X的分布列为

求离散型随机变量X的分布列的步骤

（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值．

（2）求X取每个值的概率．

（3）写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．

[对点训练]

（2021·成都模拟）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3道题，每人答对其中2道题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是．

（1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；

（2）设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．

解析：（1）设甲、乙闯关成功分别为事件A，B，

则P（）＝＝＝，

P（）＝＋C

＝＋＝，

则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是

1－P（ ）＝1－P（）P（）＝1－×＝．

（2）由题知ξ的可能取值是1，2．

P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，

则ξ的分布列为

　离散型随机变量性质应用中的核心素养

数学运算——离散型随机变量分布列性质的交汇应用

[例]　已知随机变量ξ的分布列如下表：

其中a，b，c成等差数列，则P（|ξ|＝1）的值与公差d的取值范围分别是（　　）

A．　

B．　

C．　

D．　

[解析]　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c．

又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P（|ξ|＝1）＝a＋c＝．

则a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，∴－≤d≤．

[答案]　A

利用离散型随机变量分布列性质与等差中项交汇去求解，注意本题易忽视a≥0，c≥0．

[对点训练]

已知随机变量X的概率分布列如下表：

则P（X＝10）＝（　　）

A．　　　 B．　　　　

C．　　　　 D．

解析：由离散型随机变量分布列的性质可知＋＋＋…＋＋m＝1，∴m＝1－＝1－2·＝＝，∴P（X＝10）＝．

答案：C