2022届高考数学一轮复习第十章算法初步统计统计案例10.1算法初步学案理含解析北师大版

算法初步、统计、统计案例

第一节　算法初步

授课提示：对应学生用书第233页

知识点　算法与算法流程图

1．算法

(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．

(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．

2．算法流程图

定义：流程图又称程序框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．

3．三种基本逻辑结构

• 温馨提醒 •

1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．

2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．

1．(2021·唐山摸底)如图所示的算法流程图的功能是(　　)

A．求1－＋－＋…－的值

B．求1＋＋＋＋…＋的值

C．求1＋＋＋＋…＋的值

D．求1－＋－＋…＋的值

解析：输入a＝1，n＝1，S＝0；S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－，a＝1，n＝5；S＝1－＋，a＝－1，n＝7；S＝1－＋－，a＝1，n＝9；…；S＝1－＋－＋…－，a＝1，n＝21，21>19，退出循环．输出S＝1－＋－＋…－．

答案：A

2．执行如图所示的算法流程图，则输出S的值为________．

解析：按照算法流程图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin＝．

答案：

3．(易错题)若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的算法流程图，则输出S的值为________．

解析：由算法流程图可以看出，当n＝8时，S>6时，算法结束，故输出S＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝7．

答案：7

授课提示：对应学生用书第234页

题型一　算法流程图输出结果问题　　

1．（2020·高考全国卷Ⅰ）执行下面的程序框图，则输出的n＝（　　）

A．17　　　　　　　　　 B．19

C．21  D．23

解析：由程序框图可知S＝1＋3＋5＋…＋（2m－1）＝m2（m∈N＋），由S＞100，得m＞10（m∈N＋），故当m＝11时循环结束，输出的值为n＝2m－1＝21．

答案：C

2．（2021·哈尔滨六中期中测试）执行如图所示的算法流程图，若输出的结果是，则输入的a为（　　）

A．3  B．6

C．5  D．4

解析：第1次循环，n＝1，S＝；第2次循环，n＝2，S＝＋；第3次循环，n＝3，S＝＋＋；第4次循环，n＝4，S＝＋＋＋＝．因为输出的结果为，所以判断框的条件为n<4，所以输入的a为4．

答案：D

3．（2020·高考江苏卷）如图是一个算法流程图，若输出y的值为－2，则输入x的值是_________．

 解析：由于2x＞0，所以y＝x＋1＝－2，

解得x＝－3．

答案：－3

解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量

（1）计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1．

（2）累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i．

（3）累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i．

题型二　算法流程图的补全问题　　

[例]　（1）（2019·高考全国卷Ⅰ）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（　　）

A．A＝　　　　　　　 B．A＝2＋

C．A＝  D．A＝1＋

（2）（2021·石家庄模拟）执行如图所示的算法流程图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是（　　）

A．i≤4

B．i≥4

C．i≤5

D．i≥5

[解析]　（1）对于选项A，A＝．

当k＝1时，A＝，

当k＝2时，A＝，故A正确；

经验证选项B，C，D均不符合题意．

（2）执行算法流程图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25．结合选项知，选C．

[答案]　（1）A　（2）C

算法流程图的补全及逆向求解问题

（1）先假设参数的判断条件满足或不满足；

（2）运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；

（3）根据此时各个变量的值，补全算法流程图．

[题组突破]

1．如图所示的算法流程图是为了求出满足2＋＋＋…＋<2 019的最大正整数n的值，那么在中，应填入（　　）

A．T<2 019

B．T≤2 019

C．T≥2 018

D．T≥2 019

解析：执行程序框图，T＝0，i＝1；T＝0＋2＝2，i＝2；T＝2＋＝2＋，i＝3；…；T＝2＋＋＋…＋，i＝i＋1．由题中算法流程图的功能是求出满足2＋＋＋…＋<2 019的最大正整数n的值，知T＝2＋＋＋…＋≥2 019满足判断框内成立的条件，此时结束循环．故判断框中应填T≥2 019．

答案：D

2．（2021·洛阳质检）执行如图所示的算法流程图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是（　　）

A．k≤7  B．k<7

C．k≤8  D．k<8

解析：模拟执行算法流程图，可得S＝0，k＝0；k＝2，S＝；k＝4，S＝＋；k＝6，S＝＋＋；k＝8，S＝＋＋＋＝．由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件不可以是“k≤8”．

答案：C

　算法流程图应用中的核心素养

逻辑推理——算法与数学文化的交汇问题

1．辗转相除法：求两个正整数的最大公约数的一种方法，这种算法是由欧几里得在公元前330年左右首先提出的，因此又叫欧几里得算法．

2．更相减损术：任给两个正整数（若是偶数，先用2约数），以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）（或这个数与约简的数的乘积）就是所求的最大公约数．

3．秦九韶算法：我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法．

[例]　南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法．已知f（x）＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1，如图所示的算法流程图是求f（x0）的值，在“▭”中应填的语句是（　　）

A．n＝i　　　　　　　 B．n＝i＋1

C．n＝2 018－i  D．n＝2 017－i

[解析]　由秦九韶算法得f（x）＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1＝（…（（2 018x＋2 017）x＋2 016）x＋…＋2）x＋1，所以算法流程图的执行框内应填写的语句是n＝2 018－i．

[答案]　C

本例将算法流程图与数学史有机地交融在一起，不仅考查了应用算法思想和逻辑结构分析、解决实际问题，更弘扬了数学文化，陶冶考生的情操．

[对点训练]

如图所示的算法流程图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该算法流程图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝（　　）

A．0  B．2

C．4  D．14

解析：第一次执行，输入a＝14，b＝18，因为a<b，所以b＝18－14＝4；第二次执行，因为a＝14，b＝4，a>b，所以a＝14－4＝10；第三次执行，因为a＝10，b＝4，a>b，所以a＝10－4＝6；第四次执行，因为a＝6，b＝4，a>b，所以a＝6－4＝2；第五次执行，因为a＝2，b＝4，a<b，所以b＝4－2＝2，此时a＝b＝2．

答案：B