2021年人教版高中数学必修第一册模块综合测评 (含答案详解)

这是一份2021年人教版高中数学必修第一册模块综合测评 (含答案详解)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评
(满分：150分，时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
A　[在数轴上表示出集合A，B，如图所示．

由图知A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]
2．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q.
但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp.故p是q的充分不必要条件．]
3．若cos α＝－，sin 2α＞0，则tan(π－α)等于(　　)
A．－3　　　　B．3 C．－　　　　D.
A　[∵sin 2α＝2sin αcos α＞0，cos α＝－，
∴sin α＝－，∴tan α＝＝3，
∴tan(π－α)＝－tan α＝－3，故选A.]
4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是(　　)
A．1　　　　B．3 C．4　　　　D．8
C　[根据题意，满足条件的集合B可以为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}中的任意一个．]
5．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是(　　)
A.＞ B.＞
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
A　[取a＝－2，b＝－1，则＞不成立．]
6．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,4) B．[0,4)
C．(0,4] D．[0,4]
D　[当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由题意知a＞0且Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.]
7．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy(　　)
A．有最大值为1 B．有最小值为1
C．有最大值为 D．有最小值为
C　[因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，
所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，
当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．
所以xy有最大值，且最大值为.]
8．函数f(x)＝x－x的零点个数是(　　)
A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3
B　[函数f(x)＝x－x的零点个数是方程x－x＝0的解的个数，即方程x＝x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.]
9．若函数y＝a＋sin bx(b＞0且b≠1)的图象如图所示，则函数y＝logb(x－a)的图象可能是(　　)


C　[由题图可得a＞1，且y＝a＋sin bx的最小正周期T＝＜π，所以b＞2，则y＝logb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故选C.]
10．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
B　[a＝log29－log2＝log23，
b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，
因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且2＞3＞，所以b＞a＞c.]
11．已知函数①y＝sin x＋cos x，②y＝2sin xcos x，则下列结论正确的是(　　)
A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
C　[①y＝sin，图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为2π；②y＝sin 2x图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为π.故选C.]
12．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在[－2π，2π]上的交点个数为(　　)
A．3　　　　B．5 C．7　　　　D．9
B　[由得sin x＝tan x，
即sin x＝0.
∴sin x＝0或1－＝0，
即x＝kπ(k∈Z)，
又－2π≤x≤2π，∴x＝－2π，－π，0，π，2π，
从而图象的交点个数为5.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．命题p：“∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°”的﹁p是________．
∃x0∈{x|x是三角形}，x0的内角和不是180°　[因为p是全称量词命题，则﹁p为存在量词命题．]
14．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，∁UB∩A＝{9}，则A＝________.
{3,9}　[由题意画出Venn图，如图所示．

由图可知，A＝{3,9}．]
15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
1 024　[当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e，
所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.]
16．已知函数f(x)＝若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是________．
　[∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，
∴f(x)＝－1或f(x)＝－(k≠0)．

①　 　②　 　③
(1)当k＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，
由图象可知f(x)＝－1无解，∴k＝0不符合题意；
(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，
由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－无解，
即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；
(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，
由图象可知f(x)＝－1有1个实根，
∵f((x))－2＝0有3个实根，
∴f(x)＝－有2个实根，
∴1＜－≤3，解得－1＜k≤－.
综上，k的取值范围是.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
[解]　(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0}，关于坐标原点对称，又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
18．(本小题满分12分)已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若﹁q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
[解]　(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，
B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，
∵A∩B＝[1,3]，∴m＝4.
(2)∵﹁q是p的必要条件
∴p是﹁q的充分条件，
∴A⊆∁RB，∴m＞6或m＜－4.
19．(本小题满分12分)设α，β是锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，求证：β＝.
[证明]　由0＜α＜，0＜β＜，知0＜α＋β＜π，
又cos(α＋β)＝－，
故sin(α＋β)＝
＝＝.
由sin α＝，可知
cos α＝＝＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝，
∴β＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a∈N*，c∈N*)满足：
①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意x∈[1,2]，都有f(x)≥2mx＋1成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)∵f(1)＝5，∴5＝a＋c＋2，∴c＝3－a.
又6＜f(2)＜11，∴6＜4a＋c＋4＜11，∴－＜a＜.
又a∈N*，∴a＝1，c＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋2.
(2)设g(x)＝f(x)－2mx－1＝x2－2(m－1)x＋1，x∈[1,2]，则由已知得
当m－1≤1，即m≤2时，g(x)min＝g(1)＝4－2m≥0，此时m≤2.
当1＜m－1＜2，即2＜m＜3时，g(x)min＝g(m－1)＝1－(m－1)2≥0，此时无解．
当m－1≥2，即m≥3时，g(x)min＝g(2)＝9－4m≥0，此时无解．
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，2]．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，
因为0＜φ＜，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1＜x0＜2，
故＜πx0＋＜.
由f(x0)＝，得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cosπx＋＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx＝cos πxcos－sin πxsin－sin πx
＝cos πx－sin πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－
22．(本小题满分12分)已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．
[解]　(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
化简得log4＝2kx，log44－x＝－x＝2kx，则有(2k＋1)x＝0.对任意的x∈R恒成立，于是有2k＋1＝0，k＝－.
(2)∵f(x)＝log4(4x＋1)－x，f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，
∴log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)，
即(1－a)(2x)2＋a·2x＋1＝0有唯一实根．
令t＝2x，则关于t的方程(1－a)t2＋at＋1＝0有唯一的正根．
①当1－a＝0即a＝1时，方程(1－a)t2＋at＋1＝0，则t＋1＝0，即t＝－1，不符合题意．
②当1－a≠0即a≠1时，Δ＝a2－4(1－a)＝a2＋4a－4＝(a＋2)2－8.
若Δ＝0，则a＝－2±2，
此时，t＝.
当a＝－2＋2时，则有t＝＜0，方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，不符合题意；
当a＝－2－2时，则有t＝＞0，且a·2x－a＝a(t－1)＝a·＝＞0，方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个相等的正根，符合题意．
若Δ＞0，则方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个不相等的实根，则只需其中有一正根即可满足题意．
于是有由此解得a＞1.
综上所述，a＞1或a＝－2－2.