2020-2021年陕西省榆林市高三(上)月考数学(文)试卷北师大版
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这是一份2020-2021年陕西省榆林市高三(上)月考数学(文)试卷北师大版,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 若复数z=2−i1−2i,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第三象限B.虚轴C.第四象限D.实轴
2. 已知集合A=x|x2≤4,B=x|y=lg22−x,则A∩B=( )
A.−∞,2B.−2,2C.[−2,2)D.[0,2)
3. 正八边形在生活中是很常见的对称图形,如图1中的正八边形的U盘,图2中的正八边形窗花,在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中,向量A6A7→与A7A8→的夹角为( )
A.π3B.π4C.2π3D.3π4
4. 某小学五年级组织开展了“劳动美”社会实践活动,倡导学生回家帮父母做家务,体验父母的艰辛.某同学要在周一至周五任选两天做家务,则该同学连续两天做家务的概率为( )
A.710B.35C.12D.25
5. 在△ABC中,AB=1,sinB=6sinC,csA=13,则BC=( )
A.30B.42C.6D.33
6. 执行如图所示的程序框图,则输出的t=( )
A.10B.3C.52D.2
7. 已知α,β,γ是三个不同的平面,l是一条直线.( )
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α//βB.若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β
C.若l//α,l//β,则α//βD.若l⊥α,l⊥β,则α//β
8. 2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为11.2m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的93%,若要使石片的速率低于7.84m/s,则至少需要“打水漂”的次数为( )
(参考数据:取ln0.7=−0.357,ln0.93=−0.073)
A.4B.6C.5D.7
9. 已知椭圆M:x216+y29=1k>0,椭圆N:x2k2+16+y2k2+9=1k>0,椭圆P:y232+x218=1,则( )
A.M与N的离心率相等,M与P的焦距相等
B.M与N的离心率相等,N与P的焦距相等
C.M与N的焦距相等,M与P的离心率相等
D.M与N的焦距相等,M与P的短轴长相等
10. 若函数fx=sinωxω>0在0,5π3上单调递增,则ω的取值范围是( )
A.35,1B.0,35C.310,12D.0,310
11. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )
A.41πB.41π4C.21πD.21π2
12. 已知fx是周期为4的奇函数,当0≤x≤1时,fx=x,当10,求数列3n−1an的前n项和Sn.
已知抛物线C1:x2=2pyp>0和圆C2:x2−12x+y2=0交于O,P两点,且kOP=1,其中O为坐标原点.
(1)求C1的方程;
(2)过C1的焦点F且不与坐标轴平行的直线l与C1交于A,B两点,AB的中点为M,C1的准线为l0,且MQ⊥l0,垂足为Q.证明直线AB,OQ的斜率之积T为定值,并求该定值.
已知函数fx=x3−6x2+9x+1.
(1)求曲线y=fx在点0,1处的切线方程;
(2)证明:x+1−lnxfx>2csx对x∈12,+∞恒成立.
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=4csα,y=a+4sinα,(α为参数,aK甲2.
故在这三个地区中,
乙地区的中学生是否近视与性别关联性最强,
甲地区的中学生是否近视与性别关联性最弱.
【答案】
解:(1)因为a1=4,
所以a1−2=2.
因为数列{an−2n}是等差数列,且公差为2,
所以an−2n=2+2n−1=2n,
则an=2n+2n .
(2)设{an}的公比为q,
由a3−a2=48,得4q2−4q=48,
解得q=4或−3.
因为a2>0,
所以q=4,
所以an=4n,
Sn=2×4+5×42+⋯+3n−1×4n,
4Sn=2×42+5×43+⋯+3n−1×4n+1,
两式相减得−3Sn=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1,
即−3Sn=8+3×42(1−4n−1)1−4+1−3n4n+1
=8+3×42−4n+11−4+1−3n4n+1
=4n+1−8+1−3n4n+1
=2−3n4n+1−8,
故Sn=3n−24n+1+83 .
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
(1)因为a1=4,所以a1−2=2,
因为数列{an=2n+2n}是等差数列,且公差为2,所以an−2n=2+2n−1=2n,
则an=2n+2n .
【解答】
解:(1)因为a1=4,
所以a1−2=2.
因为数列{an−2n}是等差数列,且公差为2,
所以an−2n=2+2n−1=2n,
则an=2n+2n .
(2)设{an}的公比为q,
由a3−a2=48,得4q2−4q=48,
解得q=4或−3.
因为a2>0,
所以q=4,
所以an=4n,
Sn=2×4+5×42+⋯+3n−1×4n,
4Sn=2×42+5×43+⋯+3n−1×4n+1,
两式相减得−3Sn=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1,
即−3Sn=8+3×42(1−4n−1)1−4+1−3n4n+1
=8+3×42−4n+11−4+1−3n4n+1
=4n+1−8+1−3n4n+1
=2−3n4n+1−8,
故Sn=3n−24n+1+83 .
【答案】
(1)解:由O为坐标原点,且kOP=1,
得直线OP的方程为y=x,
代入圆C2的方程,得x2−12x+x2=0,
解得x=0或x=6,则P6,6.
将点P的坐标代入C1的方程,得62=2p⋅6,
则p=3,
故C1的方程为x2=6y .
(2)证明:由(1)可知F0,32,l0:y=−32.
设直线l的方程为y=kx+32k≠0,
联立 x2=6y,y=kx+32, 整理得x2−6kx−9=0.
Δ=36k2+36>0.
设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=6k,
所以点M的横坐标为3k,
则kOQ=−323k=−12k,
所以T=kAB⋅kOQ=k⋅−12k=−12,
故T是定值,且定值为−12.
【考点】
抛物线的标准方程
直线的点斜式方程
圆与圆锥曲线的综合问题
抛物线的性质
圆锥曲线中的定点与定值问题
斜率的计算公式
【解析】
(1)解:由O为坐标原点,且kOP=1,得直线OP的方程为y=x,
代人圆C2的方程,得x2−12x+x2=0,解得x=0或x=6,则P6,6.
将点P的坐标代人C1的方程,得62=2p×6,则p=3.
故C的方程为x2=6y .
(2)证明:由(1)可知F0,32,l0:y=−32.
设直线l的方程为y=kx+32k≠1,
联立 x2=6y,y=kx+32 整理得x2−6k−9=0.
Δ=36k2+36>0,
设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=6k,
所以点M的横坐标为3k,
则kM=−323k=−12k,
所以T=kAB⋅kOQ=k⋅−12k=−12,故T是定值,且定值为−12.
【解答】
(1)解:由O为坐标原点,且kOP=1,
得直线OP的方程为y=x,
代入圆C2的方程,得x2−12x+x2=0,
解得x=0或x=6,则P6,6.
将点P的坐标代入C1的方程,得62=2p⋅6,
则p=3,
故C1的方程为x2=6y .
(2)证明:由(1)可知F0,32,l0:y=−32.
设直线l的方程为y=kx+32k≠0,
联立 x2=6y,y=kx+32, 整理得x2−6kx−9=0.
Δ=36k2+36>0.
设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=6k,
所以点M的横坐标为3k,
则kOQ=−323k=−12k,
所以T=kAB⋅kOQ=k⋅−12k=−12,
故T是定值,且定值为−12.
【答案】
(1)解:f′x=3x2−12x+9,
则f′0=9,
故曲线y=fx在点0,1处的切线方程为y=9x+1.
(2)证明:当x∈12,1∪3,+∞时,f′x>0,
则fx在12,1,3,+∞上单调递增,
当x∈1,3时,f′xf3=1,
所以fx在12,+∞上的最小值为f3=1.
设函数gx=x+1−lnx,则g′x=x−1xx>0.
当x∈12,1时,g′x0,
则gx在1,+∞上单调递增.
故gx≥g1=2,
从而x+1−lnxfx≥2,
但由于fx≥1与gx≥2的取等条件不同,
所以x+1−lnxfx>2.
因为2csx≤2,
所以x+1−lnxfx>2csx对x∈12,+∞恒成立.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)解:f′x=3x2−12x+9,
则f′0=9,
故曲线y=fx在点0,1处的切线方程为y=9x+1.
(2)证明:当x∈12,1∪3,+∞时,f′x>0,
则fx在12,1,3,+∞上单调递增,
当x∈1,3时,f′xf3=1,
所以fx在12,+∞上的最小值为f3=1.
设函数gx=x+1−lnx,则g′x=x−1xx>0.
当x∈12,1时,g′x0,
则gx在1,+∞上单调递增.
故gx≥g1=2,
从而x+1−lnxfx≥2,
但由于fx≥1与gx≥2的取等条件不同,
所以x+1−lnxfx>2.
因为2csx≤2,
所以x+1−lnxfx>2csx对x∈12,+∞恒成立.
【答案】
解:(1)由x=4csα,y=a+4sinα, 得x2+y−a2=16,
即x2+y2−2ay=16−a2.
因为曲线C经过坐标原点O,
所以16−a2=0.
又a
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