2020-2021学年河北省秦皇岛市高一（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省秦皇岛市高一（下）期中考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知角α的终边经过点(−4, 3)，则csα=( )

A.45B.35C.−35D.−45

2. 已知三个力F1→=(−2,−1)，F2→=(−3,2)，F3→=(4,−3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现再加上一个力F4→，则F4→等于（ ）
A.(−1, −2)B.(1, −2)C.(−1, 2)D.(1, 2)

3. “tanα=34，且sinαtanα<0”是“sinα=−35”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 将函数y=sinx的图象向左平移π2个单位，得到函数y=f(x)的函数图象，则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=π2对称D.y=f(x)的图象关于点(−π2, 0)对称

5. 如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )

A.6B.8C.2+32D.2+33

6. 已知单位向量a→，b→的夹角为60∘，则在下列向量中，与b→垂直的是( )
A.a→+2b→B.2a→+b→C.a→−2b→D.2a→−b→

7. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2，若此长方体的八个顶点都在体积为9π2的球面上.则此长方体的表面积为( )
A.16B.18C.20D.22

8. 已知函数fx=2cs2x−sin2x+2，则( )
A. fx 的最小正周期为 π，最大值为3
B. fx 的最小正周期为 π，最大值为4
C. fx 的最小正周期为2π，最大值为3
D. fx 的最小正周期为2π， 最大值为4

9. 若函数f(x)=sinx+φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ=( )
A.π2B.2π3C.3π2D.5π3

10. 已知α∈R，sinα+2csα=102，则tan2α=( )
A.43B.34C.−34D.−43

11. 设D为△ABC所在平面内一点，且BC→=3CD→，则( )
A.AD→=−13AB→+43AC→B.AD→=13AB→−43AC→
C.AD→=43AB→+13AC→D.AD→=43AB→−13AC→

12. 函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为( )

A.y=2sin(2x+2π3)B.y=2sin(2x+π3)
C.y=2sin(x2−π3)D.y=2sin(2x−π3)
二、多选题

在下列向量组中，可以把向量a→=3,2表示出来的是( )
A.e1→=0,0，e2→=1,2B.e1→=−1,2，e2→=5,−2
C.e1→=3,5，e2→=5,10D.e1→=2,−3，e2→=−2,3

角α的终边经过点P−3,n，O为坐标原点，则|n|=1的充要条件是( )
A.sinα=12B.csα=−32C.tanα=−33D.|PO|=2

已知复数z=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，则下列结论正确的是( )
A.P0点的坐标为1,2B.|z|=5
C.z¯=1−2iD.z1−i=1−3i2

关于函数fx=2sin2x+π6的结论，其中正确的有( )
A.fx的最小正周期是π
B.fx在区间−π6,π6上单调递增
C.函数fx的图象关于点π12,0成中心对称图形
D.将函数fx的图象向左平移5π12个单位后与y=−2sin2x的图象重合
三、填空题

sin225∘=________.

已知AB→=(2,3)，AC→=(3,t)，|BC→|=1，则AB→⋅BC→=________.

已知a=lg12(tan70∘)，b=lg12(sin25∘)，c=lg12(cs25∘)，则a，b，c的大小关系为________.

已知α，β都是锐角，csα=55，sin(α+β)=35，则csβ=________．
四、解答题

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120∘，若将△ABC绕直线BC旋转一周，求所形成旋转体的表面积和体积．


已知函数fx=sin2x+π4+1.

(1)用“五点法”作出f(x)在x∈[−π8,7π8]上的简图；

(2)求出fx的单调递增区间；

(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合．

岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75∘方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．

(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？

(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．

若函数fx=3sinx+2cs2x2，△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且fA=3 .
(1)当b+ca取最大值时，判断△ABC的形状；

(2)在△ABC中，D为BC边的中点，且AD=13，AC=2，求BC的长．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省秦皇岛市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得csα的值．
【解答】
解：∵ 角α的终边经过点(−4, 3)，
∴ x=−4，y=3，r=x2+y2=5．
∴ csα=xr=−45=−45，
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
向量在物理中的应用
零向量
【解析】
为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量．
【解答】
解：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，
∴ F4→=(0−(−2)−(−3)−4，0−(−1)−2−(−3))=(1, 2)．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：由tanα=34>0，
且sinαtanα<0，
可知α在第三象限，
所以sinα=−35，
即条件可以推出结论．
而由sinα=−35，
知α在第三、四象限，
csα=±45，
所以tanα=±34，
即结论推不出条件．
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
余弦函数的周期性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的对称性
余弦函数的奇偶性
【解析】
利用函数图象的平移法则得到函数y=f(x)的图象对应的解析式为f(x)=csx，则可排除选项A，B，再由
csπ2=cs(−π2)=0即可得到正确选项．
【解答】
解：将函数y=sinx的图象向左平移π2个单位，
得y=sin(x+π2)=csx．
即f(x)=csx．
∴ f(x)是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；
∵ csπ2=cs(−π2)=0，
∴ y=f(x)的图象关于点(−π2, 0)、(π2, 0)成中心对称．
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
平面图形的直观图
【解析】
根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．
【解答】
解：作出该直观图的原图形，如图，
因为直观图中的线段C′B′ // x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，
点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=22，
所以OC=3，则四边形OABC的周长为8．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
利用平面向量数量积为0，即可判断两向量是否垂直.
【解答】
解：A，(a→+2b→)⋅b→=a→⋅b→+2|b→|2=12+2=52≠0，故A错误；
B，(2a→+b→)⋅b→=2a→⋅b→+|b→|2=12×2+1=2≠0，故B错误；
C，(a→−2b→)⋅b→=a→⋅b→−2|b→|2=12−2=−32≠0，故C错误；
D，(2a→−b→)⋅b→=2a→⋅b→−b→2=2×12−1=0，故D正确.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由球体积为9π2知，球半径R=32，
又(2R)2=AB2+BC2+AA12，
所以AA1=2，
所以长方体的表面积为2×(2×2+2×1+2×1)=16.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
二倍角的余弦公式
余弦函数的周期性
三角函数的最值
【解析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．
【解答】
解：函数fx=2cs2x−sin2x+2，
=2cs2x−sin2x+2sin2x+2cs2x
=4cs2x+sin2x ，
=3cs2x+1，
=3⋅cs2x+12+1，
=3cs2x2+52
故函数的最小正周期为π，
函数的最大值为32+52=4.
故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的奇偶性
【解析】
直接利用函数是偶函数求出ϕ的表达式，然后求出ϕ的值．
【解答】
解：因为函数f(x)=sinx+φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，
所以φ3=kπ+π2，k∈Z，
所以k=0时，φ=3π2∈[0, 2π]．
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
二倍角的正切公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
根据同角三角函数关系式和万能公式化简后求出tanα，利用二倍角公式求出tan2α的值．
【解答】
解：∵ sinα+2csα=102，
∴ (sinα+2csα)2=52，
即sin2α+4sinαcsα+4cs2α=52，
整理得，tan2α+4tanα+4tan2α+1=52，
解得，tanα=3或−13．
∴ tan2α=2tanα1−tan2α=−34．
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
AD→=AC→+CD→=AC→+13BC→=AC→+13(BA→+AC→)=43AC→−13AB→．
【解答】
解：如图，AD→=AC→+CD→=AC→+13BC→=AC→+13(BA→+AC→)
=43AC→−13AB→.
故选A．
12.
【答案】
A
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
根据已知中函数y=Asin(ωx+ϕ)在一个周期内的图象经过(−π12, 2)和(−5π12, 2)，我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin(ωx+ϕ)的解析式．
【解答】
解：由已知可得函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象经过(−π12, 2)点和(5π12, −2).
则A=2，T=π即ω=2，
则函数的解析式可化为y=2sin(2x+φ)，将(−π12, 2)代入得，
−π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，
即φ=2π3+2kπ，k∈Z，
当k=0时，φ=2π3，
此时y=2sin(2x+2π3).
故选A.
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量坐标表示的应用
【解析】
根据向量的坐标运算a→=λe1→+μe→2，计算判别即可．
【解答】
解：根据a→=λe1→+μe→2，
A，a→=3,2=λ0,0+μ1,2=μ,2μ，
则3=2μ ，2=2μ无解，故A不符合题意；
B，a→=3,2=λ−1,2+μ5,−2
=−λ+5μ,2λ−2μ，
则3=−λ+5μ，2=2λ−2μ，
解得，λ=2，μ=1，故B符合题意；
C，a→=3,2=λ3,5+μ5,10
=3λ+5μ,2λ+10μ，
则3=3λ+5μ，2=2λ+10μ，
解得，λ=1，μ=0，故C符合题意；
D，a→=3,2=λ2,−3+μ−2,3
=2λ−2μ,−3λ+3μ，
则3=2λ−2μ，2=−3λ+3μ，无解，故D不符合题意．
故选BC．
【答案】
B,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
任意角的三角函数
【解析】
csα=−3−32+n2 ，|PO|=2，是|n|=1的充要条件．
【解答】
解：∵ csα=−3−32+n2 ，
由csα=−32 可得|n|=1​​，
∴ |n|=1​​的充要条件可以是csα=−32；
由|PO|=2可得−32+n2=2，
解得|n|=1​​，
∴ |n|=1​​的充要条件是可以是|PO|=2.
故选BD．
【答案】
A,B,C
【考点】
共轭复数
复数的代数表示法及其几何意义
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
由题意结合复数的几何意义可判断A；由向量的模判断B；由共轭复数判断C；由复数的运算判断D．
【解答】
解：A，由复数z=1+2i在复平面内对应的点为P0可得P01,2 ，故A正确；
B，复数z=1+2i的模长|z|=12+22=5，故B正确；
C，复数z的共轭复数为z¯=1−2i，故C正确；
D．z1−i=1+2i1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)
=1+2i+i+2i21−i2=32i−12，故D错误．
故选ABC．
【答案】
A,B,D
【考点】
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
正弦函数的周期性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
无
【解答】
解：对A，因为fx=2sin2x+π6，
所以f(x)的最小正周期=2π2=π，故A正确；
对B，因为x∈−π6,π6，
所以2x+π6∈−π6,π2，
故函数fx在区间−π6,π6上单调递增，故B正确；
对C，因为fπ12=2sinπ3≠0，
所以函数fx的图象关于点π12,0不成中心对称图形，故C不正确；
对D，将函数fx的图象向左平移5π12个单位后得到
gx=2sin2x+5π12+π6=2sin2x+π=−2sin2x，
故将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位后与y=−2sin2x的图象重合，故D正确，
综上可知：正确的为ABD．
故选ABD．
三、填空题
【答案】
−22
【考点】
诱导公式
【解析】
利用诱导公式化简sin225∘=sin(180∘+45∘)=−sin45∘；cs225∘=cs(180∘+45∘)=cs45∘；得到原式等于0．
【解答】
解：sin225∘=sin(180∘+45∘)=−sin45∘=−22.
故答案为：−22.
【答案】
2
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积的坐标表达式
向量模长的计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ AB→=(2,3)，AC→=(3,t),
∴ BC→=AC→−AB→=(1,t−3)，
又∵ |BC→|=1，
∴ 12+(t−3)2=1,
解得：t=3，
∴ AB→⋅BC→=2.
故答案为：2.
【答案】
a【考点】
对数值大小的比较
【解析】
确定tan70∘、sin25∘、cs25∘的范围，根据对数函数的性质，指数函数的性质，确定a、b、c的大小．
【解答】
解：因为tan70∘>1，所以a=lg12(tan70∘)<0，
因为sin25∘<12，所以b=lg12sin25>1，
因为32所以a故答案为：a【答案】
2525
【考点】
两角和与差的余弦公式
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由α为锐角，根据csα的值，求出sinα的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin(α+β)，且根据其值范围确定出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cs(α+β)的值，所求式子中的角β变形为(α+β)−α，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：∵ α为锐角，csα=55，
∴ sinα=1−cs2α=255.
∵ sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=55(2csβ+sinβ)=35，
且12<35<22，
∴ 2csβ+sinβ=355①，且π2<α+β<π，
∴ cs(α+β)=−1−sin2(α+β)=−45，
则csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
=−45×55+35×255=2525．
故答案为：2525.
四、解答题
【答案】
解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
所以OA=3，OB=1，
所以旋转体的体积：13π⋅(3)2⋅(OC−OB)=2π．
AC=22+22+2×2×2×12=23．
几何体的表面积为：12×23π×23+12×23π×2=6π+23π．
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积，求出圆锥的表面积，结合题意计算可得答案．
【解答】
解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
所以OA=3，OB=1，
所以旋转体的体积：13π⋅(3)2⋅(OC−OB)=2π．
AC=22+22+2×2×2×12=23．
几何体的表面积为：12×23π×23+12×23π×2=6π+23π．
【答案】
解：(1)对于函数f(x)=2sin2x+π4+1，
在x∈−π8,7π8上，2x+π4∈[0,2π].
列表：
作图：
(2)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
求得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，
可得函数的增区间为kπ−3π8,kπ+π8，k∈Z．
(3)令2x+π4=2kπ+π2，k∈Z，
求得x=kπ+π8，k∈Z，
所以函数f(x)的最大值为2，此时x=kπ+π8，k∈Z．
【考点】
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
三角函数的图象
函数的单调性及单调区间
正弦函数的对称性
函数的最值及其几何意义
【解析】
左侧图片未提供解析．
左侧图片未提供解析．
左侧图片未提供解析．
【解答】
解：(1)对于函数f(x)=2sin2x+π4+1，
在x∈−π8,7π8上，2x+π4∈[0,2π].
列表：
作图：
(2)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
求得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，
可得函数的增区间为kπ−3π8,kπ+π8，k∈Z．
(3)令2x+π4=2kπ+π2，k∈Z，
求得x=kπ+π8，k∈Z，
所以函数f(x)的最大值为2，此时x=kπ+π8，k∈Z．
【答案】
解：(1)依题意得∠BAC=45∘，∠ABC=75∘，BC=10，
∴ ∠ACB=60∘，
在△ABC中，由正弦定理得：ABsin∠ACB=BCsin∠BAC，
∴ AB=BCsin∠ACBsin∠BAC=10sin60∘sin45∘=10×3222=56．
答：海监船接到通知时，距离岛A56海里.
(2)设海监船航行时间为t小时，
则BD=103t，CD=10t，
又∵ ∠BCD=180∘−∠ACB=180∘−60∘=120∘，
∴ BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcs120∘，
∴ 300t2=100+100t2−2×10×10t×(−12)，
∴ 2t2−t−1=0，
解得t=1或t=−12（舍去），
∴ CD=10，
∴ BC=CD，
∴ ∠CBD=12(180∘−120∘)=30∘，
∴ ∠ABD=75∘+30∘=105∘，
答：海监船的方位角105∘航行，航行时间为1个小时.
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
（1）在△ABC中，依题意，利用正弦定理即可求得AB；
（2）在△BCD中，利用余弦定理可求得航行的方向及时间；
【解答】
解：(1)依题意得∠BAC=45∘，∠ABC=75∘，BC=10，
∴ ∠ACB=60∘，
在△ABC中，由正弦定理得：ABsin∠ACB=BCsin∠BAC，
∴ AB=BCsin∠ACBsin∠BAC=10sin60∘sin45∘=10×3222=56．
答：海监船接到通知时，距离岛A56海里.
(2)设海监船航行时间为t小时，
则BD=103t，CD=10t，
又∵ ∠BCD=180∘−∠ACB=180∘−60∘=120∘，
∴ BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcs120∘，
∴ 300t2=100+100t2−2×10×10t×(−12)，
∴ 2t2−t−1=0，
解得t=1或t=−12（舍去），
∴ CD=10，
∴ BC=CD，
∴ ∠CBD=12(180∘−120∘)=30∘，
∴ ∠ABD=75∘+30∘=105∘，
答：海监船的方位角105∘航行，航行时间为1个小时.
【答案】
解：因为fx=3sinx+2cs2x2
=3sinx+csx+1
=2sinx+π6+1，
所以f(A)=2sin(A+π6)+1=3，
即sinA+π6=1，
因为0≤A<π，
所以π6≤A+π6≤7π6，
所以A+π6=π2，A=π3．
(1)由正弦定理可得b+ca=sinB+sinCsinA
=sinB+sin2π3−B32=2sinB+π6，
因为0所以π6所以当B=π3时，b+ca取得最大值，
此时C=π3，
所以A=B=C，
所以△ABC是等边三角形．
(2)取AB边的中点E，连接DE．
则DE//AC，且DE=12AC=1，∠AED=2π3，
在△ADE中，由余弦定理得：
AD2=AE2+DE2−2AE⋅DE⋅cs2π3=13，
解得AE=3，AB=6，
在△ABC中，由余弦定理可得：
BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA
=36+4−2×6×2×12=28．
所以BC=27．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
二倍角的余弦公式
正弦函数的定义域和值域
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：因为fx=3sinx+2cs2x2
=3sinx+csx+1
=2sinx+π6+1，
所以f(A)=2sin(A+π6)+1=3，
即sinA+π6=1，
因为0≤A<π，
所以π6≤A+π6≤7π6，
所以A+π6=π2，A=π3．
(1)由正弦定理可得b+ca=sinB+sinCsinA
=sinB+sin2π3−B32=2sinB+π6，
因为0所以π6所以当B=π3时，b+ca取得最大值，
此时C=π3，
所以A=B=C，
所以△ABC是等边三角形．
(2)取AB边的中点E，连接DE．
则DE//AC，且DE=12AC=1，∠AED=2π3，
在△ADE中，由余弦定理得：
AD2=AE2+DE2−2AE⋅DE⋅cs2π3=13，
解得AE=3，AB=6，
在△ABC中，由余弦定理可得：
BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA
=36+4−2×6×2×12=28．
所以BC=27．2x+π4
0
π2
π
3π2
2
x
−π8
π8
3π8
5π8
7π8
f(x)
1
2
1
0
1
2x+π4
0
π2
π
3π2
2
x
−π8
π8
3π8
5π8
7π8
f(x)
1
2
1
0
1