2020-2021学年江西省鄱阳县某校高一（下）6月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省鄱阳县某校高一（下）6月月考数学试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. sin480∘等于( )
A.−12B.12C.−32D.32

2. 数列1，−3，5，−7，9，…的一个通项公式为（ ）
A.an=2n−1B.an=(−1)n(1−2n)
C.an=(−1)n(2n−1)D.an=(−1)n(2n+1)

3. 已知a→与b→均为单位向量，它们的夹角为60∘，那么|a→−3b→|等于( )
A.7B.10C.13D.4

4. 已知点A6,2，B1,14，则与AB→同向的单位向量为( )
A.1213,−513或−1213,513B.513,−1213
C.−513,1213或513,−1213D.−513,1213

5. 已知|a→|=6，|b→|=3，a→⋅b→=−12，则向量a→在b→方向上的投影为( )
A.−4B.4C.−2D.2

6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acsB=bcsA，则△ABC的形状一定是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

7. 已知数列an中，a1=35，an=1−1an−1n≥2，则a2021=( ).
A.−12B.−23C.35D.52

8. 两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=7n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于( )
A.94B.378C.7914D.14924

9. 在△ABC中，已知a=2，b=2，B=45∘，则∠A=( )
A.30∘或150∘B.60∘或120∘C.30∘D.60∘

10. 在△ABC中，已知三边a，b，c满足(a+b+c)(a+b−c)=3ab，则∠C等于( )
A.15∘B.30∘C.45∘D.60∘

11. 已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=3，单位圆的圆心为O，则OA→⋅OB→=( )
A.−32B.32C.−12D.12

12. 已知an=n−79n−80(n∈N+)，则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是( )
A.a1，a50B.a1，a8C.a8，a9D.a9，a50
二、填空题

已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=________.
三、解答题

设a→=−1,1，b→=4,3．
(1)求a→与b→的夹角的余弦值；

(2)求3a→−2b→⋅2a→+3b→．

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=12n2+32n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.

已知等差数列{an}满足：a3=9，a5+a7=30，{an}的前n项和为Sn．求an及Sn.

已知函数f(x)=csx−cs(x+π2)(x∈R)．
(1)求f(x)的最大值；

(2)若f(α)=34，求sin2α的值．

在△ABC中，a=7，b=8，csB=−17．
(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC(acsB+bcsA)=c．
(1)求C；

(2)若c=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省鄱阳县某校高一（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
利用诱导公式直接化简函数的表达式，通过特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】
解：sin480∘=sin(360∘+120∘)=sin120∘=32．
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．
【解答】
解：∵ 数列{an}各项值为1，−3，5，−7，9，…
∴ 各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴ |an|=2n−1
又∵ 数列的奇数项为正，偶数项为负，
∴ an=(−1)n+1(2n−1)=(−1)n(1−2n)．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
向量的模
单位向量
平面向量数量积
【解析】
先根据题意求出a→2=1，b→2=1，a→⋅b→=12，再求出|a→−3b→|2=7，最后求|a→−3b→|即可．
【解答】
解：因为a→，b→均为单位向量，它们的夹角为60∘，
所以a→2=1，b→2=1，a→⋅b→=1×1×cs60∘=12，
|a→−3b→|2=a→2−6a→⋅b→+9b→2=1−6×12+9×1=7，
所以|a→−3b→|=7.
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
单位向量
【解析】
与AB→同向的单位向量为：AB→|AB→|，由已知求得|AB→|，AB→即可得到答案．
【解答】
解：AB→=−5,12，
|AB→|=−52+122=13，
∴与AB→同向的单位向量为：
AB→|AB→|=113(−5,12)=(−513,1213)，
即与AB同向的单位向量为−513,1213．
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
向量的投影
【解析】
根据投影的定义应用公式 |a→|csα=a→⋅b→|b→|求解．
【解答】
解：设向量a→和向量b→的夹角为α，
根据投影的定义，
可得向量a→在向量b→方向上的投影是：
|a→|csα=a→⋅b→|b→|=−123=−4.
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
应用正弦定理和已知条件可得csAcsB=sinAsinB，进而得到sin(A−B)=0，故有A−B=0，得到△ABC为等腰三角形．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，acsB=bcsA，∴ ab=csAcsB，
又由正弦定理可得ab=sinAsinB，
∴ csAcsB=sinAsinB，
sinAcsB−csAsinB=0，sin(A−B)=0．
由−π故△ABC为等腰三角形，
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
数列的函数特性
【解析】
先推导数列周期，利用周期可求答案．
【解答】
解：∵ an=1−1an−1n≥2，
∴ an+1=1−1an，
an+2=1−1an+1=1−11−1an=−1an−1，
an+3=1−1an+2=1−1−1an−1=an，
∴ 数列an的周期为3.
∵ a1=35，
∴ a2021=a2=1−1a1=1−53=−23.
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由已知，根据等差数列的性质，把a2+a20b7+b15 转化为 S21T21求解．
【解答】
解：a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21
=212(a1+a21)212(b1+b21)
=S21T21=7×21+221+3=14924．
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
根据正弦定理得：sinAa=sinBb，代入数据，结合边长关系即可得到答案.
【解答】
解：因在△ABC中， a=2，b=2，B=45∘，
根据正弦定理得：sinAa=sinBb，
则sinA=asinBb=2×sin45∘2=2×222=12，
又因a则∠A=30∘.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△ABC中，a+b+ca+b−c=3ab，
∴ a+b2−c2=3ab，整理得a2+b2−c2=ab.
由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=12，
结合0∘可得：C=60∘.
故选D．
11.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
余弦定理
【解析】
根据条件可知，在△AOB中，|OA|=1,|OB|=1,|AB|=3，这样根据余弦定理即可求出cs∠AOB的值，从而便可求出OA→⋅OB→的值．
【解答】
解：如图，
在△AOB中，|OA|=1，|OB|=1，|AB|=3，
∴ cs∠AOB=1+1−32×1×1=−12，
∴ OA→⋅OB→=|OA→||OB→|cs∠AOB=1×1×(−12)=−12．
故选C.
12.
【答案】
C
【考点】
数列的函数特性
【解析】
令an=n−79n−80=1+80−79n−80，根据80>79，8<80<9，我们易判断数列各项的符号及单调性，进而得到答案．
【解答】
解：∵ an=n−79n−80=1+80−79n−80(n∈N+)，
∵ 80>79，8<80<9，
∴ 数列的前8项小于1且递减，从第9项开始大于1且递减，
故数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a8，a9．
故选C．
二、填空题
【答案】
15
【考点】
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的性质a3+a8=a5+a6直接求解即可．
【解答】
解：由等差数列的性质可得：a3+a8=a5+a6，
∴ a5=22−7=15.
故答案为：15.
三、解答题
【答案】
解：(1)根据题意，a→=−1,1，b→=4,3，
则a→⋅b→=−1×4+1×3=−1，
设a→与b→的夹角为θ，
由a→⋅b→=−1，|a→|=2，|b→|=5，
得csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−210．
(2)由(1)知，a→⋅b→=−1，|a→|=2，|b→|=5，
∴3a→−2b→⋅2a→+3b→=6a2+5a→⋅b→−6b→2
=12−5−150=−143．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)根据题意，a→=−1,1，b→=4,3，
则a→⋅b→=−1×4+1×3=−1，
设a→与b→的夹角为θ，
由a→⋅b→=−1，|a→|=2，|b→|=5，
得csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−210．
(2)由(1)知，a→⋅b→=−1，|a→|=2，|b→|=5，
∴3a→−2b→⋅2a→+3b→=6a2+5a→⋅b→−6b→2
=12−5−150=−143．
【答案】
解：当n=1时，a1=S1=2；
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1
=(12n2+32n)−[12(n−1)2+32(n−1)]=n+1.
∵ a1=2，
∴ an=n+1(n∈N*)．
【考点】
等差数列的通项公式
数列递推式
【解析】
（1）利用an=S1，n=1Sn−Sn−1，n≥2，能求出数列{an}的通项公式．
【解答】
解：当n=1时，a1=S1=2；
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1
=(12n2+32n)−[12(n−1)2+32(n−1)]=n+1.
∵ a1=2，
∴ an=n+1(n∈N*)．
【答案】
解：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
a5+a7=30，
又∵ a5+a7=2a6，
∴ a6=15，
∴ d=a6−a36−3=2，
又a3=9，
∴ an=a3+(n−3)d=9+(n−3)×2=2n+3，
∴ a1=5，
∴ Sn=n(a1+an)2=n(5+2n+3)2=n2+4n．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意，可求得d及a1，从而可求an及Sn；
【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
a5+a7=30，
又∵ a5+a7=2a6，
∴ a6=15，
∴ d=a6−a36−3=2，
又a3=9，
∴ an=a3+(n−3)d=9+(n−3)×2=2n+3，
∴ a1=5，
∴ Sn=n(a1+an)2=n(5+2n+3)2=n2+4n．
【答案】
解：(1)f(x)=csx−cs(x+π2)
=csx+sinx=sinx+csx
=2(22sinx+22csx)=2sin(x+π4)，
∴ f(x)的最大值为2．
(2)因为f(α)=34，即sinα+csα=34，
∴ 1+2sinαcsα=916，
∴ sin2α=−716．
【考点】
三角函数的最值
三角函数的恒等变换及化简求值
二倍角的正弦公式
【解析】
（1）利用诱导公式及公式asinx+bcsx=a2+b2sin(x+θ)化简三角函数为只含一个角一个函数名，利用有界性求出最大值
（2）将x用α代替得到等式，将等式平方，利用同角三角函数的平方关系求出sin2α的值．
【解答】
解：(1)f(x)=csx−cs(x+π2)
=csx+sinx=sinx+csx
=2(22sinx+22csx)=2sin(x+π4)，
∴ f(x)的最大值为2．
(2)因为f(α)=34，即sinα+csα=34，
∴ 1+2sinαcsα=916，
∴ sin2α=−716．
【答案】
解：(1)在△ABC中，因为csB=−17，
所以sinB=1−cs2B=437.
由正弦定理得sinA=asinBb=32.
由题设知π2所以0所以∠A=π3.
(2)在△ABC中，
因为sinC=sin(A+B)
=sinAcsB+csAsinB
=3314，
设AC边上的高为h，
因为12absinC=12bh,
所以h=asinC=7×3314=332.
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
正弦定理
同角三角函数基本关系的运用
三角函数值的符号
【解析】
本题主要考查正弦定理、同角三角函数的美系、诱导公式等.
【解答】
解：(1)在△ABC中，因为csB=−17，
所以sinB=1−cs2B=437.
由正弦定理得sinA=asinBb=32.
由题设知π2所以0所以∠A=π3.
(2)在△ABC中，
因为sinC=sin(A+B)
=sinAcsB+csAsinB
=3314，
设AC边上的高为h，
因为12absinC=12bh,
所以h=asinC=7×3314=332.
【答案】
解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：
2csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC，
整理得：2csCsin(A+B)=sinC.
∵ sinC≠0，sin(A+B)=sinC，
∴ csC=12.
又0∴ C=π3.
(2)由余弦定理得，
7=a2+b2−2ab⋅12，
∴ (a+b)2−3ab=7.
∵ S=12absinC=34ab=332，
∴ ab=6，
∴ (a+b)2−18=7，
∴ a+b=5，
∴ △ABC的周长为5+7．
【考点】
正弦定理
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出csC的值，即可确定出出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．
【解答】
解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：
2csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC，
整理得：2csCsin(A+B)=sinC.
∵ sinC≠0，sin(A+B)=sinC，
∴ csC=12.
又0∴ C=π3.
(2)由余弦定理得，
7=a2+b2−2ab⋅12，
∴ (a+b)2−3ab=7.
∵ S=12absinC=34ab=332，
∴ ab=6，
∴ (a+b)2−18=7，
∴ a+b=5，
∴ △ABC的周长为5+7．