


2020-2021学年江西省鄱阳县某校高一(下)6月月考数学试卷北师大版
展开这是一份2020-2021学年江西省鄱阳县某校高一(下)6月月考数学试卷北师大版,共8页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. sin480∘等于( )
A.−12B.12C.−32D.32
2. 数列1,−3,5,−7,9,…的一个通项公式为( )
A.an=2n−1B.an=(−1)n(1−2n)
C.an=(−1)n(2n−1)D.an=(−1)n(2n+1)
3. 已知a→与b→均为单位向量,它们的夹角为60∘,那么|a→−3b→|等于( )
A.7B.10C.13D.4
4. 已知点A6,2,B1,14,则与AB→同向的单位向量为( )
A.1213,−513或−1213,513B.513,−1213
C.−513,1213或513,−1213D.−513,1213
5. 已知|a→|=6,|b→|=3,a→⋅b→=−12,则向量a→在b→方向上的投影为( )
A.−4B.4C.−2D.2
6. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acsB=bcsA,则△ABC的形状一定是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形
7. 已知数列an中,a1=35,an=1−1an−1n≥2,则a2021=( ).
A.−12B.−23C.35D.52
8. 两个等差数列{an}和{bn},其前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=7n+2n+3,则a2+a20b7+b15等于( )
A.94B.378C.7914D.14924
9. 在△ABC中,已知a=2,b=2,B=45∘,则∠A=( )
A.30∘或150∘B.60∘或120∘C.30∘D.60∘
10. 在△ABC中,已知三边a,b,c满足(a+b+c)(a+b−c)=3ab,则∠C等于( )
A.15∘B.30∘C.45∘D.60∘
11. 已知A,B是单位圆上的动点,且|AB|=3,单位圆的圆心为O,则OA→⋅OB→=( )
A.−32B.32C.−12D.12
12. 已知an=n−79n−80(n∈N+),则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是( )
A.a1,a50B.a1,a8C.a8,a9D.a9,a50
二、填空题
已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=________.
三、解答题
设a→=−1,1,b→=4,3.
(1)求a→与b→的夹角的余弦值;
(2)求3a→−2b→⋅2a→+3b→.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=12n2+32n(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
已知等差数列{an}满足:a3=9,a5+a7=30,{an}的前n项和为Sn.求an及Sn.
已知函数f(x)=csx−cs(x+π2)(x∈R).
(1)求f(x)的最大值;
(2)若f(α)=34,求sin2α的值.
在△ABC中,a=7,b=8,csB=−17.
(1)求∠A;
(2)求AC边上的高.
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2csC(acsB+bcsA)=c.
(1)求C;
(2)若c=7,△ABC的面积为332,求△ABC的周长.
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省鄱阳县某校高一(下)6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
利用诱导公式直接化简函数的表达式,通过特殊角的三角函数值求解即可.
【解答】
解:sin480∘=sin(360∘+120∘)=sin120∘=32.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
首先注意到数列的奇数项为正,偶数项为负,其次数列各项绝对值构成一个以1为首项,以2为公差的等差数列,从而易求出其通项公式.
【解答】
解:∵ 数列{an}各项值为1,−3,5,−7,9,…
∴ 各项绝对值构成一个以1为首项,以2为公差的等差数列,
∴ |an|=2n−1
又∵ 数列的奇数项为正,偶数项为负,
∴ an=(−1)n+1(2n−1)=(−1)n(1−2n).
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
向量的模
单位向量
平面向量数量积
【解析】
先根据题意求出a→2=1,b→2=1,a→⋅b→=12,再求出|a→−3b→|2=7,最后求|a→−3b→|即可.
【解答】
解:因为a→,b→均为单位向量,它们的夹角为60∘,
所以a→2=1,b→2=1,a→⋅b→=1×1×cs60∘=12,
|a→−3b→|2=a→2−6a→⋅b→+9b→2=1−6×12+9×1=7,
所以|a→−3b→|=7.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线(平行)的坐标表示
单位向量
【解析】
与AB→同向的单位向量为:AB→|AB→|,由已知求得|AB→|,AB→即可得到答案.
【解答】
解:AB→=−5,12,
|AB→|=−52+122=13,
∴与AB→同向的单位向量为:
AB→|AB→|=113(−5,12)=(−513,1213),
即与AB同向的单位向量为−513,1213.
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
向量的投影
【解析】
根据投影的定义应用公式 |a→|csα=a→⋅b→|b→|求解.
【解答】
解:设向量a→和向量b→的夹角为α,
根据投影的定义,
可得向量a→在向量b→方向上的投影是:
|a→|csα=a→⋅b→|b→|=−123=−4.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
应用正弦定理和已知条件可得csAcsB=sinAsinB,进而得到sin(A−B)=0,故有A−B=0,得到△ABC为等腰三角形.
【解答】
解:∵ 在△ABC中,acsB=bcsA,∴ ab=csAcsB,
又由正弦定理可得ab=sinAsinB,
∴ csAcsB=sinAsinB,
sinAcsB−csAsinB=0,sin(A−B)=0.
由−π故△ABC为等腰三角形,
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
数列的函数特性
【解析】
先推导数列周期,利用周期可求答案.
【解答】
解:∵ an=1−1an−1n≥2,
∴ an+1=1−1an,
an+2=1−1an+1=1−11−1an=−1an−1,
an+3=1−1an+2=1−1−1an−1=an,
∴ 数列an的周期为3.
∵ a1=35,
∴ a2021=a2=1−1a1=1−53=−23.
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由已知,根据等差数列的性质,把a2+a20b7+b15 转化为 S21T21求解.
【解答】
解:a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21
=212(a1+a21)212(b1+b21)
=S21T21=7×21+221+3=14924.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
根据正弦定理得:sinAa=sinBb,代入数据,结合边长关系即可得到答案.
【解答】
解:因在△ABC中, a=2,b=2,B=45∘,
根据正弦定理得:sinAa=sinBb,
则sinA=asinBb=2×sin45∘2=2×222=12,
又因a则∠A=30∘.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:在△ABC中,a+b+ca+b−c=3ab,
∴ a+b2−c2=3ab,整理得a2+b2−c2=ab.
由余弦定理,得csC=a2+b2−c22ab=12,
结合0∘
故选D.
11.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
余弦定理
【解析】
根据条件可知,在△AOB中,|OA|=1,|OB|=1,|AB|=3,这样根据余弦定理即可求出cs∠AOB的值,从而便可求出OA→⋅OB→的值.
【解答】
解:如图,
在△AOB中,|OA|=1,|OB|=1,|AB|=3,
∴ cs∠AOB=1+1−32×1×1=−12,
∴ OA→⋅OB→=|OA→||OB→|cs∠AOB=1×1×(−12)=−12.
故选C.
12.
【答案】
C
【考点】
数列的函数特性
【解析】
令an=n−79n−80=1+80−79n−80,根据80>79,8<80<9,我们易判断数列各项的符号及单调性,进而得到答案.
【解答】
解:∵ an=n−79n−80=1+80−79n−80(n∈N+),
∵ 80>79,8<80<9,
∴ 数列的前8项小于1且递减,从第9项开始大于1且递减,
故数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a8,a9.
故选C.
二、填空题
【答案】
15
【考点】
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的性质a3+a8=a5+a6直接求解即可.
【解答】
解:由等差数列的性质可得:a3+a8=a5+a6,
∴ a5=22−7=15.
故答案为:15.
三、解答题
【答案】
解:(1)根据题意,a→=−1,1,b→=4,3,
则a→⋅b→=−1×4+1×3=−1,
设a→与b→的夹角为θ,
由a→⋅b→=−1,|a→|=2,|b→|=5,
得csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−210.
(2)由(1)知,a→⋅b→=−1,|a→|=2,|b→|=5,
∴3a→−2b→⋅2a→+3b→=6a2+5a→⋅b→−6b→2
=12−5−150=−143.
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)根据题意,a→=−1,1,b→=4,3,
则a→⋅b→=−1×4+1×3=−1,
设a→与b→的夹角为θ,
由a→⋅b→=−1,|a→|=2,|b→|=5,
得csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−210.
(2)由(1)知,a→⋅b→=−1,|a→|=2,|b→|=5,
∴3a→−2b→⋅2a→+3b→=6a2+5a→⋅b→−6b→2
=12−5−150=−143.
【答案】
解:当n=1时,a1=S1=2;
当n≥2时,
an=Sn−Sn−1
=(12n2+32n)−[12(n−1)2+32(n−1)]=n+1.
∵ a1=2,
∴ an=n+1(n∈N*).
【考点】
等差数列的通项公式
数列递推式
【解析】
(1)利用an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2,能求出数列{an}的通项公式.
【解答】
解:当n=1时,a1=S1=2;
当n≥2时,
an=Sn−Sn−1
=(12n2+32n)−[12(n−1)2+32(n−1)]=n+1.
∵ a1=2,
∴ an=n+1(n∈N*).
【答案】
解:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
a5+a7=30,
又∵ a5+a7=2a6,
∴ a6=15,
∴ d=a6−a36−3=2,
又a3=9,
∴ an=a3+(n−3)d=9+(n−3)×2=2n+3,
∴ a1=5,
∴ Sn=n(a1+an)2=n(5+2n+3)2=n2+4n.
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意,可求得d及a1,从而可求an及Sn;
【解答】
解:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
a5+a7=30,
又∵ a5+a7=2a6,
∴ a6=15,
∴ d=a6−a36−3=2,
又a3=9,
∴ an=a3+(n−3)d=9+(n−3)×2=2n+3,
∴ a1=5,
∴ Sn=n(a1+an)2=n(5+2n+3)2=n2+4n.
【答案】
解:(1)f(x)=csx−cs(x+π2)
=csx+sinx=sinx+csx
=2(22sinx+22csx)=2sin(x+π4),
∴ f(x)的最大值为2.
(2)因为f(α)=34,即sinα+csα=34,
∴ 1+2sinαcsα=916,
∴ sin2α=−716.
【考点】
三角函数的最值
三角函数的恒等变换及化简求值
二倍角的正弦公式
【解析】
(1)利用诱导公式及公式asinx+bcsx=a2+b2sin(x+θ)化简三角函数为只含一个角一个函数名,利用有界性求出最大值
(2)将x用α代替得到等式,将等式平方,利用同角三角函数的平方关系求出sin2α的值.
【解答】
解:(1)f(x)=csx−cs(x+π2)
=csx+sinx=sinx+csx
=2(22sinx+22csx)=2sin(x+π4),
∴ f(x)的最大值为2.
(2)因为f(α)=34,即sinα+csα=34,
∴ 1+2sinαcsα=916,
∴ sin2α=−716.
【答案】
解:(1)在△ABC中,因为csB=−17,
所以sinB=1−cs2B=437.
由正弦定理得sinA=asinBb=32.
由题设知π2所以0所以∠A=π3.
(2)在△ABC中,
因为sinC=sin(A+B)
=sinAcsB+csAsinB
=3314,
设AC边上的高为h,
因为12absinC=12bh,
所以h=asinC=7×3314=332.
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
正弦定理
同角三角函数基本关系的运用
三角函数值的符号
【解析】
本题主要考查正弦定理、同角三角函数的美系、诱导公式等.
【解答】
解:(1)在△ABC中,因为csB=−17,
所以sinB=1−cs2B=437.
由正弦定理得sinA=asinBb=32.
由题设知π2所以0所以∠A=π3.
(2)在△ABC中,
因为sinC=sin(A+B)
=sinAcsB+csAsinB
=3314,
设AC边上的高为h,
因为12absinC=12bh,
所以h=asinC=7×3314=332.
【答案】
解:(1)已知等式利用正弦定理化简得:
2csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC,
整理得:2csCsin(A+B)=sinC.
∵ sinC≠0,sin(A+B)=sinC,
∴ csC=12.
又0
(2)由余弦定理得,
7=a2+b2−2ab⋅12,
∴ (a+b)2−3ab=7.
∵ S=12absinC=34ab=332,
∴ ab=6,
∴ (a+b)2−18=7,
∴ a+b=5,
∴ △ABC的周长为5+7.
【考点】
正弦定理
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
(1)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC不为0求出csC的值,即可确定出出C的度数;
(2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出a+b的值,即可求△ABC的周长.
【解答】
解:(1)已知等式利用正弦定理化简得:
2csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC,
整理得:2csCsin(A+B)=sinC.
∵ sinC≠0,sin(A+B)=sinC,
∴ csC=12.
又0
(2)由余弦定理得,
7=a2+b2−2ab⋅12,
∴ (a+b)2−3ab=7.
∵ S=12absinC=34ab=332,
∴ ab=6,
∴ (a+b)2−18=7,
∴ a+b=5,
∴ △ABC的周长为5+7.
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