2020-2021学年广西壮族自治区某校高二（上）12月月考数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年广西壮族自治区某校高二（上）12月月考数学（文）试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A=−2,−1,0,1,2，B=x|x2−x−20；命题q：若a1b，则下列为真命题的是( )
A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q

7. 各项均为正数的等比数列{an}满足a1⋅a5=16 ，a2=2，则公比q=( )
A.4B.52C.2D.12

8. 关于x的不等式x+1x−2≥0的解集为( )
A.(−∞,−1]∪(2,+∞)B.[−1,2）
C.−∞,−1∪2,+∞D.−1,2

9. 等比数列an中，a2=9，a5=243，则an的前4项和为( )
A.192B.168C.120D.81

10. 椭圆x24+y23=1的离心率为( )
A.72B.14C.32D.12

11. 已知a>0，那么a−2+4a的最小值是( )
A.1B.2C.3D.4

12. 已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=n+12n，则a5b5=( )
A.23B.35C.59D.2
二、填空题

若x，y满足约束条件 y−x≤1,x+y≤3,y≥1, 则z=x+3y的最大值为________.

设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a9=4，S11=________.

在△ABC中，若A=30∘，AB=23，AC=2，则△ABC的面积S是________.

已知F1，F2是双曲线M：y24−x2m2=1的焦点， y=x是它的一条渐近线，则双曲线M的离心率等于________.
三、解答题

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA.
(1)求角B的大小；

(2)若a=33，b=7，求c的值．

已知数列an为等差数列，a1+a2=0，a4+a5+a6=21.
(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn=1an+1an+2，求数列bn的前n项和Tn.

2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某市从2020年2月1日算第一天起，每日新增的新型冠状病毒肺炎人数y（人）的近5天的具体数据，如表：
已知2月份前半个月处于疫情爆发期，且新增病例数与天数具有线性相关关系．
(1)求线性回归方程y=bx+a；

(2)预测哪天该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人？
参考公式：回归直线方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯ ，x¯，y¯为样本平均值．

已知椭圆的两个焦点分别为F1−2,0, F22,0，P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.
(1)求此椭圆的标准方程；

(2)若点P在第二象限， ∠F2F1P=120∘，求△PF1F2的面积．

如图，在三棱锥A−BCD中，AB=BD=CD=1，AD=BC=2，AC=3．

(1)求证：CD⊥平面ABD；

(2)若M为AD中点，求三棱锥A−MBC的体积．

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为4，一个焦点的坐标为−23,0.
(1)求双曲线的方程；

(2)已知斜率为1的直线l与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=45，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西壮族自治区某校高二（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，集合A=−2,−1,0,1,2，B=x|−14”⇒“x>2”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．
【解答】
解：当x>2时，x2>4成立，
故“x>2”是“x2>4”的充分条件；
当x2>4时，x2，即x>2不成立，
故“x>2”是“x2>4”的不必要条件；
综上“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知及正弦定理可得csB=sinB，即有tanB=1，根据00（或2.
所以原不等式的解集为：
(−∞,−1]∪2,+∞.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：q3=a5a2=27，
∴ q=3，
∴ a1=a2q=3，
∴ S4=a1(1−q4)1−q=120.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
直接利用椭圆的方程，求出a，c，即可得到椭圆的离心率．
【解答】
解：椭圆x24+y23=1，
可得a=2，b=3，c=1，
所以椭圆的离心率是：e=ca=12．
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
根据题意，将a−2+4a变形为a+4a−2，由基本不等式的性质分析即可得答案．
【解答】
解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，
又a>0，
则a−2+4a=a+4a−2≥2a×4a−2=2，
当且仅当a=2时等号成立，
即a−2+4a的最小值是2.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为SnTn=na1+an2nb1+bn2=a1+anb1+bn=n+12n，
所以a5b5=2a52b5=a1+a9b1+b9=9+12×9=59．
故选C．
二、填空题
【答案】
7
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】

【解答】
解：根据约束条件画出可行域如图所示，
平移直线y=−13x，当直线y=−13x+z3过点A时，
目标函数取得最大值．由y−x=1，x+y=3， 可得A1,2，
代入可得z=1+3×2=7．
故答案为：7．
【答案】
22
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数列的性质结合已知求得a6，再由S11=11a6得答案．
【解答】
解：在等差数列{an}中，
由a3+a9=4，
得2a6=4，
∴ a6=2，
∴ S11=11a6=11×2=22．
故答案为：22.
【答案】
3
【考点】
正弦定理
【解析】
利用公式s=12bcsinA即可．
【解答】
解：∵ S=12bcsinA，
∴ S=12×2×23×sin30∘=3．
故答案为：3 .
【答案】
2
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
由双曲线的渐近线方程求出m，得到双曲线的方程，进而求出离心率.
【解答】
解：双曲线y24−x2m2=1的渐近线方程为y=±2|m|x，
由于y=x是它的一条渐近线，
所以2|m|=1，
解得|m|=2，
所以双曲线方程为y24−x24=1，
所以a2=4，b2=4，c=a2+b2=22，
所以双曲线的离心率为e=ca=2.
故答案为：2.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a=2bsinA，
∴ sinA=2sinBsinA，
∴ sinB=12 ．
∵ △ABC为锐角三角形，
∴ B=π6．
(2)根据余弦定理，b2=a2+c2−2accsB，
解得c=5或c=4.
又∵ △ABC为锐角三角形，
∴ csA>0，
即b2+c2−a2>0，
∴ c2>20，
∴ c=4（舍去），即c=5．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)∵ a=2bsinA，
∴ sinA=2sinBsinA，
∴ sinB=12 ．
∵ △ABC为锐角三角形，
∴ B=π6．
(2)根据余弦定理，b2=a2+c2−2accsB，
解得c=5或c=4.
又∵ △ABC为锐角三角形，
∴ csA>0，
即b2+c2−a2>0，
∴ c2>20，
∴ c=4（舍去），即c=5．
【答案】
解：(1)设数列an的公差为d．
由a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得2a1+d=0,3a1+12d=21,解得a1=−1,d=2,
故an=a1+n−1d=−1+n−1×2=2n−3.
(2)bn=1an+1an−2=12n−12n+1=1212n−1−12n+1
所以Tn=121−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1．
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设数列an的公差为d．
由a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得2a1+d=0,3a1+12d=21,解得a1=−1,d=2,
故an=a1+n−1d=−1+n−1×2=2n−3.
(2)bn=1an+1an−2=12n−12n+1=1212n−1−12n+1
所以Tn=121−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1．
【答案】
解：(1)由题意得， x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+4+8+13+185=9 ，
i=15xiyi=176，i=15xi2=55，
则 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2
=176−5×3×955−5×32=4.1，
则a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
所以线性回归方程为y=4.1x−3.3.
(2)由(1)得，y=4.1x−3.3，
取x=9，得y=33.6，
取x=10，得y=37.7，
故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得， x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+4+8+13+185=9 ，
i=15xiyi=176，i=15xi2=55，
则 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2
=176−5×3×955−5×32=4.1，
则a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
所以线性回归方程为y=4.1x−3.3.
(2)由(1)得，y=4.1x−3.3，
取x=9，得y=33.6，
取x=10，得y=37.7，
故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人．
【答案】
解：(1)∵ 2c=|F1F2|=4，
∴ c=2，
∴ |PF1|+|PF2|=2a=2|F1F2|=8，
∴ a=4，
∴ b2=a2−c2=16−4=12，
∴ 此椭圆的标准方程为x216+y212=1.
(2)设PF1=x，则PF2=8−x.
在△PF1F2中，
PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2⋅cs∠PF1F2，
∴ 8−x2=x2+16−2x⋅4×−12，
∴ x=125，
∴ S△PF1F=12PF1⋅F1F2⋅sin∠PF1F2=1235.
【考点】
椭圆的标准方程
正弦定理
余弦定理
椭圆的定义
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)∵ 2c=|F1F2|=4，
∴ c=2，
∴ |PF1|+|PF2|=2a=2|F1F2|=8，
∴ a=4，
∴ b2=a2−c2=16−4=12，
∴ 此椭圆的标准方程为x216+y212=1.
(2)设PF1=x，则PF2=8−x.
在△PF1F2中，
PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2⋅cs∠PF1F2，
∴ 8−x2=x2+16−2x⋅4×−12，
∴ x=125，
∴ S△PF1F=12PF1⋅F1F2⋅sin∠PF1F2=1235.
【答案】
(1)证明：∵ AD=2，CD=1，AC=3，
∴ AD2+CD2=AC2，
∴ CD⊥AD．
∵ BD=CD=1，BC=2，
∴ BD2+CD2=BC2，
∴ CD⊥BD.
又∵ AD⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AD∩BD=D，
∴ CD⊥平面ABD．
(2)解：∵ M是AD中点，S△ABM=12S△ABD=12×12×AB×BD=14，
∴ 三棱锥A−MBC的体积V=13S△ABM⋅CD=13×14×1=112．
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）根据勾股定理的逆定理可证明CD⊥BD，CD⊥AD，故CD⊥平面ABD；
（2）把△ABM看做棱锥的底面，则CD为棱锥的高．
【解答】
(1)证明：∵ AD=2，CD=1，AC=3，
∴ AD2+CD2=AC2，
∴ CD⊥AD．
∵ BD=CD=1，BC=2，
∴ BD2+CD2=BC2，
∴ CD⊥BD.
又∵ AD⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AD∩BD=D，
∴ CD⊥平面ABD．
(2)解：∵ M是AD中点，S△ABM=12S△ABD=12×12×AB×BD=14，
∴ 三棱锥A−MBC的体积V=13S△ABM⋅CD=13×14×1=112．
【答案】
解：(1)由2a=4得a=2.
又因为c=23，
所以b2=c2−a2=8，
故双曲线的方程为x4−y28=1 .
(2)设直线l的方程为y=x+m，
代入双曲线方程可得x2−2mx−m2−8=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=2m，x1x2=−m2−8，
由题知|AB|=2|x1−x2|
=2⋅x1+x22−4x1x2
2⋅4m2−4×−m2−8
=4m2+4=45，
解得m=±1，
所以直线l的方程为y=x±1 .
【考点】
双曲线的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）由2a=4得a=2，又c=23，则b2=c2−a2=8，
故双曲线的方程为x4−y28=1 .
【解答】
解：(1)由2a=4得a=2.
又因为c=23，
所以b2=c2−a2=8，
故双曲线的方程为x4−y28=1 .
(2)设直线l的方程为y=x+m，
代入双曲线方程可得x2−2mx−m2−8=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=2m，x1x2=−m2−8，
由题知|AB|=2|x1−x2|
=2⋅x1+x22−4x1x2
2⋅4m2−4×−m2−8
=4m2+4=45，
解得m=±1，
所以直线l的方程为y=x±1 . 第x天
1
2
3
4
5
新增的新型冠状病毒肺炎人数y（人）
2
4
8
13
18