2020-2021学年湖南省高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数i1+i的共轭复数为( )
A.−12+12iB.12+12iC.12−12iD.−12−12i

2. 已知平面向量a→,b→夹角为π3，且|a→|=1 ，|b→|=12，则a→⋅b→=( )
A.12B.32C.2D.14

3. 某农科所种植的甲、乙两种水稻，连续六年在面积相等的两块稻田中作对比试验，试验得出平均产量是x¯甲=x¯乙=415kg，方差是s甲2=794，s乙2=758，那么这两种水稻中产量比较稳定的是( )
A.甲B.乙
C.甲、乙一样稳定D.无法确定

4. 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)， [40,60) ， [60,80)，80,100．若低于40分的人数是5，则该班的学生人数是( )

A.60B.55C.50D.45

5. 已知圆锥的表面积等于27πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.32 cm

6. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8

7. 点P是△ABC所在平面内一点，满足|PB→−PC→|−|PB→+PC→−2PA→|=0，则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.直角三角形

8. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若C1F=x，B1E=y，则四面体F−AOE的体积( )

A.与x， y都无关B.与x， y都有关
C.与x有关，与y无关D.与x有关，与y无关
二、多选题

在下列命题中，正确的是( )
A.平行于同一个平面的两个不重合平面相互平行
B.经过不重合的三个点，只可以做一个平面
C.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是( )

A.建设后的养殖收入为建设前的两倍
B.建设后的第三产业收入是建设前的8倍
C.建设后，种植收入减少
D.建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

对任意向量a→,b→，下列关系式中恒成立的是( )
A.|a→⋅b→|≥|a→||b→|
B.|a→−b→|≤||a→|−|b→||
C.a→+b→2=|a→+b→|2
D.a→+b→⋅a→−b→=a→2−b→2

如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A、B，C，D，E．盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )

A.D，E两个盒子并联后畅通的概率为130
B.A，B两个盒子串联后畅通的概率为13
C.A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为16
D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936
三、填空题

某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是1:3:2:5，则该样本中C类产品的数量为________.
四、解答题

设复数z=lgm+4+m2+3m+2i，当m为何值时，
(1)z是实数？

(2)z是纯虚数？


(1)若a→=1,1，b→=−3,0，2a→+b→⊥a→−mb→，求实数m的值；

(2)已知向量a→=1,k，b→=2,1，且a→+b→与a→共线，求a→⋅b→的值；

如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15, 18)内频数为8．

(1)求样本在[15, 18)内的频率；

(2)求样本容量；

(3)若在[12, 15)内的小矩形面积为0.06，求在[18, 33)内的频数．

如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAB⊥平面ABC， AC⊥BC ，AC=BC，且O，M分别为AB，VA的中点．

(1)求证： VB//平面MOC；

(2)求证： OC⊥平面VAB.

随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过三小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于8的概率．

如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．

(1)求证：平面ADE⊥平面ABCD；

(2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省某校高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
先化简复数，再利用复数的共轭复数概念求解即可.
【解答】
解：复数i1+i=(1−i)i(1+i)(1−i)=12+12i的共轭复数为12−12i.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
直接根据平面向量数量积的运算求出a→⋅b→的值即可．
【解答】
解：平面向量a→，b→的夹角为π3，且|a→|=1，|b→|=12，
则a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cs π3=1×12×12=14．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
根据方差表示数据的稳定性，方差越大，稳定性越小，即可判断出结果．
【解答】
解：根据题意，甲、乙两种水稻平均产量相等，即x¯甲=x¯乙，
方差是s甲2>s乙2，
∴ 这两个水稻品种中产量比较稳定的是乙．
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
频率分布直方图
频数与频率
【解析】
根据频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频数频率求出班级人数．
【解答】
解：根据频率分布直方图，得；低于40分的频率是：
0.005×20=0.10，
∴ 样本容量（即该班的学生人数）是50.1=50（人）．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，利用侧面展开图是一个半圆，求得母线长与底面半径之间的关系，代入表面积公式求r.
【解答】
解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，母线长为lcm，
∵ 侧面展开图是一个半圆，πl=2πr，可得l=2r，
∴ 圆锥的表面积为πrl+πr2=3πr2=27π，
解得r=3，
故圆锥的底面半径为3cm.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
【解答】
解：设这2件次品为a，b，其余3件合格品为A，B，C，
从5件产品中任取2件的所有取法为：(a,b)，(a,A)，(a,B)，(a,C)，
(b,A)，(b,B)，(b,C)，(A,B)，(A,C)，(B,C)，共10种可能，
设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，
则A包含的基本事件为(a,A)，(a,B)，(a,C)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，共6个，
∴ P(A)=610=35=0.6.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
由向量加法的三角形法则和减法的三角形法则，将等式化简，得出正确选项.
【解答】
解：∵ |PB→−PC→|−|PB→+PC→−2PA→|=0，
∴ |CB→|=|AB→+AC→|，
以线段AB和AC为邻边画出平行四边形，
则AB→+AC→等于起点为A的平行四边形的对角线.
∵ |CB→|=|AB→−AC→|=|AB→+AC→|，
∴ 平行四边形的两条对角线相等，
∴ 平行四边形是矩形，
∴ ∠BAC是直角，
∴ △ABC是直角三角形.
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
利用等积法说明四面体F−AOE的体积是与x，y无关的定值．
【解答】
解：∵ BB1//平面AA1C1C1 ，
∴ E到平面AA1C1C1的距离为定值.
∵ AO//A1C1 ，
∴ F到直线AO的距离为定值，
∴ △AOF的面积为定值，
∵ VF−AOE=VE−AOF，
∴ 四面体F−AOE的体积是与x，y无关的定值．
故选A．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
平面的基本性质及推论
【解析】
根据平面的基本性质进行判断即可．
【解答】
解：A，由面面平行的性质可知：平行于同一个平面的两个不重合平面相互平行，该选项正确；
B，过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，该选项错误；
C，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内，该选项正确；
D，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，该选项正确.
故选ACD.
【答案】
A,D
【考点】
用样本的频率分布估计总体分布
扇形统计图
【解析】
设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
【解答】
解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，60%a÷30%a=2，故A正确；
B，建设后，第三产业收入为28%×2a=56%a，建设前，第三产业收入为6%a，56%a÷6%a=283，故B错误；
C，种植收入37%×2a−60%a=14%a>0，故建设后，种植收入增加，故C错误；
D，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为30%+28%×2a=58%×2a，
经济收入为2a，故58%×2a÷2a=58%>50%，故D正确．
故选AD．
【答案】
C,D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
根据平面向量数量积的定义与运算性质进行判断即可．
【解答】
解：对于A，|a→⋅b→|=|a→|⋅|b→|⋅cs⟨a→,b→⟩≤|a→||b→|，故A错误；
对于B，当b→=−a→≠0→时，|a→−b→|≥||a→|−|b→||，故B错误；
对于C，因为向量的平方等于向量模的平方，则(a→+b→)2=|a→+b→|2，故C正确；
对于D，(a→+b→)⋅(a→−b→)=a→2−a→⋅b→+b→⋅a→−b→2=a→2−b→2，故D正确.
故选CD．
【答案】
B,D
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件与对立事件
【解析】
根据互斥与对立事件的概率计算、相互独立事件同时发生的概率计算公式逐个计算判定．
【解答】
解：由题意知，PA=12，PB=13，PC=14，PD=15，PE=16，
所以D，E两个盒子并联后畅通的概率为1−15×16=1−130=2930，此A错误；
A，B两个盒子畅通的概率为12×23=13，故B正确；
A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1−23×14=1−16=56，故C错误；
根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为2930×56=2936，故D正确.
故选BD．
三、填空题
【答案】
20
【考点】
分层抽样方法
【解析】
因为分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，又A、B、C、D三层的个体数之比已知，根据条件列出结果．
【解答】
解：∵ A、B、C、D四种产品，个体数之比为1:3:2:5，
又有总体中每个个体被抽到的概率相等，
∴分层抽样应从C中抽取110×211=20.
故答案为：20.
四、解答题
【答案】
解：(1)要使复数z为实数，
需满足m+4>0,m2+3m+2=0.
解得m=−2或−1，
即当m=−2或−1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，
需满足m+4=1,m2+3m+2≠0,
解得m=−3，
即当m=−3时，z是纯虚数．
【考点】
复数的基本概念
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)要使复数z为实数，
需满足m+4>0,m2+3m+2=0.
解得m=−2或−1，
即当m=−2或−1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，
需满足
m+4=1,m2+3m+2≠0,
解得m=−3，
即当m=−3时，z是纯虚数．
【答案】
解：(1)a→=1,1,b→=−3,0，
所以2a→+b→=−1,2，a→−mb→=1+3m,1，
由2a→+b→与a→−mb→垂直，
得−1−3m+2=0，
解得m=13．
(2)a→+b→=3,k+1，a→+b→与a→共线，
∴ 3k−k+1=0，
解得k=12，
∴ a→⋅b→=52．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
向量的数量积判断向量的共线与垂直
平面向量数量积
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)a→=1,1,b→=−3,0，
所以2a→+b→=−1,2，a→−mb→=1+3m,1，
由2a→+b→与a→−mb→垂直，
得−1−3m+2=0，
解得m=13．
(2)a→+b→=3,k+1，a→+b→与a→共线，
∴ 3k−k+1=0，
解得k=12，
∴ a→⋅b→=52．
【答案】
解：(1)[15, 18)对应矩形的面积为
475×(18−15)=475×3=425=0.16，
即样本在[15, 18)内的频率为0.16．
(2)设样本容量为n，
则因为在[15, 18)内频数为8，
所以8n=0.16，
解得n=50．
(3)因为在[12, 15)内的小矩形面积为0.06，样本在[15, 18)内的频率为0.16．
所以在[18, 33)内的频率为1−0.06−0.16=0.78，
所以在[18, 33)内的频数为0.78×50=39．
【考点】
频率分布直方图
频数与频率
【解析】
（1）计算出[15, 18)对应矩形的面积即可．
（2）利用[15, 18)的频数为8，计算出样本容量．
（3）利用在[12, 15)内的小矩形面积为0.06，可得在[18, 33)内的频数．
【解答】
解：(1)[15, 18)对应矩形的面积为
475×(18−15)=475×3=425=0.16，
即样本在[15, 18)内的频率为0.16．
(2)设样本容量为n，
则因为在[15, 18)内频数为8，
所以8n=0.16，
解得n=50．
(3)因为在[12, 15)内的小矩形面积为0.06，样本在[15, 18)内的频率为0.16．
所以在[18, 33)内的频率为1−0.06−0.16=0.78，
所以在[18, 33)内的频数为0.78×50=39．
【答案】
证明：(1)∵ O，M分别为AB，VA的中点，
∴ OM//VB，
∵ VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴ VB//平面MOC．
(2)∵ AC=BC ，O为AB的中点，
∴ OC⊥AB，
∵ 平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，
∴ OC⊥平面VAB.
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
【解析】
(1)利用三角形的中位线得出OM///B ，利用线面平行的判定定理证明VB//平面MOC；
(2)由面面垂直的性质即可证明.
【解答】
证明：(1)∵ O，M分别为AB，VA的中点，
∴ OM//VB，
∵ VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴ VB//平面MOC．
(2)∵ AC=BC ，O为AB的中点，
∴ OC⊥AB，
∵ 平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，
∴ OC⊥平面VAB.
【答案】
解：(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，
都付2元的概率P1=14×12=18，
都付4元的概率P2=12×14=18，
都付6元的概率P3=14×14=116，
∴ 所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=18+18+116=516．
所付费用不相同的概率为1−P=1116．
(2)设两人费用之和为10，12的事件分别为A，B．
PA=14×14+12×14=316，
PB=14×14=116，
设两人费用之和大于或等于8的事件为W，
∴ 两人费用之和大于8的概率
PW=PA+PB=316+116=14．
【考点】
对立事件的概率公式及运用
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，
都付2元的概率P1=14×12=18，
都付4元的概率P2=12×14=18，
都付6元的概率P3=14×14=116，
∴ 所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=18+18+116=516．
所付费用不相同的概率为1−P=1116．
(2)设两人费用之和为10，12的事件分别为A，B．
PA=14×14+12×14=316，
PB=14×14=116，
设两人费用之和大于或等于8的事件为W，
∴ 两人费用之和大于8的概率
PW=PA+PB=316+116=14．
【答案】
(1)证明：∵ AE⊥平面CDE，
∴ AE⊥CD.
∵ 底面ABCD为正方形，
∴ CD⊥AD.
∵ AE∩AD=A，
∴ CD⊥平面ADE，
∵ CD⊂平面ABCD，
∴ 平面ADE⊥平面ABCD.
(2)解：过E点作EH⊥AD，垂足为H，连接BH，BF，BE，
∵ AE⊥平面CDE，
∴ AE⊥CD.
又∵ CD⊥AD，AE∩AD=A，
∴ CD⊥平面ADE，
∴ CD⊥EH，CD∩AD=D，
∴ EH⊥平面ABCD，
所以∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角．
在Rt△ADE中，AE=3，DE=4，
∴ AD=5，EH=2.4 .
∵ AB // CD，
∴ AB⊥AE，
∴ BE=34，
∴ sin∠EBH=EHBE=63485，
∴ 直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为63485．
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
【解析】
（1）证明CD⊥平面ADE，再证明平面ADE⊥平面ABCD；
（2）过E点作EH⊥AD，垂足为H，连接BH，可以证明EH⊥平面ABCD，所以∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角，在Rt△EBH中求解．
【解答】
(1)证明：∵ AE⊥平面CDE，
∴ AE⊥CD.
∵ 底面ABCD为正方形，
∴ CD⊥AD.
∵ AE∩AD=A，
∴ CD⊥平面ADE，
∵ CD⊂平面ABCD，
∴ 平面ADE⊥平面ABCD.
(2)解：过E点作EH⊥AD，垂足为H，连接BH，BF，BE，
∵ AE⊥平面CDE，
∴ AE⊥CD.
又∵ CD⊥AD，AE∩AD=A，
∴ CD⊥平面ADE，
∴ CD⊥EH，CD∩AD=D，
∴ EH⊥平面ABCD，
所以∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角．
在Rt△ADE中，AE=3，DE=4，
∴ AD=5，EH=2.4 .
∵ AB // CD，
∴ AB⊥AE，
∴ BE=34，
∴ sin∠EBH=EHBE=63485，
∴ 直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为63485．