2020-2021学年湖南省湘潭市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省湘潭市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 化简AC→−BD→+CD→−AB→得( )
A.AB→B.DA→C.BC→D.0→

2. 若iz=−3+2i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，a→⋅a→+b→=0，则向量a→与b→的夹角为( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

4. 已知向量a→=3,−2，b→=(1,x)，且a→−b→与2a→+b→共线，则x为( )
A.23B.−23C.1±23D.−32

5. 在△ABC中，若a=1，C=60∘，c=3，则A的值为( )
A.30∘B.60∘C.30∘或150∘D.60∘或120∘

6. 已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x+1y的最小值是( )
A.22B.3+22C.6D.8

7. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，f(0)=2，则f(10)=( )
A.−4B.−2C.2D.4

8. 若i为虚数单位，复数z满足|z+3+i|≤3，则|z−2i|的最大值为( )
A.2B.3C.23D.33
二、多选题

设向量a→=−1,1，b→=0,2，则( )
A.|a→|=|b→|B.a→−b→//b→
C.a→−b→⊥a→D.a→与b→的夹角为π4

已知向量a→=(2,1)，b→=(−3,1)，则( )
A.(a→+b→)⊥a→
B.|a→+2 b→|=5
C.向量a→在向量b→上的投影是22
D.向量a→的单位向量是255,55

已知复数z的共轭复数为z¯，且zi=1+i，则下列结论正确的是( )
A.|z+1|=5B.z的虚部为−iC.z2020=−21010D.z2+z¯=z

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=10，a2+b2−c2=absinC，acsB+bsinA=c，则下列结论正确的是( )
A.tanC=2B.A=π4
C.b=2D.△ABC的面积为6
三、填空题

已知单位向量a→，b→满足|a→+2b→|=2，则a→⋅b→的值为________.

已知向量a→=2,−1，b→=−3,m，若a→//b→，则 |a→+2b→|=________.

在△ABC中，若∠C=90∘，AC=BC=4，则BA→⋅BC→=________．

已知函数y=lg2(ax+2)在(1, 3)上单调递减，则a的取值范围是________．
四、解答题

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在以下三个条件中任选一个：
①sinB−sinC2=sin2A−sinBsinC；②sinA4=6−24；③bsinB+C2=asinB；
并解答以下问题：
(1)若选________（填序号），求∠A的值；

(2)在(1)的条件下，若a=3，b=1，求面积S.

已知向量a→=(1, 3)，向量b→=(−3, −1)．
(1)求a→和b→的夹角θ；

(2)若a→⊥(a→+λb→)，求实数λ的值．

如图，在四边形ABCD中， CD=33，BC=7，cs∠CBD=−714．

(1)求∠BDC；

(2)若∠A=π3，求△ABD周长的最大值．

如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为35nmile．小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且sinA=35.

(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

(2)记小岛D对小岛B与C的视角为α，小岛B对小岛C与D的视角为β，求sin(2α+β)的值．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA=35．
(1)若△ABC的面积为3，求AB→⋅AC→.

(2)设m→=2sinB2,1，n→=csB,csB2，且m//n，求sinB−2C的值．

设a>0，a≠1，fx=lgax+x2+m，且函数fx是奇函数．
(1)求m的值；

(2)若方程fx=lga2x+ak有实数解，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省湘潭市高一(下)4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
利用向量的运算法则即可得出．
【解答】
解：原式=(AC→+CD→)−(AB→+BD→)=AD→−AD→=0→．
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的运算法则、共轭复数、几何意义即可得出．
【解答】
解：iz=−3+2i(其中i为虚数单位)，
∴−i⋅iz=−i−3+2i，
∴z=2+3i
则复数z的共轭复数2−3i在复平面内对应的点2,−3位于第四象限．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
根据已知|a→|=1，|b→|=2，即可求得a→+b→⋅a→=1+2cs⟨a→,b→⟩=0，求出cs⟨a→,b→⟩，从而得到向量a→，b→的夹角．
【解答】
解：a→⋅a→+b→=a→2+|a→|⋅|b→|⋅cs⟨a→,b→⟩
=1+2cs⟨a→,b→⟩=0，
∴cs⟨a→,b→⟩=−12，
∴向量a→与b→的夹角为120∘．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
【解析】
先求出a→−b→=2,−2−x，2a→+b→=7,−4+x，再利用向量共线的坐标表示得到2×−4+x−7×−2−x=0，求解即可.
【解答】
解：由题意，a→−b→=2,−2−x，
2a→+b→=7,−4+x，
∵ a→−b→与2a→+b→共线，
∴ 2×−4+x−7×−2−x=0，
解得x=−23.
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由正弦定理求得sinA=12，再由c>a，可得60∘>A，从而求得A的值．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，a=1，C=60∘，c=3，
则由正弦定理可得asinA=csinC，
即 1sinA=3sin60∘，
解得sinA=12，
∵ 在△ABC中，c>a，
∴ C>A，
∴ A=30∘.
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：因为x>0，y>0且x+2y=1，
则1x+1y=1x+1yx+2y
=3+2yx+xy≥3+22，
当且仅当2yx=xy，即y=2−22，x=2−1时取等号.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
根据题意，分析可得f(x)是周期为2的周期函数，则有f(10)＝f(0)，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，
又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，
即f(x−1)=f(1−x)=f(1+x)，
所以f(x)=f(2+x)，
则函数f(x)是周期为2的周期函数，
故f(10)=f(0)=2.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
复数的模
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为|z+3+i|≤3表示以点M−3,−1为圆心，
半径R=3的圆及其内部，
又|z−2i|表示复平面内的点到N0,2的距离，据此作出如下示意图：
所以|z−2i|max=MN+R
=0−−32+2−−12+3=33.
故选D.
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的数量积判断向量的共线与垂直
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模，垂直，夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．
【解答】
解：对于A，a→=−1,1，b→=0,2，
∴|a→|=2，|b→|=2
∴|a→|≠|b→|，故A错误；
对于B，a→=−1,1，b→=0,2，
∴a→−b→=−1,−1，
又b→=0,2，
则−1×2−−1×0≠0，
∴a→−b→与b→不平行，故B错误；
对于C，∵ a→−b→⋅a→=−1×−1+−1×1=0，
∴a→−b→⊥a→，故C正确；
对于D，由题知cs=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=222=22.
∵ a→与b→的夹角范围是0,π，
∴a→与b→的夹角为π4，故D正确．
故选CD．
【答案】
A,B,D
【考点】
向量的加法及其几何意义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
向量的投影
单位向量
【解析】
对于A，利用向量垂直的条件判断；对于B，利用模的计算公式；对于C，利用投影的计算公式；对于D，直接求单位向量即可．
【解答】
解：A，∵ a→+b→=(−1,2)，
∴ (a→+b→)⋅a→=(−1)×2+2×1=0，
∴ (a→+b→)⊥a→，故选项A正确；
B，∵ a→+2b→=(2,1)+2(−3,1)=(−4,3)，
∴ |a→+2b→|=−42+32=5 ，故选项B正确；
C，向量a→在向量b→上的投影为
a→⋅b→|b→|=2×(−3)+1×1(−3)2+12=−102 ，故选项C错误；
D，向量a→的单位向量是255,55，故选项D正确．
故选ABD．
【答案】
A,C,D
【考点】
共轭复数
复数的模
复数代数形式的混合运算
复数的基本概念
【解析】
先计算得到复数z=−i+1，可知B错误，再根据复数的模可知A正确，利用复数的幂运算得到B正确，根据共轭复数概念得到z¯=−1+i，再利用复数的四则运算可知D正确．
【解答】
解：由zi=1+i，
可得z=1+ii=1+i−ii−i=−i+1，
所以复数z的虚部为−1.
|z+1|=|−i+2|=5，
z2020=−i+12020=−i+121010
=−2i1010=(−2)1010⋅i2505
=−21010.
因为z的共轭复数为z¯=1+i，
所以z2+z¯=1−i2+1+i
=−2i+1+i
=1−i
=z.
故选ACD．
【答案】
A,B,D
【考点】
余弦定理
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
在A中，由余弦定理可得正确；在B中，由正弦定理可得结论，正确；在C中由余弦定理整理得2a2=2a2，可得正确；在D中，由余弦定理可得错误，即可得解．
【解答】
解：由余弦定理得：
a2+b2−c2=2abcsC=absinC，
∴tanC=2，∴A正确；
∵acsB+bsinA=c，
∴sinAcsB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)，
∴sinBsinA=sinBcsA.
∵sinB≠0，
∴sinA=csA，
∴tanA=1.
∵A∈(0,π)，
∴A=π4，∴B正确；
∵tanC=2，
∴sinC=255，
由正弦定理：csinC=asinA=1022，
∴c=4.
∵a2=b2+c2−2bccsA，
∴b2−42b+6=0，
∴b=32或b=2.
又A=π4，∴ B+C=3π4.
又tanC=2>0，∴ 0