2020-2021学年江苏省高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年江苏省高二（上）期中数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∀x∈R，x3−x2−1≤0”的否定是（ ）
A.∀x∈R，x3−x2−1>0B.∀x∈R，x3−x2−10D.∃x∈R，x3−x2−10，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ）
A.a∈[−1, 1]B.a∈(−4, 4)C.a∈[−4, 4]D.a∈{0}

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24−y212=1，则( )
A.实轴长为2
B.渐近线方程为y=±3x
C.离心率为2
D.一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3

设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10=S20，则下列论断中正确的有（ ）
A.当n=15时，Sn取最大值B.当n=30时，Sn=0
C.当d>0时，a10+a22>0D.当d|a22|

正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面CDD1C1上运动，且满足B1F // 平面A1BE．以下命题正确的有（ ）

A.侧面CDD1C1上存在点F，使得B1F⊥CD1
B.直线B1F与直线BC所成角可能为30∘
C.平面A1BE与平面CDD1C1所成锐二面角的正切值为22
D.设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为52
三、填空题（每小题5分，其中15题第一空2分，第二空3分）

已知命题“∃x∈R，mx2−mx+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围是________．

四棱锥V−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V−AB−C的平面角为________．

无穷数列{an}满足：只要ap=aq(p, q∈N∗)，必有ap+1=aq+1，则称{an}为“和谐递进数列”．若{an}为“和谐递进数列”，且a1=1，a2=3，a4=1，a8a9=23，则a7=________；S2021=________．

已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则3e1+e24的最小值为________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分）

设命题p：实数x满足(x−a)(x−2a)0；命题q：实数x满足(2x−16)(2x−2)≤0．
（1）若a=1，p，q都是真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

（1）求与双曲线x216−y24＝1有相同焦点，且经过点(27，6)的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e＝223，求m的值．

在①bn=nan，②bn=an，n为奇数lg2an，n为偶数，③bn=1(lg2an+1)(lg2an+2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．
问题：已知数列{an}是等比数列，且a1=1，其中a1，a2+1，a3+1成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记_____，求数列{bn}的前2n项和T2n．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=AD=PA=PB=2，PD=22．

（1）求点B到面PAD的距离；

（2）求二面角P−BD−A的正切值．

已知数列{an}满足an+1−2an+2＝0，且a1＝8．
（1）证明：数列{an−2}为等比数列；

（2）设bn=(−1)nan(2n+1)(2n+1+1)，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N∗，m≥Tn恒成立，求m的取值范围．

已知点F是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为3，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为32．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)当|MF|=2|FN|时，求直线l的方程；
(Ⅲ)若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省高二（上）期中数学试卷
一、单选题（每小题5分，共8题）
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
命题为全称命题，则命题“∀x∈R，x3−x2−1≤0”的否定是命题的否定∃x∈R，x3−x2−1>0，
2.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，由抛物线的准线方程分析可得答案．
【解答】
根据题意，抛物线的方程为：y=18x2，
则其标准方程为：x2=8y，
其焦点在y轴正半轴上，且p=4，
则其准线方程为：y=−2；
3.
【答案】
A
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解．
【解答】
解：由a2+a3=q(a1+a2)=3q=6，
∴ q=2，
∴ a1(1+q)=3，
∴ a1=1，
∴ a7=26=64．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
由题意画出图形，证明DD1 在平面ABC1D1上的射影落在AD1上，可得∠AD1D为直线DD1与平面ABC1所成角，则答案可求．
【解答】
如图，
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面AA1D1D，
平面ABC1D1∩平面AA1D1D＝AD1，在平面AA1D1D内过D作DE⊥AD1，
则DE⊥平面ABC1D1，则D1E为DD1在平面面ABC1D1内的射影．
∵ AD=2，AA1=3，∴ AD1=5，
则cs∠AD1D=DD1AD1=35=155．
即直线DD1与平面ABC1所成角的余弦值为155．
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．
【解答】
∵ 2a4+a10+a12＝22，∴ 4a1+26d＝22，
∴ 2a1+13d＝11，
∴ a7+a8＝11．
则S14=14(a1+a14)2=7(a7+a8)＝77．
6.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
以C为原点，在平面ABC内，过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】
以C为原点，在平面ABC内，过C作BC的垂线为x轴，
CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0, 1, 0)，C1(0, 0, 2)，A(32, 12, 0)，D(34, 14, 2)，
BC1→=(0, −1, 2)，DA→=(34, 14, −2)，
设BC1与DA所成角的大小为θ，
则csθ=|BC1→|⋅|DA→|˙=94⋅=32．
∴ BC1与DA所成角的大小为30∘．
7.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
设直线l方程为x=my+2，联立方程组消元，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，根据根与系数的关系计算|y1−y2|，于是 S△AOB=12×|OF|×|y1−y2|．
【解答】
F(2, 0)，设直线l的方程为：x=my+2，
联立方程组x＝my+2y2＝8x，消去x可得y2−8my−16=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−16，
∵ 线段AB的中点M在直线y=2上，∴ y1+y2=4，
∴ |y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2=16+64=45，
∴ S△AOB=12×|OF|×|y1−y2|=12×2×45=45．
8.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
数列与函数的综合
【解析】
由题意首先确定函数的对称性，然后利用倒序相加的方法即可确定数列的通项公式．
【解答】
由题意可知：F(−x)=−F(x)，即：f(12−x)+f(12+x)＝6(x∈R)，
∴ 函数f(x)关于点(12，3) 对称，
令 t＝12−x，则12+x＝1−t，
得到 f(t)+f(1−t)=6，
∵ an＝f(0)+f(1n)+…+f(n−1n)+f(1)，
an＝f(1)+f(n−1n)+…+f(1n)+f(0)，
以上两式相加可得2an=6(n+1)，
即an=3(n+1)，
二、多选题（每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共4题）
【答案】
A,D
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
命题p:∀x∈R，x2+ax+4>0⇔△0，∴ △=a2−16