2021届山东省泰安市高三数学考前冲刺卷试卷及答案

这是一份2021届山东省泰安市高三数学考前冲刺卷试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学考前冲刺卷试卷
一、单项选择题
1.集合 假设 ，那么 〔    〕
A. ±1                                        B. ±2                                        C. ±3                                        D. ±4
2.假设 ，那么 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
3.设函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ，那么不等式 的解集为〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
4.某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，那么生产时得到合格零件的概率是〔    〕
A. 0.49                                     B. 0.73                                     C. 0.79                                     
G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W ， 信道内信号的平均功率S ， 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，假设带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比 从1000提升到16000，那么C大约增加了(附： )〔    〕
A. 21%                                     B. 32%                                     C. 43%                                     D. 54%
6.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比方，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2021项小石子数是〔 〕

A. 5×1010×2021               B. 5×1010×1011               C. 5×1011×2021               D. 5×1011×2021
7.?九章算术?是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ，假设 ，当阳马 的体积最大时，堑堵 中异面直线 所成角的大小是〔    〕

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
8.拋物线 上有两点 为坐标原点，以 为邻边的四边形为矩形，且点 到直线 距离的最大值为4，那么 〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
二、多项选择题
9.双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节，某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表：
年份
2021
2021
2021
2021
2021
时间代号
1
2
3
4
5
成交额 (万元)
50
60
70
80
100
假设 关于 的回片方程为 ，那么〔    〕
A.                                                         B. 预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是108万元
C.                                                         D. 预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是120万元
10.以下关于函数 的说法正确的选项是〔    〕
A. 在区间 上单调递增                          B. 最小正周期是
C. 图象关于点 成中心对称                          D. 图象关于直线 对称
11.如图，在直角三角形 中， ，点 在以 为圆心且与边 相切的圆上，那么〔    〕

A. 点 所在圆的半径为2                                        B. 点 所在圆的半径为1
C. 的最大值为14                                      D. 的最大值为16
12. ，且 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A.              B.              C.              D. 
三、填空题
13.双曲线 的右顶点到其一条渐近线的距离为 ，那么 的离心率是________.
14.如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面直径为 ，高为8，铁桶盖的最大张角为 ，往铁桶内塞入一个木球，那么该木球的最大外表积为________.

15.有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A ， B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，那么不同的分配方法数为________.
16.在一个三角形 中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足 ，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在 外作等边 ，再作 的外接圆，那么外接圆与线段 的交点 即为费马点.假设 ，那么 ________.

四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答
问题：设数列 的前 项和为 ，且  ▲  ， ， 的前 项和
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.在 中，角 所对的边分别为 ， ，
〔1〕假设 ，求 ；
〔2〕假设 边上的中线长为 ，求 的面积.
19.如图，在三棱柱 中，平面 平面

〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕假设 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
20.扶贫期间，扶贫工作组从A地到B地修建了公路，脱贫后，为了了解A地到B地的公路的交通通行状况，工作组调查了从A地到B地行经该公路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如下列图的频率分布直方图.

〔1〕试根据频率分布直方图，求样本中的这4000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
〔2〕假设由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度 服从正态分布 ，其中 ， 分别取调查样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差 ，请估计样本中这4000辆机动车车速不低于84.8千米/时的车辆数(精确到个位)；
〔3〕如果用该样本中4000辆机动车的速度情况，来估计经A地到B，求 (精确到0.001).
附：随机变量： ，那么 ， ， ， .
21.椭圆 的离心率为 ，椭圆 上一点 到它的左､右焦点 的距离之和为4，且
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕过点 的直线 交椭圆 于 两点，求 面积的最大值.
22.函数
〔1〕当 时，求 图象在点 处的切线方程；
〔2〕当 且 时，证明 有且仅有两个零点.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 知，
，解得
故答案为：B

【分析】利用集合并集的定义得到a的关系，求解即可。
2.【解析】【解答】由 ，那么
故答案为：A

【分析】利用复数的运算法那么，即可得出答案。
3.【解析】【解答】解：当 时，由 ，得 .
又因为函数 为偶函数，所以不等式 的解集为 .
故答案为：D.

【分析】 根据题意，由函数的解析式可得f〔x〕在区间[0，+∞〕上为增函数，由， 结合函数的奇偶性可解可得x的取值范围，即可得答案．
4.【解析】【解答】设事件A：“第一次就得到合格零件〞，设事件B：“第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件〞
所以 ,
所以生产时得到合格零件的概率是
故答案为：C

【分析】生产得到合格零件分为第一次就得到合格零件和第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件，从而可得答案。
5.【解析】【解答】解：由题意 ，所以C大约增加了54%.
故答案为：D.

【分析】 利用香农公式分别计算出信噪比为1000和16000时的C的值，再利用对数的运算性质求出C的比值即可得到结果．
6.【解析】【解答】设正五边形数构成数列 ，那么 ， ，且当 时， ，
于是 ，
故 .
故答案为：A.

【分析】根据图中的结构特征得出 ， ， 即可求出正五边形数的第2021项小石子数。
7.【解析】【解答】在堑堵 中, 平面 , 平面
所以 ，又 ，且 ，所以 平面
所以阳马 的体积为
在直角三角形 中，
即 ，当且仅当 时取得等号.
所以当 时，阳马 的体积取得最大值
又 ,所以 〔或其补角〕为异面直线 所成角
,
即 ,所以
故答案为：C

【分析】由 ,所以 〔或其补角〕为异面直线 所成角，由题意可得 平面 ， 那么阳马 的体积为 ， 由均值不等式可得当 时，阳马 的体积取得最大值，从而求出边长，得出答案。
8.【解析】【解答】解：设直线 的方程为 ，代入抛物线方程可得 ，
设 ， ， ， ，那么 ，
由
，
解得 或 〔舍去〕，
即直线 的方程为 ，原点到直线 的距离为 ，
当 时， ．所以
故答案为：B．

【分析】设直线 的方程为 ， 利用建立方程可得 ，进而求出原点到直线 的距离的最大值，即可得出答案。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由表中数据知， ；
，
那么 满足回归方程，即 ，
解得 ，A不符合题意，C符合题意；
2021年时， ，代入回归方程有 ，
故预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是108万元，B符合题意，D不符合题意；
故答案为：BC

【分析】 先求出样本中心，然后求解，即可判断选项A，C,得到回归方程，将t = 6代入方程求解估计值，即可判断选项B, D.
10.【解析】【解答】由 得 ，
当 ，单调增区间为 ，所以A符合题意；
因为 ，所以函数的最小正周期是 ，所以B不符合题意；
由 得 ，当 时，函数的对称中心为 ，
所以函数的图象关于点 成中心对称，C符合题意；
函数 没有对称轴，所以D不符合题意.
故答案为：AC.

【分析】 根据正切函数的单调性判断选项A正确；根据正切函数的周期性求出该函数的最小正周期，判断选项B错误；根据正切函数的对称性判断选项C正确；根据正切型函数的图象不是轴对称图象，判断选项D错误.
11.【解析】【解答】设AB 的中点为M，过A作AH垂直BC于点H，因为 ，所以 ， ，
所以由 ，得 ，所以圆的半径为2，即点 所在圆的半径为2，所以A符合题意，B不符合题意；
因为 ， ， ，
所以
 ，
所以当P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时， 取最大值，且最大值为 ，
所以 的最大值为 ，所以C符合题意，D不符合题意.

故答案为：AC.

【分析】 由题意，以A为原点建立平面直角坐标系，求出B, C的坐标，利用截距式求得直线BC的方程，再由点到直线的距离公式可求得点P所在圆的半径，设BC的中点为D(2,1),根据， 当P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时， 取最大值， 即可求其最大值.
12.【解析】【解答】解：因为 ，且 ，对于A， ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，A不符合题意；
对于B：因为 ，所以 ，所以 ，令 ，那么 ，因为 ，所以 ，令 ，那么 所以 在 上单调递增，又 ，所以当 时 ，即 ， 在 上单调递减，当 时 ，即 ， 在 上单调递增，
所以 ，故 ，即B符合题意；
对于C： ，令 ，那么 ，当 时 ，当 时 所以 在 上单调递增，又 ，所以 时 取得最小值， ，所以 ，C符合题意；
对于D：
令 ， ，

当 时， ， ， ， ，所以 ，即 在 上单调递减，同理可得 在 上单调递增，所以 时 有最大值 ，所以 在 上恒成立，所以 ，D符合题意；
故答案为：BCD

【分析】利用根本不等式判断A，构造函数利用导数判断B,C,D。
三、填空题
13.【解析】【解答】由渐近线方程 知，右顶点 到其一条渐近线的距离为 ，
那么 ，即 ，由 知， ，
那么离心率

【分析】利用条件列出方程，转化求解离心率即可。
14.【解析】【解答】如图，球 与铁桶盖的切点为铁桶盖所在圆的圆心 ，

设球 与铁桶上底面圆的切点为 ，连接 ，那么 为球 的一条直径，且 ，
点 到铁盖中心 的距离恰好是球最大的直径，
因为 ， ，那么 ，即球最大的半径为 ，
此时木球的外表积为 .
故答案为：36π.

【分析】 点B到铁盖中心O1的距离恰好是最大球的直径，求出最大球的半径，由此能求出该木球的外表积。
15.【解析】【解答】分三类：
第一类：A组3女1男，B组1女3男，此时分配方法有： ；
第二类：A组3女1男，B组2女2男，此时分配方法有： ；
第三类：A组4女0男，B组1女3男，此时分配方法有： ，
所以分配方法共有 .
故答案为：750.

【分析】 根据题意，按A、B组中男女人数的不同分3种情况讨论，求出每种情况的分配方法，由加法原理计算可得答案.
16.【解析】【解答】根据费马点的性质有，
那么 ，又 ，
故 ， ，即
所以 ，从而有
那么 ，
那么 ，
在 中，由余弦定理知，
，
解得 ，
那么 ，
故答案为：

【分析】根据费马点的性质及三角形 边角关系，证得， 从而有，然后在中，由余弦定理求得PA，PB的长，从而求得结果。
四、解答题
17.【解析】【分析】 ①   ，     ， 两式相减得 ， 再利用裂项相消法求出 ； ② 由得  ， 所以   ， 再利用裂项相消法求出 ； ③ 设 利用累加法求出 ， 求出  ， 再利用裂项相消法求出 。 
18.【解析】【分析】 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简等式可得tanC,可得C的值，进而根据余弦定理可得c的值；
(2)设AB边上的中线为CD，利用余弦定理可得 ，解方程可求a的值，根据三角形的面积公式即可求解.
19.【解析】【分析】 (1)推导出  平面 ， ,  ,从而   平面   ,由此能证明平面  平面    ;
(2) 由〔1〕知，  平面   ， 那么  即为  与平面  所成角， 由〔1〕知，  平面 ， 那么  即为二面角  的平面角， 那么 即可得出 二面角  的余弦值 。
20.【解析】【分析】 (1)利用频率分布直方图，求出每一组的频率以及组中值，利用平均数的计算公式求解即可；
(2)利用正态分布的对称性求解即可；
(3)利用二项分布求解概率即可.
21.【解析】【分析】 (1)由椭圆C上一点P到它的左、右焦点F1 ， F2的距离之和为4，且2a= 2c+b2,列方程组，解得a, b,即可得出答案；
(2) 易知直线  的斜率为0时不满足题意，所以设  ，直线  的方程为：   ， 由  消   ， 得   ， 由韦达定理可得 ， ， 令   ， 那么  恒成立， 利用根本不等式可求出   面积的最大值 。
22.【解析】【分析】〔1〕 当  时， 代入，求导，根据导数几何意义即切线斜率，求得切线方程；
〔2〕通过二次求导判断导函数的单调性，进而求得原函数单调性，从而解决零点个数问题。