2021届江苏省南通高三下学期数学高考全真模拟试卷（二）及答案

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这是一份2021届江苏省南通高三下学期数学高考全真模拟试卷（二）及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期数学高考全真模拟试卷〔二〕
一、单项选择题
1.假设集合且，，那么〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D.
2.假设复数满足，其中为虚数单位，那么复数〔    〕
A.                             B.                             C.                             D.
3. ，，，那么，，的大小关系为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D.
4.八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏〔páo〕、竹〞八类，每类又包括假设干种乐器.现有“土、丝、竹〞三类乐器，其中“土〞包括“缶〔fǒu〕、埙〔xūn〕〞2种乐器：“丝〞包括“琴、瑟、筝、琵琶〞4种乐器：“竹〞，包括“箫、笛、笋〞3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，那么不同的分配方案有〔    〕
A. 24种                                   B. 72种                                   C. 144种                                   D. 288种
5.如图，点在半径为的上运动，假设，那么的最大值为〔    〕

A. 1                                        B.                                         C.                                         D.
6. ，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，那么的面积为〔    〕
A. 5                                       B. 10                                       C.                                        D.
7.人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作 .成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮〞的充要条件是“基因对是，或〞.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因､隐性基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，假设有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D.
8.函数满足，当时，，那么不等式的解集为〔    〕
A.                     B.                     C.                     D.
二、多项选择题
9.为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关〞做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如下列图的等高条形统计图，那么以下说法中正确的有〔    〕

附：，其中 .
k

P〔x2≥k〕

A. 被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
B. 被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C. 假设被调查的男女生均为100人，那么有99%的把握认为喜欢登山和性别有关
D. 无论被调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢登山和性别有关
10.函数在上有且只有三个零点，那么以下说法中正确的有〔    〕
A. 在上存在，，使得      B. 的取值花围为
C. 在上单调递增                                          D. 在上有且只有一个最大值点
11.在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，那么以下说法中正确的有〔    〕
A. 平面                              B. 与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为定值         D. 平面内存在与和底面交线平行
12.关于曲线，以下说法中正确的有〔    〕
A. 曲线C关于轴对称              B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
C. 曲线C恰好经过个整点       D. 曲线C在直线和所围成的正方形区域内(包括边界)
三、填空题
13.假设，那么 ________.
14.2021年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫〞的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，那么所有不同的分派方案种数为________.〔用数字作答〕．
15. 为抛物线的焦点，，点在抛物线上且满足 .假设这样的点有且只有一个，那么实数的值为________.
16.半径为的球面上有、、、四点，满足，，，那么球心到平面的距离为________，三棱锥体积的最大值为________.
四、解答题
17.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.
问题：数列满足，数列为等比数列，且 ▲ ，为数列的前项和.是否存在正整数，使得成立？假设存在，求出的最小值；假设不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.函数在处取得最大值.
〔1〕求函数的最小正周期；
〔2〕假设的角，，所对的边分别为，，，且，，，求 .
19.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，， .

〔1〕求证：；
〔2〕求二面角的余弦值.
20.网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账､微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2021年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方､品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了2021年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：

1
2
3
4
5

75
84
93
98
100
〔1〕由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？假设可用，估计8月10日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；假设，那么线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到 ).
参考数据： .附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距 .
〔2〕运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率.
〔3〕该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客方案在此专营店购置1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
21.椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点的周长为，最大时的余弦值为 .
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕假设和为轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时直线的方程.
22.函数 .
〔1〕当时，讨论函数在上的单调性；
〔2〕当时，求证：函数 ( 为自然对数的底数)存在唯一极值点且 .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】集合，，所以。
故答案为：D.

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合B，再利用集合A中元素与集合的关系，从而求出集合A，再利用交集的运算法那么，从而求出集合A和集合B的交集。
2.【解析】【解答】解：由题意，，所以。
故答案为：B.

【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
3.【解析】【解答】解：因为，，，
所以。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再利用与特殊值对应的指数与对数的大小关系比较，从而比较出a,b,c的大小。
4.【解析】【解答】从三类乐器中各选一种有种选法，三种乐器分配给三位同学演奏有种方法，因此所求分配方案数为。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合组合数公式和排列数公式，从而结合分步乘法计数原理，从而求出不同的分配方案种数。
5.【解析】【解答】以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，
那么有，，
设，那么，
由题意可知，
所以，
因为，所以，
故的最大值为。

【分析】以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，那么，，设，那么，再利用条件结合向量的坐标运算和向量相等的等价关系，从而解方程组求出m,n，进而结合辅助角公式化简m+n为正弦型函数，再利用，从而推出的取值范围，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再结合正弦函数的图像求出正弦型函数的最大值，进而求出的最大值。
6.【解析】【解答】设双曲线的焦距为，那么，
因为，所以为圆与双曲线的交点，
联立，解得，
所以三角形的面积为。
故答案为：A.

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，因为，所以为圆与双曲线的交点，再利用圆与双曲线相交，联立二者方程求出交点的纵坐标，再利用三角形面积公式，从而求出三角形的面积。

7.【解析】【解答】父母决定眼皮单双的基因均为，遗传给孩子的基因可能为，，，，所以孩子为双眼皮的概率为，同理孩子卷舌的概率也为，根据相互独立事件的概率公式知，孩子是双眼皮且卷舌的概率为。
故答案为：D.

【分析】利用条件结合古独立事件乘法求概率公式，从而求出孩子是双眼皮且卷舌的概率。
8.【解析】【解答】依题意知为偶函数，其图象关于轴对称，当时，单调递增，且，所以的解集为，将的图象沿轴向右平移2个单位长度后可得的图象，所以不等式的解集为。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合偶函数的定义，推出函数为偶函数，再利用偶函数的图像的对称性，从而推出函数关于y轴对称，再利用增函数的定义结合当时，，所以当时，单调递增，且，再利用偶函数的性质结合增函数的性质，从而求出的解集，子阿里云函数的平移变换，从而求出不等式的解集。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】因为被调查的男女生人数相同，由等高条形统计图可知，喜欢登山的男生占80%，喜欢登山的女生占30%，所以A符合题意，B不符合题意；
设被调查的男女生人数均为，那么由等高条形统计图可得列联表如下：

男
女
合计
喜欢

不喜欢

合计

由公式可得 .
当时，，所以有99%的把握认为喜欢登山和性别有关；
当时，，所以没有99%的把握认为喜欢登山和性别有关，显然的值与的取值有关，所以C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.

【分析】利用等高条形图结合条件，再利用统计的方法推出被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多，再利用条件列出列联表，再利用列联表结合独立性检验的方法，从而判断出被调查的男女生均为100人，那么有99%的把握认为喜欢登山和性别有关。
10.【解析】【解答】对于A，由题意可知的最小正周期，所以在上既可以取得最大值也可以取得最小值，A符合题意.
对于B，函数图象在轴右侧与轴交点的横坐标分别为，，，，要使在上有且只有三个零点，只需，解得，B符合题意.
对于C，函数在上单调递增，因为，所以，C符合题意.
对于D，考虑到的取值范围为，显然，所以可能存在两个最大值点，D不符合题意.
故答案为：ABC.

【分析】由题意结合正弦型函数的最小正周期公式，可知的最小正周期，所以在上既可以取得最大值也可以取得最小值；再利用函数图象在轴右侧与轴交点的横坐标分别为，，，，再利用函数与x轴交点的横坐标与函数的零点的等价关系，所以要使在上有且只有三个零点，从而求出的取值范围；再利用正弦型函数的图像判断其单调性，所以函数在上单调递增，因为，从而求出的取值范围；考虑到的取值范围为，显然，所以可能存在两个最大值点，从而选出说法正确的选项。
11.【解析】【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

设，那么，那么、、、、、、、 .
对于A选项，，，那么，故与不垂直，进而可知，与平面不垂直，A选项错误；
对于B选项，，，
，
所以，异面直线与所成角的余弦值为，B选项正确；
对于C选项，在正四棱柱中，且，
所以，四边形为平行四边形，可得，
平面，平面，那么平面，
所以，点到平面的距离为定值，而的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C选项正确；
对于D选项，因为平面，所以平面和底面的交线与平行.而与平面相交，D选项错误.
故答案为：BC.

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，那么，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而推出与不垂直，再利用线线垂直推出线面垂直，进而可知，与平面不垂直；再利用条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出异面直线与所成角的余弦值；在正四棱柱中，且，再利用平行四边形的定义，推出四边形为平行四边形，可得，再利用线线平行推出线面平行，那么平面，所以，点到平面的距离为定值，从而结合三角形面积公式得出三角形的面积为定值，再利用三棱锥的体积公式推出三棱锥的体积为定值；因为平面，再利用线面平行的性质定理推出线线平行，所以平面和底面的交线与平行，而与平面相交，从而选出说法正确的选项。
12.【解析】【解答】对于A，用替换，曲线的方程不变，曲线关于轴对称，A符合题意.
对于B，由可得，即，B符合题意.
对于C，原曲线可化为，显然，解得，
同理，令，可得个整点分别为，，，，，，C符合题意.
对于D，令，可得，显然点在直线和所围成的正方形区域外部，D不符合题意.
故答案为：ABC

【分析】利用图象上的点关于y轴对称的点的坐标的关系，从而推出曲线关于轴对称；利用曲线方程结合两点距离公式，从而推出；原曲线可化为，再利用判别式法解得，同理，令，可得个整点的坐标；令结合曲线C的方程，可得，显然点在直线和所围成的正方形区域外部，从而选出说法正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】。
【分析】利用条件结合诱导公式和二倍角的余弦公式，从而求出的值。
14.【解析】【解答】解：由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村，
第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式；
第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有种不同情况，
所以所有的不同分派方案有种。
故答案为：900。

【分析】利用条件结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理，再结合组合数公式和排列数公式，从而求出所有不同的分派方案种数。
15.【解析】【解答】解：由题意，，设，
由可得，即，
因为这样的点有且只有一个，所以或，
即或，
由，解得，
综上所述，。
故答案为：。

【分析】利用条件结合抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标，设，由，再利用两点距离公式得出，因为这样的点有且只有一个，再利用分类讨论的方法结合判别式法，从而求出实数a的值。
16.【解析】【解答】，所以，为截面圆的直径，
因为，，所以，
由球的性质可知圆面，即为球心到平面的距离，
在中，，，可得，
所以到平面的距离为，
要使三棱锥的体积最大，应为的延长线与球面的交点，
此时点到平面的距离为，
所以三棱锥体积的最大值为。
故答案为：3；。

【分析】因为，再利用直径所对的圆周角为直角的性质，所以为截面圆的直径，因为，，再利用勾股定理求出的长，由球的性质可知圆面，即为球心到平面的距离，在中，，，再结合勾股定理可得的值，所以到平面的距离为，要使三棱锥的体积最大，应为的延长线与球面的交点，此时点到平面的距离为，再利用三棱锥的体积公式结合几何法得出三棱锥体积的最大值。
四、解答题
17.【解析】【分析】在① ，，② ，，③ ，这三个条件中任选一个，补充到问题中并作答。由可得，两式相减，可得，当时，由可得，满足，所以。
选择条件①，因为，，再利用，所以，，再利用等比数列的通项公式得出，此时，再利用错位相减法得出
，再利用，解得 ( 为偶数)，所以存在正整数，使得成立，的最小值为。
选择条件②，因为，，再利用，所以，，再利用等比数列的通项公式得出，此时，再利用等差数列前n项和公式，得出，由可得，所以存在正整数，使得成立，的最小值为。
选择条件③，因为，，再利用，所以，，再利用等比数列的通项公式得出，此时，再利用错位相减法得出
，因为，所以不存在正整数，使得成立。

18.【解析】【分析】〔1〕利用两角和的余弦公式结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出正弦型函数f(x)的最小正周期。
〔2〕利用〔1〕求出的函数解析式，再由可得，再结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，由以及余弦定理和角B在三角形中的取值范围，从而求出角B的值，再利用三角形三内角和为180度的性质，从而求出角C的值，再利用正弦定理可得a的值。

19.【解析】【分析】〔1〕因为，，，所以，因为平面平面，再利用面面垂直的性质定理得出，再利用线线垂直推出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以，再利用线线垂直推出线线垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，从而证出。
〔2〕作空间直角坐标系，从而结合条件求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，从而求出二面角的余弦值。

20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合某天猫专营店统计了2021年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据表，再结合相关系数求解方法得出r的值，进而利用相关系数判断出可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系，再利用最小二乘法求出线性回归方程，再利用代入法估计出8月10日到该专营店购物的人数。
〔2〕利用条件结合分层抽样的方法，得出从第1天和第5天取的人数分别为3和4，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出这3人取自不同天的概率。
〔3〕假设选方案一，需付款元，假设选方案二，设需付款元，那么的取值可能为，，，，再利用二项分布求概率公式求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望，因，因此选择方案二更划算。

21.【解析】【分析】〔1〕设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可知 ①由椭圆的几何性质可知，当为短轴的顶点时，最大，为，再利用正弦函数的定义推出，联立①②可得，的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕因为，所以，延长，交椭圆于点，设，，由〔1〕可知椭圆焦点，可设直线的斜截式方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，所以，，由对称性可知，设与间的距离为，再利用四边形的面积公式结合弦长公式得出四边形的面积，令，那么，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出四边形的面积的最大值，从而求出此时对应的m的值，进而求出直线的方程。

22.【解析】【分析】〔1〕利用a的取值范围结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数在上的单调性。
〔2)利用函数f(x)的解析式求出函数g(x)的解析式，再利用a的取值范围结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而证出函数 ( 为自然对数的底数)存在唯一极值点，由可得，即，此时，
因为，从而证出。