2021届江西省新八校高三上学期理数第一次联考试卷及答案

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这是一份2021届江西省新八校高三上学期理数第一次联考试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三上学期理数第一次联考试卷
一、单项选择题
1.设集合，，那么等于〔    〕
A.                                     B. R                                    C.                                     D.
2.i为虚数单位，那么的虚部为〔    〕
A. 1                                          B. -1                                          C.                                           D.
3.、为不重合的平面，、为两条直线，以下命题正确的为〔    〕
A. 假设，，，那么                   B. 假设，，那么
C. 假设，，那么                            D. 假设，，，那么
4.假设实数x，y满足约束条件，那么的最小值〔    〕
A. 5                                         B.                                          C. 7                                         D.
5.假设曲线的一条切线为〔e为自然对数的底数〕，其中m，n为正实数，那么的值是〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D.
6.设函数，那么是〔    〕
A. 奇函数，且存在使得                       B. 奇函数，且对任意都有
C. 偶函数，且存在使得                       D. 偶函数，且对任意都有
7.设双曲线的左、右焦点分别为、，过作x轴的垂线与双曲线的渐近线在第一象限交于点B，连接交双曲线的左支于A点，那么的周长为〔    〕
A.                  B.                  C.                  D.
8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心．，那么角A的最大值为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D.
9.十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的根底．著名的“康托三分集〞是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的根底上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集〞．假设使去掉的各区间长度之和不小于，那么需要操作的次数n的最小值为〔    〕参考数据：〔〕
A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 7
10.抛物线上有两点、，焦点为F，那么是“直线经过焦点F〞的〔    〕
A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分又不必要条件
11.设函数，假设函数存在最大值，那么实数a的取值范围是〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D.
12.假设等差数列满足，且，求的取值范围〔    〕
A.                 B.                 C.                 D.
二、填空题
13.向量满足，，，那么向量在向量上的投影为________．
14.的展开式中的常数项是________．
15. 是球O的内接三棱锥，．二面角为，那么球O的半径为________．
16. ，，当时，恒成立，那么的最小值是________．
三、解答题
17.如图，在中，，，点D在线段上．

〔1〕假设，求的长；
〔2〕假设，且，求的值．
18.如图，是的直径，动点P在所在平面上的射影恰是上的动点C，，D是的中点，与交于点E，F是上的一个动点．

〔1〕假设平面，求的值；
〔2〕假设F为的中点，，求直线与平面所成角的余弦值．
19.李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
〔1〕求P的值；
〔2〕设表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量的分布列和数学期望．
20.椭圆的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为，其中．
〔1〕求椭圆的标准方程．
〔2〕过椭圆的左焦点的直线l与椭圆M交于E，H两点，记与的面积分别为和，求的最大值．
21.函数．
〔1〕求函数的单调区间．
〔2〕，假设为极值点，其中为函数的导函数．证明：．
22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为〔t为参数，且〕．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
〔1〕求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
〔2〕点A的极坐标为〔1,0〕，直线与交于点B，其中过点A的直线n与交于M，N两点，假设，且，求的取值
23.函数．
〔1〕求的解集．
〔2〕假设存在a，b，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由可得，所以，
因为指数函数在上为增函数，所以，所以，
∴ ．
故答案为：C

【分析】首相由指数函数的单调性即可求出结合A与集合B再由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，虚部为-1．
故答案为：B

【分析】首先由复数的运算性质整理化简复数再结合共轭复数的定义即可得出答案。
3.【解析】【解答】对于A选项，假设，，，那么与平行或异面，A选项错误；
对于B选项，假设，，那么或，B选项错误；
对于C选项，假设，，那么、、或与斜交，C选项错误；
对于D选项，设直线、的方向向量分别为、，
由于，那么平面的一个法向量为，，那么平面的一个法向量为，
因为，那么，因此，，D选项正确.
故答案为：D.

【分析】由条件结合题意即可判断出直线a与b的关系由此看判断出选线A错误，由题意结合线面平行的定义即可判断出直线与平面的位置关系由此即可判断出选项B和C错误，再由空间直线的位置关系和法向量之间的联系即可判断出选项D正确，进而得到答案。
4.【解析】【解答】不等式组对应的可行域如下列图：

由可得，故，
结合可行域，平移动直线至时，取最小值为 .
故答案为：B.

【分析】根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最小值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。
5.【解析】【解答】，设切点坐标为，∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：C.

【分析】根据导函数与切线斜率之间的关系计算出直线的斜率，再由条件整理化简即可求出结果。
6.【解析】【解答】因为，
所以，
所以是偶函数，AB不符合题意；
令，
那么，
当时，，，
所以，在是单调递增函数，
，即，有，
由偶函数的对称性可得， .
故答案为：D.

【分析】根据题意由偶函数的定义可得f〔x〕为偶函数，再分析x与sinx的大小关系，可得f〔x〕的值域，即可得答案．
7.【解析】【解答】由得，所以，，
双曲线经过点的渐近线为，所以，所以，，
所以，
所以，
所以的周长为 .
故答案为：A

【分析】由双曲线的简单性质结合双曲线里的 a、b 、c 三者的关系，即可求出abc的值，再由双曲线的定义整理化简得出，由此即可得出答案。
8.【解析】【解答】取的中点D，

那么，
，∴ ，
又∵ ，
当且仅当时等号成立，∴ .
故答案为：A.

【分析】首先由数量积的运算性质整理化简条件再由数量积的运算公式代入数值计算出cosA，结合根本不等式即可求出余弦值的最小值进而求出角的最小值即可。
9.【解析】【解答】记为第n次去掉的长度，
，剩下两条长度为的线段，第二次去掉的线段长为，
第次操作后有条线段，每条线段长度为，因此第次去掉的线段长度为，
所以，，，
．n的最小值为6．
故答案为：C．

【分析】首先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第n次操作去掉的区间的长度和为把n次操作和去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前n项和，求出前n项和Sn，再结合对数的运算性质求解不等式即可得出n的最小值。
10.【解析】【解答】设直线为消x得方程，
∴ ．当时，那么，∴
∵ ，∴ ，显然当直线过焦点时有
故答案为：B

【分析】根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与双曲线的方程，消xy等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于n的两根之和与两根之积的代数式，结合条件即可计算出n的值，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。

11.【解析】【解答】显然时，无最大值，
时，存在最大值，，
当时，，递增，当时，，递减，
所以时，取得极大值也是最大值．，
因此要有最大值，必须满足，所以．
故答案为：C．

【分析】首先由分段函数的解析式结合一次函数以及指数函数和反比例函数的性质，即可得出当时无最大值，当时，对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最大值，由此得到a的取值范围。
12.【解析】【解答】设，，
又∵ ，∴ ，即，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，所以，所以，
∴ ．
故答案为：B

【分析】根据题意由圆的几何性质设出数列的参数方程，再由等差中项结合两角和的正弦公式以及同角三角函数的根本关系式整理化简，即可求出关于的代数式再由角的取值范围即可得出取值范围。
二、填空题
13.【解析】【解答】∵ ，∴ ，，∴ ，
∴ ，那么向量在向量的投影为
故答案为：．

【分析】首先由向量的运算性质整理化简再由数量积以及向量投影的公式计算出结果即可。
14.【解析】【解答】原式，展开式中的常数项是：
．
故答案为：-26

【分析】首先展开二项式整理再由常数项的定义即可计算出答案。
15.【解析】【解答】取AB的中点E，找出△ABC的外心O1和△DAB的外心O2 ，
由题意可知：O1E=O2E=1，且∠O1EO2=120°，
过O1 ， O2分别作面ABC和面DAB的垂线交于点O，
那么O为外接球的球心，所以R2=OE2 + EA2=4+3=7, R=
故答案为：
【分析】由球的内接多边形以及二面角的定义结合勾股定理代入数值计算出答案。
16.【解析】【解答】当时，，即恒成立，
是上的增函数，
∴ ，
当时，，即恒成立，
是上的增函数，
∴ ，
∴ ，∴ ，当时等号成立．
故答案为： .

【分析】首先由条件结合不等式的根本性质即可得出b的取值范围，再由x的取值范围即可得出进而得出b的值，再结合根本不等式即可求出最小值。
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)集合题意由正弦定理代入数值计算出结果即可。
(2)由条件结合三角形的面积公式即可求出边的大小，再由正、余弦定理整理即可得出答案。
18.【解析】【分析】(1)根据题意条件由线面平行的性质定理即可得到线线平行，进而得到再由中点以及重心的定义即可得出答案。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线与平面所成角的余弦值。
19.【解析】【分析】(1)结合题意由概率的定义以及性质计算出P的值即可。
(2)根据题意求出的取值，，由此即可得出的分布列并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
20.【解析】【分析】(1)根据题意由条件以及椭圆的 a、b 、c 三者的关系整理即可求出a的值由此求出椭圆的方程即可。
(2)根据题意即可得出直线的斜率存在再由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，结合弦长公式整理化简即可得出关于k的代数式再由根本不等式即可求出最大值即可。

21.【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域再对原函数求导结合导函数的正负情况得到原函数的单调性以及单调区间。
(2)根据题意构造函数再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性由此得出再由对数的运算性质整理化简结合函数的单调性即可得出由此得到答案。
22.【解析】【分析】〔1〕利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
〔2〕利用直线和曲线之间的位置关系，根据一元二次方程根和系数之间的关系式进行应用，结合同角三角函数的根本关系整理化简求出结果即可．
23.【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理化简即可得出函数的解析式，再由不等式的解法即可求出不等式的解集。
(2)首先整理不等式再由换元法以及绝对值不等式的几何意义求出m的取值范围即可。