江西省新余市重点高中2021届高三上学期第一次段考 数学（理）试题（含答案解析）

2021届高考年级上学期第一次段考

数学（理科）试卷

试卷总分：150分   考试时间：120分钟

第I卷（选择题：共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分，每小题只有一个正确选项)

1.若集合，则()（   ）

A.     B.     C.     D.

2.已知为虚数单位，且复数满足，则的共轭复数是(   )

A．      B．     C．     D．

3.已知命题或，则为(   )

A．且 B．或

C．且 D．或

4.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）

A.     B.       C.      D.

5.已知动点的坐标满足方程,则动点的轨迹是(   )

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

6.设函数,则函数的图像可能为(   )

A. B. C.   D.

7. 已知函数，则函数的值域为（   ）

A.    B.    C.      D.

8.已知奇函数在上单调递减，且，若，，，则的大小关系是（   ）

A. B. C.      D.

9.执行如图所示的程序框图,如果输入,那么输出的n的值为(   )

A.2   B.3        C.4       D.5

10. 已知中，分别是的中点，则(   )

A．   B． 

C．  D．

11.已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为(   )

A.  B.  C.      D. 或

12. 设定义域为的函数，若关于的方程

有5个不同的实数解，则（   ）

A.2 B.4           C. 6  D.2或6

第Ⅱ卷（非选择题：共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请将答案填到答题卡指定的横线上）

13.设函数，则_____________.

14.实数满足,则的最大值是_____________．

15. 已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_____________．

16. 设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是_____________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.（本题12分）在公差不为0的等差数列中，成等比数列，数列的前10项和为150.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求.

18.（本题12分）已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；

（2）若是的中点，求二面角的余弦值．

19.（本题12分）2020年上半年,随着新冠肺炎疫情在全球蔓延,全球超过60个国家或地区宣布进入紧急状态,部分国家或地区直接宣布"封国"或"封城",随着国外部分活动进入停摆,全球经济缺乏活力,一些企业开始倒闭,右表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表:

根据右表,给出两种回归模型:

模型①:建立曲线型回归模型求得回归方程为模型②:建立线性回归模型.

(1)根据所给的统计量,求模型②中关于的回归方程;

(2)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数

并选择拟合精度更高,更可靠的模型,预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例(结果保留整数)

参考公式:,;

参考数据:,.

20.（本题12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足为坐标原点若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

21.（本题12分）设函数，.

(1)若，求函数的单调区间.

(2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围.

四、选做题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线和的直角坐标方程；

（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围.

23.（10分）选修4-5：不等式选讲

 已知函数的定义域为R．

（1）求实数m的取值范围；

（2）设实数t为m的最大值，实数满足，试证明：.

2021届高考年级上学期第一次段考

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-6.BACACB     7-12.ADBACC

二、填空题

13.11     14.25     15. [-3,1]      16. [1,+∞]

三、解答题

17.解：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列可得，，即，，，． 

由数列的前10项和为150，得，

即，故，

故数列的通项公式为；

（2）

18.解：（1）设的中点为，连接.

由题意，得，.

因为在中，为的中点，所以，

因为在中，，，所以.

因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面

（2）由（1）问可知平面，所以，于是以

所在直线分别轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，

则，

.

设平面的法向量为，则

由得：.令，得，即.

设平面的法向量为，由得：，令，得，即

.由图可知，二面角的余弦值为

19.解：(1)由,可得,

所以,则

所以模型②中过关于的回归方程为.

(2)对于回归方程,

所以,

所以模型①的小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好

选择模型②,当时, ,

所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为7%.

20.解：（1）由题意得：，解得

∴椭圆的标准方程是

（2）当直线的斜率不存在时，，

，不符合题意

当直线的斜率存在时，

设直线的方程为，，

由消整理得：

，解得或

，

∴

∵  ∴解得，满足

所以存在符合题意的直线，其方程为

21.解：(1)因为函数，

所以的定义域为，.

又，所以

若，则，所以.

令，得，即当时，函数单调递增.

令，得，即当时，函数单调递减.

综上可知，函数的单调增区间为，单调减区间为.

(2)因为，所以，.

又，所以.

①当时，，所以函数在上单调递增.

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增.

即当时，取得最小值，为.

所以当时，函数只有一个零点，所以不满足题意.

②当，即时，.

令，得；令，得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

又，所以，使

所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

作出函数的示意图，如图(1).

要使函数有两个零点，则当x趋近于0时，，

即，解得.所以a的取值范围为.

③当，即时，.

令，得；令，得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以函数在上单调递减.

又，所以当时，函数只有一个零点，所以不满足题意.

④当，即时，.

令，得；令，得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

因为，所以，使.

所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

作出函数的示意图，如图(2).

又，所以由图像可知，，使得.

所以当时，函数有2个零点.

综上可知，当时，函数有两个零点.

四、选做题

22．解：（1）由消去参数，得

则曲线的普通方程为.

由，得，即

则曲线的直角坐标方程为；

（2）曲线上的任意一点到曲线的距离为

故点p到曲线的距离的取值范围为.

23.解：（1）由题意知，恒成立，又，所以实数的取值范围是．

（2）由（1）可知，，所以从而

，

当且仅当，即时等号成立.