2021届重庆市高三高考数学第三次联合诊断检测试卷及答案

这是一份2021届重庆市高三高考数学第三次联合诊断检测试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三高考数学第三次联合诊断检测试卷
一、单项选择题
1. ， ，那么 的值为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
2.设 ，i为虚数单位，且 是实数，那么 的值为〔    〕
A. 1                                          B.                                           C. 0                                          D. -1
3.随机变量X服从正态分布 ，假设 ，那么 〔    〕

4.命题 ， ，命题 ， ，那么〔    〕
A. 是假命题          B. 是真命题          C. 是真命题          D. 是假命题
5.双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，假设 ，且 的周长为 ，那么双曲线C的离心率为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
6.函数 的图象大致为〔    〕
A.                                         B. 
C.                                         D. 
7.京剧脸谱，是一种具有中国文化特色的特殊化装方法.由于每个历史人物或某一种类型的人物都有一种大概的谱式，就像唱歌､奏乐都要按照乐谱一样，所以称为“脸谱〞.脸谱的主要特点有三点：美与丑的矛盾统一，与角色的性格关系密切，其图案是程式化的.在京剧中，并不是每个人物都要勾画脸谱，脸谱的勾画要按照人物角色的分类来进行.京剧的角色主要分为“生〞“旦〞“净〞“丑〞四种，其中“净〞和“丑〞需要画脸谱，“生〞“旦〞只略施脂粉，俗称“素面〞.现有男生甲､乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动，其中女生丙想扮旦角，男生甲想体验画脸谱的角色，假设三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个，那么甲､丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
8.曲线 和曲线 ，假设存在斜率为1的直线与 ， 同时相切，那么b的取值范围是〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
二、多项选择题
9.全集U的两个非空真子集A，B满足 ，那么以下关系一定正确的选项是〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
10.设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，假设某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，那么〔    〕
A. 该正方体的核长为2                                            B. 该正方体的体对角线长为
C. 空心球的内球半径为                                D. 空心球的外球外表积为
11. ，那么〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
12.各项均为正数的数列 的前n项之积为 ，且 ，那么〔    〕
A. 当 时，
B. 当 时，
C. 无论 取何值，均存在 使得 对任意 成立
D. 无论 取何值，数列 中均存在与 的数值相同的另一项
三、填空题
13.幂函数 在 上单调递减，那么 ________.
14.假设 的展开式中存在非零常数项，那么正整数n的最小值为________.
15.假设将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到的新图象与原图象关于x轴对称，那么 的最小值为________.
16.如图，半圆O的直径 ，C为圆弧上的动点(异于A，B两点)，点M，N分别在以线段AC，BC为直径的半圆弧上运动，那么 的最大值为________.

四、解答题
17.设等差数列 的前n项和为 ， ， .
〔1〕求 ；
〔2〕假设 ， 是数列 的前n项和，求证： .
18.三棱柱 中，侧面 ， 均为正方形，二面角 的大小为 .

〔1〕求证： 平面ABC；
〔2〕求异面直线 与 所成角的余弦值.
19.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
〔1〕求C；
〔2〕假设 的面积为 ，求c的最小值.
20.近几年，快递业的迅速开展导致行业内竞争日趋剧烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均本钱y(单位：元)与当天揽收的快递件数x(单位：千件)之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量 (单位：千件)与当日收发一件快递的平均本钱 (单位；元)(i=1，2，3，4，5)数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.








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表中 ， .
〔1〕根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y关于x的回归方程；
〔2〕各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升效劳质量､提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.该网点每天揽收快递的件数x(单位：千件)与单件快递的平均价格t(单位；元)之间的关系是 ，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均本钱，根据〔1〕中建立的回归方程解决以下问题：
①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润；
②单件快递的平均价格 为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .
21.圆 和点 ，动圆 经过点 ，且与圆 内切.
〔1〕求动圆的圆心 的轨迹 的方程；
〔2〕设点 关于点 的对称点为 ，直线 与轨迹 交于 、 两点，假设 的面积为 ，求 的值.
22.函数 (其中 …为自然对数的底数).
〔1〕求证：当 时， ；
〔2〕假设不等式 对 成立，求实数a的值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 及 可知 ，
所以 .
故答案为：D.

【分析】由条件结合二倍角的正弦公式可知 ， 再由同角三角函数的关系可知  的值 。
2.【解析】【解答】
又 是实数，所以 ，所以 .
故答案为：D.

【分析】运用复数的加减、乘除运算法那么计算可得。
3.【解析】【解答】因为X服从正态分布 ， ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：C．

【分析】由 得，  根据可得答案。
4.【解析】【解答】因为 ，所以命题 为真命题，
因为当 时， ，所以命题 为假命题，所以 为真命题，
所以 是真命题.
故答案为：C

【分析】先判断命题p、q的真假，进而可知为真命题，然后利用真值表逐一分析选项即可。
5.【解析】【解答】由双曲线定义知 ，

那么 ， ，所以 ，
∴ 的周长为 ，
∴ ， ，
由 ，
所以 ，故 ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
在 中， ，故 .
故答案为：A.

【分析】  由双曲线定义，运用三角形的周长和向量数量积的性质和勾股定理，再由双曲线的离心率公式，可得所求值。
6.【解析】【解答】分析：由题意结合函数的解析式确定函数的符号，排除错误选项即可求得最终结果.
详解：构造函数 ，那么 ，
函数 在定义域内单调递增，且 ，故 恒成立，
即当 时， ， ，
那么 ， 在区间 上恒成立.
结合选项可知ABD不符合题意.
故答案为：C.

【分析】构造函数 ， 求导数，判断函数的单调性， 恒成立，分析可得 ， 在区间 上恒成立，故可判断正确选项。
7.【解析】【解答】三人选角的不同结果共 种，
假设甲如愿，那么已满足题意，故乙､丙可随机选择，
此种情况包含甲丙都如愿，此时共 种；
假设甲未如愿，那么丙必选旦角，那么甲选生角或旦角，乙只能选净角或丑角，共 种；
所求概率为 ，
故答案为：B.

【分析】先求出根本领件总数， 甲､丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色所包含的根本领件个数，进而求解概率。
8.【解析】【解答】 ， ，设斜率为 的切线在 ， 上的切点横坐标分别为 ， ，
由题知 ，∴ ， ，
两点处的切线方程分别为 和 ，
故 ，即 .
故答案为：D.

【分析】分别求出两函数的导函数，设出直线与两曲线的切点坐标，由导数值求出切点坐标，可得切线方程，由系数相等得b与a的关系式，再由配方法求b得取值范围。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】令 ， ， ，满足 ，但 ， ，A，B均不正确；
由 ，知 ，∴ ，∴ ，
由 ，知 ，∴ ，C，D均正确.
故答案为：CD.

【分析】由题意求解A的补集，根据 ， 可判断 A，B均不正确；由题意知 ，
进而分析， 可知 ， 故C正确；由 ，知 ，即， 故D均正确。
10.【解析】【解答】设内外球半径分别为r，R，那么正方体的棱长为 ，体对角线长为 ，∴ ，
又由题知 ，所以 ， ，
∴正方体棱长为 ，体对角线长为 ，
∴外接球外表积为 ，
故答案为：BD.

【分析】】设内外球半径分别为r，R，由题意可知那么正方体的棱长为 ，体对角线长为 ，所以， 且， 进而求解R，r的值，逐一验证ABC选项的正确性，由球的外表积公式可知外接球外表积，可知选项D正确。
11.【解析】【解答】幂函数 在 上单调递增，故 ，故 正确；
函数 在 上单调递增，故 ， 正确；
取 ， ，得 ，故 错误；
函数 ，易知 函数 上单调递增，故 正确.
故答案为：ABD.

【分析】由幂函数 的单调性可知A正确；函数 在 上单调递增，可知B正确；采用特殊值法判断C错误；由函数 ， 在上单调递增，故 正确。
12.【解析】【解答】假设 ，那么 ，假设 ，那么 ，故 ，A符合题意；
，
故有 ， ，B符合题意；
假设 ，那么 ， ， ， ，
故数列从第2项开始按 ，1，2周期变化，其中没有与 相同的项，C，D均不正确.
故答案为：AB

【分析】通过数学归纳法可判断A；通过观察前几项数值规律进行判断B；运用特殊值法可判断C、D。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意 ，解得 或 ，
假设 ，那么函数为 ，在 上递增，不合题意．
假设 ，那么函数为 ，满足题意．
故答案为：-1．

【分析】由题意知 ， 得到m值，然后根据题意讨论是否符合题意。
14.【解析】【解答】 的展开式的通项 ，
令 ，得 ，因为 ，所以当 时， 有最小值为7.
故答案为：7.

【分析】由二项展开式的通项计算可得 ，  由可知当 时， 有最小值。
15.【解析】【解答】函数 的图象向右平移 个单位长度后对应的解析式为 ，
与 的图象关于x轴对称，
故 ，
∴ ，∴ ，
∴当k=0时， 的最小值为4.
故答案为：4

【分析】由题意可知平移后的解析式为 ， 由与 的图象关于x轴对称，计算可得 ， 分析可知当k=0时，  有最小值。
16.【解析】【解答】 ，对于某固定的点C， 最大，即 在 方向上的投影最大， 在 方向上的投影最小，过M，N分别向直线OC作垂线，垂足分别为P，Q，设 ，当 时， ，如图1，M位于A处时 取最小值 ，NQ与半圆相切时 取最大值 ，此时 ，
是 中点， ， ，在直角梯形 中， ，易得 ，
故 ， 时等号成立；
当 时， ，如图2，仍是M位于A处时 取最小值 ， 与半圆相切时 取最大值 ，同理 ， ，
故 ；综上， 的最大值为 .

　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　图2
故答案为： ．

【分析】对于某固定的点C， 最大，即 在 方向上的投影最大，在 方向上的投影最小，M位于A处时 取最小值  ，NQ与半圆相切时 取最大值 ， 进而分析计算得 ，结合图像以及向量的运算性质，三角函数的性质计算即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕由等差数列的通项公式以及求和公式可得数列  的通项公式；
〔2〕求解  的通项公式，利用求和公式和数列递推式计算可得， 然后计算   ， 故  .
18.【解析】【分析】〔1〕利用线面垂直的判定定理可证明   平面ABC ；
〔2〕 通过证明可知 为二面角  的平面角，利用余弦定理的知识可解得所求角的余弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕对  利用两角和的正弦公式以及正弦定理可得 ， 再利用三角恒等变换可知 ， 由C的范围可知 。
〔2〕利用面积公式可得  ， 由余弦定理可得 ， 利用根本不等式可得  ，分析可得C值。
20.【解析】【分析】〔1〕有散点图的形状确定  适宜作为y关于x的回归方程类型，令   ， 那么    利用公式求出线性回归方程的参数，由此求出回归方程；
〔2〕设收发x千件快递获利z千元 ，由题意求出Z的函数关系式，
①当  时， 求出z的值 ； ② 利用二次函数的性质分析求解即可。
21.【解析】【分析】〔1〕由题意可知    ， 即  ，  的轨迹为以  点与  点为焦点、  为长轴长的椭圆， 由此计算椭圆方程即可。
〔2〕 由题意可设直线  的方程为  与椭圆方程联立，设   ，    由根与系数的关系    ，    ，  结合三角形的面积公式可知 ，可得  的值，进而求解t值。
22.【解析】【分析】〔1〕求导，利用导数判断函数的单调性，继而得出其最值情况，由此即可得证；
〔2〕当  时与题意不符 ；当  时，分 和   及  三种情况讨论，判断其最小值与零的大小关系即可得出答案。