2021届四川省凉山州高三理数第一次诊断性检测试卷及答案

这是一份2021届四川省凉山州高三理数第一次诊断性检测试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第一次诊断性检测试卷
一、单项选择题
1.结合 ， ，那么 〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
2.复数 的实部和虚局部别为 ， ，那么 〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
3.方程 的解集为〔    〕
A.                                        B. {4}                                       C.                                        D. 
4.中， ，那么 〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
5.为正项等差数列 的前 项和， ，那么 〔    〕
A. 3                                           B.                                            C. 2                                           D. 
6.电路制造在半导体芯片外表上的集成电路称为薄膜(thin-film)集成电路，集成电路对于离散晶体管有本钱和性能两个主要优势.从存放有编号分别为1，2，3，…，8的芯片的盒子中，有放回地取1000次，每次取一张芯片并记下编号.统计结果如下：
芯片编号
1
2
3
4
5
6
7
8
取到的次数
127
141

110
118
150
123
109
那么取到号码为奇数的频率为〔    〕

7.直线 和双曲线 的渐近线相交于 ， 两点，那么线段 的长度为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
8.抛物线 ： 在点 处的切线方程为 ，那么 的焦点坐标为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
9. 为等边三角形， ，设点 ， 满足 ， ， 与 交于点 ，那么 〔    〕
A.                                            B.                                            C. 1                                           D. 2
10.日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为 ，矩形的宽和正方形的边长均为 .假设该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为 ，那么 的最大值为〔    〕

A.                                  B.                                  C. 32π                                 D. 
11.设椭圆 ： ( )的左､右焦点分别为 ， ，直线 ： 交椭圆 于点 ， ，假设 的周长的最大值为12，那么 的离心率为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
12.克糖水中含有 克糖，糖的质量与糖水的质量比为 ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 ( ， ).假设 ， ， ，那么〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
二、填空题
13.的展开式中的常数项是________.(用数字作答)
14.定义在 上的函数 满足 .当 时， ，那么不等式 的解集用区间表示为________.
15.设 为数列 的前 项和， ， ，且 ，那么 ________.
16.在空间中，过 点作平面 的垂线，垂足为 ，记作： .关于两个不同的平面 ， 有如下四个命题：
①假设 ，那么存在点 满足 .
②假设 ，那么存在点 满足 .
③假设 ，那么不存在点 满足 .
④假设对空间任意一点 ，恒有 ，那么 .
其中所有真命题的序号是________.
三、解答题
17.2021年1月24日，中国疾控中心成功别离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2021年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反响的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人.
运算公式： ，
对照表：
( )









〔1〕根据条件完成下面的 列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？

大龄受试者
年轻受试者
合计
舒张压偏高或偏低



舒张压正常



合计



〔2〕在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为 ，求 的分布列和数学期望.
18.函数 ( ， ， )的局部图象如以下图， 为图象与 轴的交点， ， 分别为图象的最高点和最低点， 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的面积 .

〔1〕求 的角 的大小；
〔2〕假设 ，点 的坐标为 ，求 的最小正周期及 的值.
19.如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，且 ， ， 分别为 ， 的中点.

〔1〕假设 ，求证： 平面 ；
〔2〕假设四棱锥 的体积为2，求二面角 的余弦值.
20.椭圆 ： ( )的左焦点为 ，且椭圆 经过点 ，直线 ( )与 交于 ， 两点〔异于点 〕.
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕证明：直线 与直线 的斜率之和为定值，并求出这个定值.
21.设函数 ( ).
〔1〕假设 ，求 的极值；
〔2〕讨论函数 的单调性；
〔3〕假设 ，证明： .
22.直线 的参数方程为 ( 为参数)，假设以直角坐标系 的 点为极点， 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕求直线 的倾斜角和曲线 的直角坐标方程；
〔2〕假设直线 与曲线 交于 ， 两点，设点 ，求 .
23. ， ， 恒成立.
〔1〕假设 ， ，求 的最小值；
〔2〕求 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解： ，所以 ，
故答案为：B

【分析】求出集合A，利用交集定义即可得到答案。
2.【解析】【解答】 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：A.

【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果。
3.【解析】【解答】因为 ，所以 且 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，
故答案为：A.

【分析】先化简原方程，再根据指数函数的单调性将问题转化为对数方程，由此求解出方程的解集。
4.【解析】【解答】因为在 中， ，
所以 ，且A为锐角，
所以 ，
故答案为：C

【分析】根据， 利用诱导公式得到， 再利用半角公式求解，即可得到答案。
5.【解析】【解答】因为数列 为正项等差数列，且 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：B

【分析】利用等差数列的性质及等差数列的求和公式即可得到答案。
6.【解析】【解答】设编号为奇数对应的次数的总和为 ，
所以 ，
所以取到号码为奇数的频率为： ，
故答案为：B.

【分析】计算出编号为奇数对应的次数的总和， 再用除以1000即可求解除对应的频率，从而得出答案。
7.【解析】【解答】双曲线 的渐近线为 ，
设 与 相交于A点，与 相较于B点，
由 解得 ，由 解得 ，
所以 ，
故答案为：A.

【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求得其渐近线方程，分别与直线方程联立，求得交点坐标，之后利用两点间距离公式求得结果。
8.【解析】【解答】解： ，所以 在点 处的切线斜率为 ，
切线 的斜率为 ，所以 ，抛物线方程为 ，
的焦点坐标为 ，
故答案为：B

【分析】求出函数的导数，可得在点 处的切线斜率为 ，再由与得 ， 求出 ， 进而求出抛物线方程，进而求出的焦点坐标。
9.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 为 的一个靠近 的三等分点，又因为 ，所以 为 的中点，
过 作 交 于 点，如以下图所示：

因为 且 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：D.

【分析】先根据条件确定出P点位置，然后用表示出， 最后根据向量的数量积运算求解出  的结果。
10.【解析】【解答】根据题意作出礼盒的直观图如以下图所示：

由图可知该几何体为直三棱柱，
设等腰三角形的内切圆半径为 ，又因为等腰三角形的高为 ，
所以根据等面积法可知： ，所以 ，
又因为正方形的边长为 ，所以 ，
所以球形硬糖的半径最大值为 ，所以体积 的最大值为 ，
故答案为：A.

【分析】根据条件先做出礼盒的直观图，再通过分析直观图中等腰三角形的内切圆的半径以及半径与正方形边长的关系，确定出球形硬糖的最大半径，从而体积的最大值可求出。
11.【解析】【解答】 的周长等于
，
因为 当且仅当 三点共线时等号成立，
所以 ，
即 的周长的最大为 ，所以 ，解得： ，
由椭圆的方程可得： ，所以 ，
所以 的离心率为 ，
故答案为：B

【分析】先利用椭圆的定义求出的周长的最大值可得的值，根据椭圆方程即可求的值，进而可求离心率。
12.【解析】【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
根据题意当 ， 时 成立，
又 ，
所以 ，
即： ，
又
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.

【分析】根据题意当 ， 时 成立，得出，用作差法比较得出， 即可得出答案。
二、填空题
13.【解析】【解答】展开式的通项公式为： ，
令 ，所以 ，
所以展开式中常数项为： ，
故答案为：135.

【分析】先写出展开式的通项公式，然后令的指数为0，求解出的值，再将的值代入展开式的通项公式中即可求出常数项的值。
14.【解析】【解答】因为 且 的定义域为 关于原点对称，所以 为奇函数，
当 时， ，所以 ，所以 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
所以不等式的解集为： ，
故答案为： .

【分析】利用函数的奇偶性求出函数的表达式，然后解不等式即可求出不等式  的解集。
15.【解析】【解答】解：因为 即
所以数列 中：奇数项放在一起成等比数列，偶数项放在一起成等比数列，
所以 成等比数列， 成等比数列，
又 ，
所以

.
故答案为：509.

【分析】由可得，数列 中：奇数项放在一起成等比数列，偶数项放在一起成等比数列，再利用分组求和法即可求出 。
16.【解析】【解答】①设 ，因为 ，所以 ，那么 ，故错误；②设 ，假设 ，当点 时，满足 ，故正确；③设 ，那么 ，. 因为 ，所以 ，那么 ，故正确；④设 ，那么 ，因为恒有 ，那么 重合与一点Q，那么 为矩形，所以 ，故正确；
故答案为：②③ ④

【分析】 ① 根据，  判断； ② 由判断；③根据 ，所以 判断；④设 ，根据 ， 那么 重合与一点Q判断。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕根据题意列出列联表，再计算 故没有99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；
〔2〕由分层抽样得抽得样本的 大龄受试者有3人，年轻受试者有3人，   的可能取值为  ， 再结合超几何分布求概率和期望即可。
18.【解析】【分析】〔1〕根据  ， 利用余弦定理和三角形面积公式，易得 即 求解；
〔2〕由   ， 利用余弦定理可得， 进而得到函数  的最小正周期为2 ，然后由点  在函数  的图象上，求得即可。
19.【解析】【分析】〔1〕依据线面垂直的判定定理，可证明 和 ， 进而证出  平面  ； 
〔2〕首先求PA的长度，再建立空间直角坐标系，求平面 和平面  的法向量，再求二面角的余弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕 由题意得： ，进而求得 的值，得到 椭圆  的方程 ；
〔2〕 设 ，联立直线方程与椭圆方程，消元，利用韦达定理得到  ， 利用两点斜率坐标公式，结合韦达定理证得结果。
21.【解析】【分析】〔1〕由 得到 ， 然后分别令 ，   ，再根据极值的定义求解；
〔2〕由  ，分  ，  ，   ， ， 由 ， 求解；
〔3〕根据〔1〕知   在  上为减函数，得到 ， 即 ， 然后令  ，得到 ， 再利用不等式的性质求解。
22.【解析】【分析】〔1〕将直线 的参数方程化为直角坐标方程，根据斜率求解出倾斜角，将曲线C的极坐标方程左右同乘， 再根据求解出C的直角坐标方程；
〔2〕先将直线的参数方程化为标准方程形式，再将直线的参数方程带入C的直角坐标方程，根据参数t的几何意义求解出   的值。
23.【解析】【分析】〔1〕运用根本不等式和“1〞的代换，化简计算可得所求最小值；
〔2〕由题意可得 ， 讨论的范围，去绝对值，解不等式，并求集，即可得所求范围。