2021届浙江省嘉兴市六校高三下学期数学5月联考试卷及答案

这是一份2021届浙江省嘉兴市六校高三下学期数学5月联考试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学5月联考试卷
一、单项选择题
1. 为虚数单位，且复数 是纯虚数，那么实数 〔    〕．
A. 1或-1                                         B. 1                                         C. -1                                         D. 0
2.二项式 的展开式的第3，4，5项之和是〔    〕．
A. 460                   B. 140                   C.                    D. 
3.设集合 ，假设 ，那么 ，那么运算符 可能是〔    〕．
A. ＋                                          B. －                                          C. ×                                          D. ÷
4.在平面直角坐标系中，以下不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形的是〔    〕．
A.               B.               C.               D. 
5.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外表积是〔    〕．

A.                               B.                               C.                               D. 
6.直线 与圆 相切，那么 的取值范围是〔    〕．
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
7.在 中，“ 为钝角三角形〞是“ 〞的〔    〕．
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
8. ，过抛物线 的焦点 作直线交 于 ， 两点，假设 上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，那么t〔    〕．
A. 是定值                        B. 有最大值                        C. 有最小值                        D. 以上说法均不正确
9.数列 满足 ， ， ， ，当 取最小值时，该数列的前2021项的和是〔    〕．
A. 674                                     B. 673                                     C. 1348                                     D. 1347
10.如图，将矩形纸片 折起一角落 得到 ，记二面角 的大小为 ，直线 ， 与平面 所成角分别为 ， ，那么〔    〕．

A.                          B.                          C.                          D. 
二、填空题
11.早在宋代，我国著名学者沈括编著的?梦溪笔谈?中，就有对排列组合问题的研究：在一个 的棋盘中，布局4颗相同的棋子，且每一行只有1颗棋子，那么不同的棋局总数为________．
12.假设正实数 ， 满足 ，那么 的最小值是________．
13.平面单位向量 ， 满足 ， ，记 为向量 与 的夹角，那么 的最小值是________．
14.过点 的直线 在坐标轴上的截距相等，那么 的方程是________，原点到 的距离是________．
15.假设函数 的局部图象如下列图，那么 ________， ________．

16.在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是________〔用数字作答〕，记 为这3个数中两数相邻的组数〔例如：假设取出的数为1，2，3，那么有两组相邻的数1，2和2，3，此时 的值是2〕，那么 ________．
17. ，函数 ，那么 的零点个数是________，假设实数 满足 ，那么 的取值范围是________．
三、解答题
18.函数 ．
〔1〕求 的极值点；
〔2〕假设 ， ，求 ．
19.等腰梯形 中， ， ，矩形 满足：平面 平面 ， ，如下列图．

〔1〕求证： 平面 ：
〔2〕求二面角 的余弦值．
20.数列 ， 满足： ， ，记数列 的前 项和为 ， ．
〔Ⅰ〕求 与 ；
〔Ⅱ〕求证： ．
21.如图，直线 为椭圆 与抛物线 的公切线，其中点 ， 分别在 ， 上，线段 交 于点 ．

〔Ⅰ〕求 的取值范围；
〔Ⅱ〕记 的面积为 ，求 的最小值．
22.定义：函数 ， 的定义域的交集为 ， ，假设对任意的 ，都存在 ，使得 ， ， 成等比数列， ， ， 成等差数列，那么我们称 ， 为一对“ 函数〞，函数 ， ， ．
〔Ⅰ〕求函数 的单调区间；
〔Ⅱ〕求证： ；
〔Ⅲ〕假设 ，对任意的 ， ， 为一对“ 函数〞，求证： ．〔 为自然对数的底数〕

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，
因为复数 是纯虚数，故 ， 即 。
故答案为：A.

【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数 的代数表达式，再利用复数为纯虚数的判断方法，从而求出实数a的值。
2.【解析】【解答】二项式 的展开式的通项为
∴

∴第3，4，5项之和是 。
故答案为：D

【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，进而求出展开式中的第3，4，5项，从而求出展开式中第3，4，5项之和。
3.【解析】【解答】对任意 ， ， ，显然 ，拟 ，A符合题意；
， ，而 ，所以 ，B不符合题意，
，设 ，那么 ，所以 ，D不符合题意，
又 ，但 不能写成 的形式，C不符合题意．
故答案为：A．

【分析】利用集合 ，假设 ，那么 ， 从而结合对数的运算法那么和元素与集合间的关系，从而推出运算符 可能的选项。
4.【解析】【解答】A中的区域不是三角形如下列图：

B中的区域是锐角三角形如下列图：

C中的区域不是三角形如下列图：

D中的区域是钝角三角形如下列图：

由 ,得 ，所以 ，
由 ,得 ，所以
由 ，得 ， 所以
因为 ，
所以 为钝角。
故答案为：B

【分析】利用条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而结合可行域对应的图像结合数量积的坐标表示和数量积的正负判断角的取值范围，进而选出不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形的选项。
5.【解析】【解答】根据三视图可得如下列图的几何体，、
该几何体的外表积为： 。
故答案为：D.

【分析】利用三视图复原得出立体几何图形，再利用条件结合面积求和法，从而求出多面体外表积，进而求出该几何体的外表积。
6.【解析】【解答】由条件可知， ，即 ，
， ， ，
。
故答案为：C

【分析】利用条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法，从而求出 的取值范围 。
7.【解析】【解答】取 ，那么 ，
故“ 为钝角三角形〞推不出“ 〞.
假设 ，
假设 为钝角或直角，那么 ，矛盾，故 为锐角，
同理 为锐角.
假设 ，那么 ，故 ，
所以 ，故 ，矛盾.
故 即 为钝角.
故“ 〞能推出“ 为钝角三角形〞，
故答案为：B.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出 “ 为钝角三角形〞是“ 〞的必要不充分条件。
8.【解析】【解答】由抛物线方程可得： ，
设直线 ， 的中点为 ， ，
由 可得 ，故 ，所以 ，
故 ，所以 ，
所以 ， 。
故答案为：A.

【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点的坐标，设直线 ， 的中点为 ， ， 再利用直线与抛物线相交联立二者方程，再结合韦达定理和中点坐标公式，从而求出点M的坐标，进而求出点Q的坐标，再利用点Q在抛物线上结合代入法，从而求出t的值，进而推出t为定值。
9.【解析】【解答】假设 ，那么 为常数列，故 ，此时 ，故 舍去.
假设 ，那么 ，故 ，故 或 〔舍〕.
故 ，但 ，故 舍去.
假设 ，那么 ， ， ，
假设 ，那么 且 ，
整理得到 ，解得 .
假设 ，那么 且 ，
整理得到 ，无解.
又当 时，有 ， ， ， ， ，
此时 确为周期为3的周期数列.
该数列的前2021项的和为 。
故答案为：C.

【分析】假设 ，那么 为常数列，故 ，此时 ，故 舍去，假设 ，那么 ，故 ，再利用绝对值方程求解方法，故 或 〔舍〕，故 ，但 ，故 舍去，假设 ，那么 ， ， ，假设 ，那么 且 ，整理得到 的值，假设 ，那么 且 ，整理得到 ，无解，又当 时，有 ， ， ， ， ，从而结合周期函数的定义得出此时数列 为周期为3的周期数列，再利用数列的周期性，从而求出该数列的前2021项的和 。
10.【解析】【解答】如图，过 作 平面 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，

设 ，
因为 平面 ， 平面 ，故 ，
而 ，故 平面 ，而 平面 ，
所以 ，故 ，
又 ， .
在直角三角形 中， ，同理 ，
故 ，同理 ，
故 ，故 ，
整理得到 ，
故 ，
整理得到 即 ，
假设 ，由 可得 即 ，
但 ，故 ，即 ，矛盾，
故 .
A符合题意，B不符合题意.
由 可得 ，
而 均为锐角，故 ， ，CD不符合题意.
故答案为：A.

【分析】过 作 平面 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，再利用折叠的方法结合二面角的求解方法和线面角的求解方法，从而推出， 进而选出正确选项。
二、填空题
11.【解析】【解答】如下列图，以下列图是一个4行3列的棋盘，假设每行只有一个棋子，每颗棋子放在一行，都有3种方法，那么共有 种方法。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
故答案为：81。

【分析】利用条件结合排列的方法，从而求出不同的棋局总数。
12.【解析】【解答】因为正实数 ， 满足 ，所以 ，解得 或 ，而 均为正数，所以 ，设 ，
那么 ，
时，由不等式 ，当且仅当 时等号成立知 在 上单调递增，又 ，所以 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值是 。
故答案为： 。

【分析】因为正实数 ， 满足 ，所以 ，再利用一元二次不等式求解集的方法解得的取值范围， 而 均为正数，所以 ，设 ，
那么 ，再利用均值不等式求最值的方法，得出 在 上单调递增，又因为 ，所以 时， 取得最小值，进而求出 的最小值 。
13.【解析】【解答】如下列图，设 ， ， ，

因为 ，所以 ，
所以 点在直线 上运动，
又因为 ，所以 点在直线 上运动，
故 点是 与 的交点，
利用相似可知 ，过点 作 交 于点 ，
所以 ，故点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
又因为向量 与 的夹角 为角 ，
在 中， ，由正弦定理可得 ，
所以 ，
因为 与 都单调递增，
所以当 时 最大，此时 ， ，
所以 的最大值为 。

【分析】设 ， ，再利用平行四边形法那么，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 点在直线 上运动，又因为 ，所以 点在直线 上运动，故 点是 与 的交点，利用两几何图形相似对应边成比例，可知 ，过点 作 交 于点 ， 所以 ，故点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，又因为向量 与 的夹角 为角 ，在 中， ，由正弦定理可得， 因为 与 都单调递增，所以，当 时 ，最大，从而求出此时 ， 的值，进而求出 的最大值。
14.【解析】【解答】当直线过原点时， 过点 时， ，即 ，
此时原点到直线 的距离为 ；
当直线不过原点时，设直线 ，当直线过点 时， ，得 ，
即直线方程是 ，即 ，
此时原点到直线的距离 。
故答案为： ， ； ， 。

【分析】利用点斜式设出过点 的直线 的方程，再利用分类讨论的方法，再转化为直线的截距式方程，再利用直线 在坐标轴上的截距相等， 从而求出直线 的方程；再利用点到直线的距离公式，从而求出原点到直线 的距离。
15.【解析】【解答】由题意 ，所以 ，又 ， ，而 ，所以 ，
， ，所以 。
故答案为： ， 。

【分析】利用正弦型函数的局部图象的最高点的纵坐标求出A的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出的值，再利用正弦函数五点对应法，从而结合取值范围，从而求出的值，从而求出正弦型函数的解析式，再结合代入法求出函数值。
16.【解析】【解答】〔1〕记“这3个数恰有一个是偶数〞为事件 ，那么 〔A〕 ．
〔2〕随机变量 的取值为0，1，2，
的情况：123、234、345、456、567、678、789，共7种可能，
的情况： ， ，有 种；
， ， ，有 种；
总共42种，
的情况： 种，
故 ， ， ，
所以 的分布列为

0
1
2




所以 的数学期望为 ，
∴ 。
故答案为： ； 。

【分析】利用条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，从而求出任取3个数，其中恰有1个偶数的概率；利用条件求出随机变量 的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量 的分布列，再利用随机变量分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量 的数学期望，再结合数学期望的性质，从而求出 的值。
17.【解析】【解答】令 ，当 时，有 ，因为 ，那么 无解；
当 时，有 ，得 ，假设 ，那么 ， 无解；
假设 ，那么 ， 一个解；假设 时，那么 ， 无解；
当 时， ，所以 ，解得 ，
当 时， ，假设 ，那么 ，解得 且 ；
假设 ， ，那么 成立；
所以 的取值范围是或，
故答案为：当 时，1个零点，当 时，0个零点；或。

【分析】利用条件结合分段函数的解析式，再利用代入法结合函数零点的定义，从而结合分类讨论的方法和函数的零点与方程的根的等价关系，进而求出零点的个数；再利用条件结合分段函数的解析式，再结合分类讨论的方法结合绝对值不等式求解集的方法，从而求出实数a的取值范围。
三、解答题
18.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点。
〔2〕利用条件 结合代入法，得出 ， 再利用 结合同角三角函数根本关系式，从而得出 ， 再利用角之间的关系式结合两角差的正弦公式，从而求出 的值。
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕 在等腰梯形 中，不妨设 ，可知 ，再利用
平面 平面 ，从而结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而证出直线 平面 。
〔2〕 以 ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合二面角为锐角 ，从而求出二面角 的余弦值。
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合递推公式变形，从而结合等差数列的定义，从而推出数列 为等差数列，再利用等差数列通项公式，从而求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，从而求出数列 的前n项和，再利用条件 ，所以 ，当 时，结合作商法得出 ，从而结合等比数列的定义推出数列 为等比数列，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕 由〔1〕得 ， 所以 ， 再利用错位相减的方法，从而得出    〔*〕，记 ，再利用错位相减的方法结合放缩法，得出 ，再将   代入〔*〕结合放缩法，得 ， 从而证出不等式 成立。

 
21.【解析】【分析】〔1〕利用点P在椭圆上结合代入法，再结合两点求距离公式，从而结合 ， 再利用二次函数图象求值域的方法，从而求出 的取值范围 。
〔2〕由题可知， 斜率存在，且不为0，设直线 ， ， ，再利用直线与椭圆相交，联立直线与椭圆的方程结合判别式法得出 ， 再利用直线与抛物线相交，联立直线与抛物线方程结合判别式法，得出 ， ，，再利用弦长公式得出，再利用椭圆与抛物线相交，联立二者方程得出 ， ，再利用点到直线距离公式得出点 到直线 的距离为 ，再利用三角形面积公式得出 ，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出三角形 的面积的最小值。
 
22.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
〔2〕由〔1〕得 ，再利用分析法的证明方法，要证 ，即证 ，设函数 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即 恒成立，所以 ，综上所述，证出不等式 成立。
〔3〕利用两种方法求解。由题设，对任意 ，存在 ，使得 ，且 ，而 ，
故 。法一，由〔2〕得 ，所以 ，令 ，那么 ，令 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理得出存在 〔 〕，使得 ，故不等式 的解为 ，从而证出 。法二，由均值不等式得 故 ，令 ，那么 ，同方法法一一样，有不等式 的解为 ，从而证出 。