浙江省四校2022届高三下学期数学联考试卷及答案

这是一份浙江省四校2022届高三下学期数学联考试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省四校2022届高三下学期数学联考试卷一、单选题1．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　）A． B．C． D．2．已知复数，且，则（　　）A． B． C．1 D．23．已知实数，满足约束条件，若目标函数的最大值是7，则实数（　　）A． B． C． D．4．“”是“”的（　　）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设随机变量，满足：，，若，则（　　）A．3 B． C．4 D．6．函数的图象大致为（　　）A． B．C． D．7．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（　　）A．48 B．54 C．60 D．728．如图，在边长为2的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，则以下结论不正确的是（　　）A．B．直线与平面所成角最大值为C．面积的最小值是D．当时，平面平面9．已知点F为双曲线(，)的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A、B两点(点B在双曲线左支上)，连接BF并延长交双曲线于点C，且，AF⊥BC，则该双曲线的离心率为(　　)A． B． C． D．10．已知正项数列满足，，则（　　）A．对于任意正数，数列是单调B．当时，数列的最大项是C．当时，对恒成立D．当时，对恒成立二、填空题11．已知实数，，满足，则直线恒过定点　          　，该直线被圆所截得弦长的取值范围为　        　.12．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为　     　，若这些数构成一个数列，记为数列，则　     　．13．已知，则=　     　，=　     　．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　     　，表面积为　     　．  15．在△中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为　     　．16．若不等式恒成立，则a的取值范围是　              　.17．已知单位向量满足，，则对任意，的最小值为　     　.三、解答题18．已知函数 满足 ．  （Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设 ，且 ，求sin2α．19．如图1所示，在矩形中，，，为中点，将沿折起，使点到点处，且平面平面，如图2所示.（1）求证：；（2）在棱上取点，使平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.20．已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；（3）若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．21．已知、分别为椭圆的右焦点和左顶点，，分别在椭圆上运动，点，分别在直线，上.（1）若，求的值；（2）记，若直线过点，求证：.22．已知函数的图象与轴相切于原点．（1）求，的值；（2）若在上有唯一零点，求实数的取值范围．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】（-1，2）；12．【答案】92；33613．【答案】-240；014．【答案】12；3615．【答案】1216．【答案】(-∞，2-2ln2]17．【答案】18．【答案】解：（Ⅰ）∵函数 ，   ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，又 故 ；（Ⅱ）由题意 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，故 .19．【答案】（1）证明：在矩形中，连接交于点，由题知，，，所以，即，又，所以，所以，即，故在翻折后的四棱锥中，有，又，所以平面，又平面，所以（2）解：如图所示，以点为原点，方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，在矩形中，经计算可得，因此，过点作于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又由(1)知，且，所以平面，所以，即有，因为点在上，设，则，由解得，即，又平面的一个法向量为，且，设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为20．【答案】（1）解：因，即，则当时，，即，而当，则，即，于是有数列是以为公比，2为首项的等比数列，因此，，所以数列的通项公式是：，（2）解：数列为等差数列且，则公差，，对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立，令，则，当，2时，，当时，，于是得，，则，所以实数k的取值范围是（3）证明：对于任意的正整数n，，当时，，而，则，当时，，上式两边同时乘以得：，因此，，即，从而有，而也满足上式，则，，，所以数列是以为首项，公差为 的等差数列21．【答案】（1）解：因为，所以，所以，设，而，则，解得，，将其代入，解得（2）证明：设，若，则为椭圆的右顶点，由直线过点知，为椭圆的左顶点，不符合题意，所以，同理，直线的方程为，联立椭圆得，消去，整理得，成立，由，解得，所以，所以，当时，，，即直线轴，由椭圆的对称性可得，又因为，所以，当时，，直线的斜率，同理，因为过点，所以，所以，在和中，，，所以，因为，均为锐角，所以，综上所述，若直线过点，则22．【答案】（1）解：，依题意，即解得（2）解：由（1）得，记，，所以，①当时，（ⅰ）当时，，所以为增函数，又因为，，所以存在唯一实数，使得．（ⅱ）当时，，则．由（ⅰ）（ⅱ）可知，单调递减，单调递增．因为，所以存在唯一实数，使得，所以当时，，即单调递减；，，即，单调递增．因为，所以存在唯一实数：，使得，即在上有唯一零点，符合题意．②当时，，记．，所以，所以为增函数，，所以为增函数，，则，所以在上没有零点，不合题意，舍去．综上，a的取值范围为．