2021届云南省大理州高三理数二模试卷及答案

这是一份2021届云南省大理州高三理数二模试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
2.设复数 ，那么 在复平面中对应的点为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
3.“ 〞是“ 〞的〔   〕
A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件
4.在区间 上任取一个数k，使直线 与圆 相交的概率为〔   〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
5. ， ， ，那么 的大小关系为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
6.双曲线 的离心率为 ，那么点 到 的渐近线的距离为(   )
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
n为等比数列{an}的前n项和．假设a5–a3=12，a6–a4=24，那么 =〔    〕
A. 2n–1                                B. 2–21–n                                C. 2–2n–1                                D. 21–n–1
8.执行如图的程序框图，假设输入k的值为3，那么输出S的值为〔   〕
​​
A. 10                                         B. 15                                         C. 18                                         D. 21
9.四面体 所有顶点都在球 的球面上，且 平面 ，假设 ， ， ，那么球 的外表积为〔    〕
A. 4π                                       B. 6π                                       C. 8π                                       D. 12π
10.函数 的零点依次构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿x轴向右平移 个单位，得到函数 的图象，那么函数 〔    〕
A. 是偶函数                                                            B. 其图象关于直线 对称
C. 在 上是增函数                                         D. 在区间 上的值域为
11.设抛物线 的焦点为F ， 过F的直线l与抛物线交于点A，B ， 与圆 交于点P，Q ， 其中点A，P在第一象限，那么 的最小值为〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
12.函数 ， ，假设对于任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，那么实数a的取值范围是〔    〕
A. 〔e，4〕                      B. 〔e ，4]                      C. 〔e ，4〕                      D. 〔 ，4]
二、填空题
13. ， ，且 ，那么向量 与 夹角的大小为________
14.中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有?算数书??九章算术??周髀算经??孙子算经?等，有3名中学生方案去图书馆阅读这四种古典数学著作(这四种著作每种各一本)，要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，那么不同的阅读方案的总数有________种．(请用数字作答)
15.如图，在正方体 中，点 在线段 上移动，有以下判断：①平面 平面 ；②平面 平面 ；③三棱锥 的体积不变；④ 平面 ．其中，正确的选项是________．〔把所有正确的判断的序号都填上〕

16.我们把 叫“费马数〞〔费马是十七世纪法国数学家〕，设 ， 表示数列 的前n项之和，那么使不等式 成立的最大正整数n的值是________
三、解答题
17.△ABC中，角A ， B ， C对边的边长分别是a ， b ， c ， 且a〔cosB+cosC〕＝b+c ．
〔1〕求证：A ；
〔2〕假设△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．
18.如图甲，在 中， ， ， ， ， 分别在 ， 上，且满足 ，将 沿 折到 位置，得到四棱锥 ，如图乙．

〔1〕 ， 为 ， 上的动点，求证： ；
〔2〕在翻折过程中，当二面角 为60°时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术拟对“麒麟〞 芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x〔亿元与科技升级直接收益y〔亿元〕的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58

68

66
66
当 时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： ；模型②： ；当 时，确定y与x满足的线性回归方程为 ．
〔1〕根据以下表格中的数据，比较当 时模型①、②的相关指数 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟〞 芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．
回归模型
模型①
模型②
回归方程





〔附：刻画回归效果的相关指数 ， 〕
〔2〕为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
〔附：用最小二乘法求线性回归方程 的系数： ， 〕
〔3〕科技升级后，“麒麟〞芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布 ．公司对科技升级团队的奖励方案如下：假设芯片的效率不超过50%，不予奖励：假设芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；假设芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求 〔精确到0.01〕．
〔附：假设随机变量 ，那么 ， 〕
20.椭圆 ： 的两个焦点为 ， ，焦距为 ，直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点， 为弦 的中点.
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕假设直线 ： 与椭圆 相交于不同的两点 ， ， ，假设 〔 为坐标原点〕，求 的取值范围.
21.函数 ，
〔1〕当 时，求 的单调区间；
〔2〕当 ，讨论 的零点个数；
22.以直角坐标系 的原点为极坐标系的极点， 轴的正半轴为极轴．曲线 的极坐标方程为 ， 是 上一动点， ，点 的轨迹为 ．
〔1〕求曲线 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
〔2〕假设点 ，直线 的参数方程 〔 为参数〕，直线 与曲线 的交点为 ，当 取最小值时，求直线 的普通方程．
f〔x〕＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．
〔1〕求不等式|f〔x〕|＜4的解集；
〔2〕记f 〔x〕的最大值为m ， 设a ， b ， c＞0，且a+2b+3c＝m ， 证明： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：C

【分析】 求出集合A，B，由此能求出A∪B．
2.【解析】【解答】 ，对应的点为
故答案为：A．
【分析】利用复数的运算法那么进行求解即可
3.【解析】【解答】由 ，充分性成立；
由 不能得出 ，如 也满足．
故答案为：A.

【分析】 根据当 时  成立判断 是 成立的充分条件，由 不能得出 ，即可得出答案。
4.【解析】【解答】直线与圆相交，那么 ，解得 ，
∴所求概率为 ．
故答案为：D．
【分析】求出直线与圆相交的k的取值范围，求出区间的长度后可得概率．
5.【解析】【解答】解：因为函数 在定义域上单调递增，所以 ，所以 ； 在定义域上单调递增，所以 ，所以 ， 在定义域上单调递减，所以 ，即
所以
故答案为：D

【分析】 利用指数、对数函数的性质，考查出a，b，c的范围即可解出．
6.【解析】【解答】 因为a=b
那么渐近线方程为y=±x
所以〔4,0〕到渐近线距离d=
故答案为：D
 
【分析】利用离心率得到渐近线斜率，再用点到直线距离公式
7.【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
8.【解析】【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=3，n=1，S=1
满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3
满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6
满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10
满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15
此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．
应选：B．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．
9.【解析】【解答】由 ， ，即可知： ，
设球 的半径为 ， 的外接圆半径为 ，那么 ，即 ，
又∵ 平面 ， ，
∴ ，
∴球 的外表积为 .
故答案为：C.

【分析】 求出棱锥的底面外接圆的半径，然后求解几何体的外接球的半径，即可求解外接球的外表积．
10.【解析】【解答】 ，
由于函数 的零点构成一个公差为 的等差数列，那么该函数的最小正周期为 ，
，那么 ，所以 ，
将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，
得到函数 的图象.
对于A选项，函数 的定义域为 ， ，
函数 为奇函数，A选项错误；
对于B选项， ，所以，函数 的图象不关于直线 对称，B选项错误；
对于C选项，当 时， ，那么函数 在 上是减函数，C选项错误；
对于D选项，当 时， ，那么 ， .
所以，函数 在区间 上的值域为 ，D选项正确.
故答案为：D.

【分析】 由题意利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
11.【解析】【解答】如下列图：

因为圆的方程为 即为 ，所以圆心为 即为抛物线 的焦点且半径
因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
设 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，取等号时 .
综上可知： .
故答案为：D.

【分析】 根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将2|AP|+|QB|表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标xA ， xB的特点结合根本不等式求解出2|AP|+|QB|的最小值．
12.【解析】【解答】解：g〔x〕=x2ex的导函数为g′〔x〕=2xex+x2ex=x〔x+2〕ex ， 当 时， ，
由 时， ， 时， ，可得g〔x〕在[–1，0]上单调递减，
在〔0，1]上单调递增，故g〔x〕在[–1，1]上的最小值为g〔0〕=0，最大值为g〔1〕=e ，
所以对于任意的 ， ．因为 开口向下，对称轴为 轴，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
那么函数 在[ ，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f〔x〕在 ，
图象关于 轴对称，在〔 ，2]上，函数 单调递减．由题意，得 ， ，
可得a–4≤0 故答案为：B．

【分析】 求得f〔x〕在〔 ，2]的值域A，以及函数y=g〔x〕的导数，判断单调性，求得在[-1，1]的值域B，由题意可得B包含于A，可得a的不等式，解不等式可得所求范围．
二、填空题
13.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故答案为：

【分析】 利用向量的夹角公式即可得出．
14.【解析】【解答】根据题意，分2步进行分析：
①将4本著作分为3组，有 种分法，
②将分好的三组全排列，分配给3人，有 种情况，
那么有 种不同的阅读方案,
故答案为：36.

【分析】 根据题意，分2步进行分析：先将4本著作分为3组，再将分好的三组全排列，分配给3人，由分步计数原理计算可得答案．
15.【解析】【解答】①因为在正方体中有 , ,且 平面 , 平面 ,所以 平面 ,同理得 平面 ,
又 ,所以平面 平面 ,
又点 在线段 上移动,所以平面 平面 ,所以①正确;
②因为 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，
因为 ，根据三垂线定理可得 ，
同理可得 ，
因为 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，所以②正确；
③由①知 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值,所以三棱锥 的体积不变，所以③正确；
④由②知 平面 ，而 与 交于 ，所以 与平面 不垂直，所以④不正确。
故答案为:①②③

【分析】 根据正方形的性质，直线与平面位置关系，平面与平面位置关系相关性质定理逐一进行判断．
16.【解析】【解答】解：由题意得， ，
所以 ，那么 ，
所以

，
由 ，
可得 ，解得 ，
所以最大正整数n的值为5，
故答案为：5

【分析】 由对数的运算性质求得an ， 由等比数列的求和公式可得Sn ， 再由数列的裂项相消求和，解不等式可得所求最大值．
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕根据余弦定理求得cosB，和cosC代入题设等式中，整理得〔b+c〕〔a2-b2-c2〕=0进而求得a2=b2+c2 ． 判断出；
〔2〕根据直角三角形外接圆的性质可求得a，进而求得b+c的表达式，进而根据B的范围确定b+c的范围，进而求得三角形周长的范围．
18.【解析】【分析】〔1〕通过 和 证明 平面 即可得出 ；〔2〕以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴正方向建立坐标系，利用向量法求解.
19.【解析】【分析】 〔1〕求解模型①的相关指数   小于模型②的相关指数  ，然后判断回归模型②的拟合效果更好．当x=17亿元时，求解科技升级直接收益的预测值即可；
〔2〕当x＞17时，求解样本中心坐标，回归直线方程的系数，然后求解当x=20时，科技升级直接收益的预测值，当x=20亿元时，实际收益的预测值，推出公司的实际收益更大．
20.【解析】【分析】〔1〕 为弦 的中点, 设 ， ,代入椭圆方程利用点差法可求解.〔2〕由 ， ， 三点共线， ，根据三点共线性质可得： ，那么 ，将直线 的方程和椭圆 方程联立，利用韦达定理即可求得答案.
21.【解析】【分析】〔1〕先判断 为偶函数，再利用导数研究 上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.〔2〕先求出导函数，然后对 按照 ， ，进行分类讨论，当 ，得到 在 单调递增，结合 ，判断出此时无零点，当 ，得到 单调性，结合 ， 的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.
22.【解析】【分析】(1)根据题意设出点P、Q的极坐标，结合条件即可得出曲线的极坐标方程整理化简结合极坐标与普通方程互化的公式即可求出曲线的直角坐标方程。
(2)根据题意求出直线的参数方程在连理直线与曲线消元整理得到， 再结合韦达定理以及二次函数和正弦函数的性质整理即可求出的最小值，从而求出由此求出直线的方程即可。
23.【解析】【分析】 〔1〕先将f〔x〕写为分段函数的形式，然后由|f〔x〕|＜4得到  ， 再解不等式组即可；
〔2〕由〔1〕知f〔x〕的最大值为6，从而得到a+2b+3c=6，然后利用根本不等式求出  的最小值，即可证明不等式 成立．