2021届四川省成都市高三理数零诊考试试卷及答案

 高三理数零诊考试试卷

一、单项选择题

1.设全集 ，集合 ，那么 〔    〕           

A.
B.
C.
D.

2.函数 那么 〔    〕           

3.某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，总分值为100分.如以下列图的茎叶图为某班20名同学的测试成绩(单茎位：分).那么这组数据的极差和众数分别是〔    〕 

A.20，88
B.30，88
C.20，82
D.30，91

4.假设实数 ， 满足约束条件 ，那么 的最大值为〔    〕           

5.双曲线 的一个焦点到其中一条渐近线的距离为 ，那么该双曲线的渐近线方程为〔    〕           

A.
B.
C.
D.

6.记函数 的导函数为 .假设 ，那么 〔    〕           

7. 为圆 上一动点，那么点 到直线 的距离的最大值是〔    〕           

A.
B.
C.
D.

8.直线 ， .那么“ 〞是“ 〞的〔    〕           

如以下列图的程序框图，那么输出的 的值是〔    〕 

A.
B.
C.
D.

10.在三棱锥 中， 平面 ， ， ，假设该三棱锥的顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为〔    〕           

A.
B.
C.
D.

11.函数 ， .假设对任意 ，且 ，都有 ，那么实数 的取值范围是〔    〕           

A.
B.
C.
D.

12.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ，设 ， 与 相交于点 .假设 ，且 的面积为 ，那么点 到准线 的距离是〔    〕           

A.
B.
C.
D.

二、填空题

13.设复数 ( 为虚数单位)，那么 ________.   

14.一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯亮的概率为________．   

15.关于 ， 的一组数据： 

根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为 ，那么 的值为________.

16. 是定义在 上的奇函数，当 时， 有以下结论： 

①函数 在 上单调递增；

②函数 的图象与直线 有且仅有2个不同的交点；

③假设关于 的方程 恰有4个不相等的实数根，那么这4个实数根之和为8；

④记函数 在 上的最大值为 ，那么数列 的前 项和为 .

其中所有正确结论的编号是________.

三、解答题

17.函数 ，其中 .假设函数 的图象在点 处的切线与直线 平行.   

〔1〕求 的值；   

〔2〕求函数 的极值.   

18.“2021年全国城市节约用水宣传周〞已于5月9日至15日举行.成都市围绕“贯彻新开展理念，建设节水型城市〞这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组： ， ， ， ， ， ，得到如以下列图的频率分布直方图. 

〔1〕求 的值，并估计这300名业主评分的中位数；   

〔2〕假设先用分层抽样的方法从评分在 和 的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在 的概率.   

19.如图，在四棱锥 中， ， ， 为棱 的中点， ， . 

〔1〕求证： 平面 ；   

〔2〕假设平面 平面 ， 是线段 上的点，且 ，求二面角 的余弦值.   

20.椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上， ， ，且椭圆 的离心率为 .   

〔1〕求椭圆 的方程；   

〔2〕设直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 为坐标原点.求 面积的最大值.   

21.函数 ，其中 .   

〔1〕讨论函数 的单调性；   

〔2〕当 时，假设 满足 ，证明： .   

22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，   

〔1〕求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；   

〔2〕在曲线 上任取一点 ，保持纵坐标 不变，将横坐标 伸长为原来的 倍得到曲线 .设直线 与曲线 相交于 ， 两点，点 ，求 的值.   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ．

故答案为：B．

 
【分析】根据补集的概念即可求出答案。

2.【解析】【解答】 ， ，故 ，

故答案为：C.

 
【分析】分别求出 的值，再求他们的和，从而得到答案。

3.【解析】【解答】由茎叶图中的数据可得：最高成绩为98分，最底成绩为68分，所以极差为 ，

又由数据的众数的概念，可得数据的众数为88分.

故答案为：B.

 
【分析】 利用茎叶图找到数据的最大值，最小值，出现次数最多的数据即可.

4.【解析】【解答】作出可行域，如图 内部〔含边界〕，作直线 ，

由 得 ，其中 是直线的纵截距，

当直线向下平移时，纵截距减小． 值增大，

所以当 过点 时， 取得最大值，

由 ，得 ，即 ，

所以 ．

故答案为：D．

 
【分析】 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.

5.【解析】【解答】因为一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，

设焦点为 ，渐近线为

所以 ，

即 ，

所以双曲线的渐近线方程为 .

故答案为：A.

 
【分析】 由于焦点到渐近线的距离为,推出，进而可得答案.

6.【解析】【解答】因为 ，那么 ，

所以 ，

故答案为：A.

 
【分析】 可根据根本初等函数和复合函数的求导公式求出f' (x),然后将x换上0即可求出f' (0)的值.

7.【解析】【解答】∵圆 ，∴圆心 ，半径 ，

∴圆心到直线的距离 ，

∴圆 上的点到直线 的距离最大值为 ，

故答案为：C.

 
【分析】 由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，加上半径得答案.

8.【解析】【解答】由题意，直线 ，直线 ，

因为 ，可得 ，解得 ，

所以“ 〞是“ 〞的必要不充分条件.

故答案为：B.

 
【分析】由 求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解。

9.【解析】【解答】运行程序 ，不满足 ， ，

，不满足 ， ，

，不满足 ， ，

，不满足 ， ，

，不满足 ， ，

，不满足 ， ，

，满足 ，利用裂项求和可得： .

故答案为：C.

 
【分析】执行程序，依次求出k,S的值，最后，满足 ，利用裂项求和公式，即可得出答案。

10.【解析】【解答】在 中，由 ，所以 ，所以 ,

由 平面 ，那么三棱锥 可以补成以 为棱的正方体，

可得正方体的外接球和三棱锥 的外接球为同一个球，如以下列图，

设该球的半径为 ，那么 ，解得 ，

所以该球的外表积为 .

故答案为：C.

 
【分析】 由  平面  ，求此类三棱锥外接球的问题，可转化为直棱柱外接球求解，先求底面外接圆半径r，再找到柱高h，然后用 求出球的半径R，求解即可.

11.【解析】【解答】不妨假设 ，

那么 可变形为 ，

即函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，

即 ，化简得 ，设 ， ，

易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，

即 ．

故答案为：A．

 
【分析】不妨假设 ，那么 可变形为 ， 可得在 上单调递增，可得在 上恒成立，利用分参法结合导数研究其单调性与最值，即可得出答案。

12.【解析】【解答】如以下列图，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，

过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ，可得 ，

又由 且 ，所以 ，

所以 ，解得 ，代入抛物线方程，可得 ，

又由 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 为 的中点，

所以 的面积为 ，解得 ，

即点 到准线 的距离是 .

故答案为：D.

 
【分析】 由题意可得|AF| = |AB|, 根据|CF|= |AF|,得到，求得xA，yA  ， 又由AB//CF且AB = CF，那么四边形ABFC为平行四边形，推出D为BC的中点，进而可得 列方程，求解,即可得出答案.

二、填空题

13.【解析】【解答】因为 ，所以 ．

故答案为： ．

 
【分析】 根据条件，运用复数的运算法那么，以及复数模的公式，即可求解.

14.【解析】【解答】上一次红灯亮到下一次红灯亮共需30+5+40=75秒，红灯不亮的时长为5+40=45秒，

那么到达路口时，看不见红灯的概率为 = ，故填：

 
【分析】由直接利用对立事件概率计算公式求解。

15.【解析】【解答】由题意，根据表格中的数据，可得 ，

，即样本中心为 ，

那么 ，即 ，

解得 .

 
【分析】 先求出变量x与y的均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解.

16.【解析】【解答】当 时， ，此时不满足方程；

假设 ，那么 ，即

假设 ，那么 ，即

作出函数在 时的图像，如以下列图，

对于①，由图可知，函数 在 上单调递增，由奇函数性质知，函数 在 上单调递增，故①正确；

对于②，可知函数在 时的图像与与直线 有1个交点，结合函数 的奇偶性知， 的图象与直线 有3个不同的交点，故②错误；

对于③，设 ，那么关于 的方程等价于 ，解得： 或

当 时，即 对应一个交点为 ；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：

〔1〕 ，即 对应3个交点，且 ， ，此时4个实数根的和为8；

〔2〕 ，即 对应3个交点，且 ， ，此时4个实数根的和为4，故③错误；

对于④，函数 在 上的最大值为 ，即 ，由函数的解析式及性质可知，数列 是首项为1，公比为 的等比数列，那么数列的前7项和为 ，故④正确.

故答案为：①④

 
【分析】 由f(x)是奇函数,那么f(0)= 0,写出f(x)在(- 6, -5)上的函数解析式，作出函数x≥0的图象，对于①,由图可知，函数f (x)在(5, 6)上单调递增，由奇函数性质可知,函数f (x)在(-6, - 5)上单调性,即可判断①是否正确；对于②,结合函数的奇偶性可知，f (x )的图象与直线y = x有3个不同的交点，即可判断②是否正确；对于③,设f(x)= t,那么关于的方程等价于 ，解得： 或 ， 结合图象,分两种情况:(1)(2) ，讨论f(x) = a的实数根的和，即可判断③是否正确；对于④,函数f (x)在[1, 2]上的最大值为f(2)= 1,即， 那么函数解析式及性质可知，是首项为1，公比为 的等比数列，即可判断④是否正确.

三、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕由导数的几何意义求解即可；
〔2〕由导数研究函数的单调性，进而求得极值即可。

18.【解析】【分析】〔1〕所有小矩形的面积之和为1，求出a，再利用面积和为0.5对应的数为中位数即可得解；

〔2〕由频率分布直方图，知评分在  的有3人，评分在  有2人，利用列举法求出事件发生的概率。

19.【解析】【分析】 (1) 取  中点    ， 连接    ，  ， 结合平面几何知识证得四边形  为平行四边形 ,从而DE//CH，利用线面平行的判定定理得证；
(2)先利用线面垂直，面面垂直的性质证明     ，     ，   两两垂直  ，  以  为坐标原点，向量    ，     ，   的方向分别为  轴，  轴，  轴的正方向，建立如以下列图的空间直角坐标系 ， 求出平面MAD的法向量，平面ADB的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值。

20.【解析】【分析】 (1)由椭圆的定义，可得 ， 在  中，由余弦定理得 ， 由椭圆  的离心率 ， 可得 ，联立方程组，解得c, a, b,即可得出答案；
(2) 设    ，  联立直线l与椭圆的方程，由△> 0, 可得  ，结合韦达定理可得
   ，  ， 由弦长公式可得|AB|,坐标原点O到直线l的距离 ， 再利用根本不等式，可得 面积的最大值.

21.【解析】【分析】 (1)函数f (x )的定义域为(0, +∞),求导得 ， 分两种情况:①当a≤0时,②当a>0时,讨论f'(x)的正负, f (x )的单调性,即可得出答案；
(2)由  ,得 假设证    ， 只需证 ， 令  那么  , 设  ，只需证明 即可。

22.【解析】【分析】 〔1〕由曲线C的参数方程消去a，得到曲线C的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式即可得直线  的直角坐标方程；
〔2〕设曲线C上任意一点(x, y)经坐标变换后对应的点为  ,得到  ，代入C得到曲线C1的普通方程 ， 再把直线l的参数方程代入曲线C1的普通方程，利用参数t的几何意义与根与系数的关系求解.