2021届内蒙古呼和浩特市高考理数第一次质量普查调研考试（一模）试卷及答案

这是一份2021届内蒙古呼和浩特市高考理数第一次质量普查调研考试（一模）试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高考理数第一次质量普查调研考试〔一模〕试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. {4}



2.下面是关于复数 的四个命题： ：z的实部为 ； ：z的虚部为1； ：z的共轭复数为 ； ： .其中真命题为〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 



3.“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体,它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成,其直观图如图(其中四边形是为表达直观性而作的辅助线)当“牟合方盖〞的正视图和侧视图完全相同时,其俯视图可能为〔   〕

A.                     B.                     C.                     D. 



4.角 的终边在直线 上，那么 的值为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 



G电子产品，现调查得到该5G产品上市时间x和市场占有率y(单位：%)的几组相关对应数据.如下列图的折线图中，横轴1代表2021年8月，2代表2021年9月……，5代表2021年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为 .假设用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化趋势，那么该产品市场占有率最早何时能超过0.5%(精确到月)〔    〕

A. 2021年5月                       B. 2021年6月                       C. 2021年7月                       D. 2021年8月



6.的展开式中 的系数为〔    〕
A. -2                                         B. 2                                         C. -10                                         D. 10



PA且过母线PB的中点M的平面去截圆锥，所得截线为如下列图的抛物线.假设该圆锥的高 ，底面半径 ，那么该抛物线焦点到准线的距离为〔    〕

A.                                          B. 3                                         C.                                          D. 



8.关于函数 ，下面4个判断错误的有〔    〕
①函数 的图象是中心对称图形；②函数 的图象是轴对称图形；③函数 在 单调递增；④函数 在 单调递减；
A. ①③                                     B. ②③                                     C. ②④                                     D. ③④



9.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到的函数的图象关于点 对称，那么函数 在 上的最小值是〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 



10.假设数列 满足 ， ，那么该数列的前2021项的乘积是〔    〕
A. -2                                          B. -1                                          C. 2                                          D. 1



11.在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 ( ， )交于A ， B两点，F是该双曲线的焦点，且满足 ，假设 的面积为 ，那么双曲线的离心率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 3



12.四面体 的四个顶点都在球O上且 ， ，那么球O的外表积为〔    〕
A.                                      B.                                      C. 30π                                     D. 40π



二、填空题
13.假设向量 ， 满足 ， ，且 ，那么 与 的夹角为________.
14.中国象棋中棋子“马〞的走法规那么是走“日〞字的对角线(图中楚河汉界处的“日〞字没有画出)，如图，“马〞从点A处走出一步，只能到达点B ， C ， D中的一处.那么“马〞从点A出发到达对方“帅〞所在的P处，最少需要的步数是________.

15.四边形 内接于圆O ， ， ， ，下面四个结论：

①四边形 为梯形
②圆O的直径为14
③ 的三边长度可以构成一个等差数列
④四边形 的面积为
其中正确结论的序号有________.
16.假设 克不饱和糖水中含有 克糖，那么糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 ( ， )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 ________ (用“ 〞或“ 〞填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式________.
三、解答题
17.数列 的前n项和为 .
〔1〕假设 为等差数列， ， ，求 的通项公式；
〔2〕假设数列 满足 ，求 .
18.如图，三棱柱 中， 侧面 ， ， ， ，点E是棱 的中点.

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值.
19.函数 ( 为自然对数的底数)
〔1〕当 时，求函数 在点 处的切线方程；
〔2〕当 时，函数 有两个零点，求m的取值范围.
20.根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2021年起，开始逐步推行“基层首诊､逐级转诊〞的医疗制度，从而全面推行家庭医生签约效劳.该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.

〔1〕根据图1和图2的信息，估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数；
〔2〕假设以图2中年龄在 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，现从该地区年龄在 岁居民中随机抽取3人，记抽到的签约人数为 ，求 的分布列及数学期望；
〔3〕据统计，该地区被访者的签约率约为43%.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.
21.椭圆 的一个焦点为 ，且过点 .
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕设 ， ， ，点 是椭圆 上一点，且不与顶点重合，假设直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 .求证： 为等腰三角形.
22.在花语中，四叶草象征幸运.在极坐标系下，方程 对应的曲线如下列图，我们把这条曲线形象地称为“四叶草〞.

〔1〕当“四叶草〞中的 时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草〞交点的极坐标；
〔2〕 为“四叶草〞上的点，求点 到直线 距离的最小值以及此时点 的极坐标.
23.函数 ( ， ， 均为正实数).
〔1〕当 时，求 的最小值；
〔2〕当 的最小值为3时，求 的最小值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，故 或 ，又 ，故 .
故答案为：A.

【分析】根据题意由补集和交集的定义即可求出答案。
2.【解析】【解答】由题得 ，
所以z的实部为1，命题 是假命题；z的虚部为1，所以命题 是真命题；
z的共轭复数为 ，所以命题 是假命题； ，所以命题 是真命题.
所以 是假命题， 是假命题， 是假命题， 是真命题.
故答案为：D

【分析】 根据复数的运算法那么进行化简，分别判断四个命题的真假，根据复合命题真假关系进行判断即可．
3.【解析】【解答】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．
∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，
故答案为：B．

【分析】 直接利用直观图“牟合方盖〞的正视图和侧视图完全相同，从而得出俯视图形．
4.【解析】【解答】因为角 的终边在直线 上，所以 ，那么 为第一或三象限角.
当 为第一象限角时， ，所以 ；
当 为第三象限角时， ，所以 ；
综上， .
故答案为：A.

【分析】 由题意任意角的三角函数的定义，求得tanα的值，再利用同角三角函数的根本关系，二倍角的正弦公式，求得要求式子的值．
5.【解析】【解答】根据表中数据，计算 ，

代入回归方程得 ，解得 .
所以线性回归方程为： ，
由 解得 ，
预计上市13月时，即最早在2021年8月，市场占有率能超过 .
故答案为：D

【分析】 根据表中数据计算， 代入回归方程求得， 写出线性回归方程，利用回归方差求出结论．
6.【解析】【解答】 ，
的展开式的通项为 ，
因此所求 的系数为 ．
故答案为：B．

【分析】根据题意整理的多项式再由二项展开式的通项公式，代入数值计算出结果即可。
7.【解析】【解答】由题意知，M是PB的中点，O是AB的中点， 中， 是中位线， ，
，
截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M ， 故O也在截面上，同时根据对称性可知抛物线的对称轴为 ，焦点在 上，建立以M为原点， 为x轴，过M点的垂线为y轴，那么设抛物线与底面交点为E ， 那么 ，

设抛物线为 ，那么 ，解得 ，即该抛物线焦点 到准线 的距离为p ， 即为 .
故答案为：D.

【分析】 由题意可得△ABP中，OM为中位线，有AP∥OM，|OM|=1，以OM为x轴，M为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px，抛物线与底面交点E，xE=|OM|=1，yE=|OA|=， 即可得出答案．
8.【解析】【解答】 ，所以 的图象关于点 成中心对称，①正确，
函数定义域是 ，
，所以 在 和 上都是增函数，不可能是轴对称图形，②错误，③正确，④错误．
故答案为：C．

【分析】 先判断函数的对称性和单调性，然后利用函数平移平行进行判断即可．
9.【解析】【解答】解：函数 的图象向右平移 个单位长度后，
得到 的图象，由于函数 的图象关于点 对称，
所以 ，即 ，即 .
由于 ，所以 时， ，那么 ．
当 ，所以 ，
当 或 时，即 或 时，函数的最小值为 ．
故答案为：C．

【分析】 由题意利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结论．
10.【解析】【解答】因为数列 满足 ， ，
所以 ，同理可得 ，…
所以数列 每四项重复出现，即 ，且 ，
而 ，
所以该数列的前2021项的乘积是 .
故答案为：C.

【分析】根据题意首先由递推关系式，分析得到{an}是以4为周期的一个周期数列，即可求得结论．
11.【解析】【解答】不妨设F是该双曲线的右焦点，设左焦点为 ，那么F ， 在以AB为直径的圆上，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接 ，那么四边形 为矩形，

那么可得 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，得 ，
所以 .
故答案为：B.

【分析】 根据题意设出双曲线的左焦点为F1,由此得到四边形为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形的面积公式代入数值计算出a与c的关系，由此即可求出离心率的值。
12.【解析】【解答】取 的中点 ，连接 ，设 和 的外心分别为 ，分别过点 作平面 和平面 的垂线交于点 ，那么点 为外接球球心.

由题意可知， 和 都是边长为4的等边三角形.
为 的中点， ,且
平面
平面 , 平面 平面
易得 ， ，
平面 , 平面 ∥AM
同理可得 ∥DM ， 那么四边形 为菱形，
，菱形 为正方形，
平面 ， 平面
所以外接圆半径为 ，
因此，四面体 的外接球的外表积为 .
故答案为：B

【分析】根据题意作出图形，根据条件结合面面垂直的判定定理即可得证出面面垂直，由此即可得出球心的位置，并以此得到关于外接球的半径，再结合球的外表积公式代入数值计算出结果即可。
二、填空题
13.【解析】【解答】解： ，
，
又

即
设向量 与 的夹角为
那么
，

故答案为： .

【分析】根据题意由数量积的运算公式结合向量垂直的性质即可求出夹角的大小，再由角的取值范围即可求出角的大小即可。
14.【解析】【解答】由题意可知，按如下列图的走法〔走法不唯一〕，需要6步从点A出发到达对方“帅〞所在的P处，

故答案为：6．

【分析】 利用棋子“马〞的走法规那么是走“日〞字的对角线，即可得到答案．
15.【解析】【解答】连接 ，因为 ，

又 ，所以 ， ，又 ，
所以 ，同理 ，
所以 ，所以 ，而 ，所以四边形 为梯形，①正确；
，那么 ， ，
，设圆O半径为 ，那么 ，②错；
同理 ， 构成等差数列，③正确；
作 于 ，那么梯形的高为 ，所以 ，
面积为 ，④正确．
故答案为：①③④

【分析】 直接利用圆的内接四边形的性质，余弦定理，三角形的面积公式的应用判断①②③④的结论．
16.【解析】【解答】空1：因为 ，所以可得：
；
空2：由空1可得： ，即 .
故答案为：＜；

【分析】 先利用换底公式以及对数的运算性质将log1510进行化简变形，然后再利用条件中的不等式进行分析即可．
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)利用等差数列的性质以及数列的前n项和公式即可求出首项和公差的值，再由等差数列的性质即可计算出， 从而求出公差的值由此即可求出等差数列的通项公式。
(2)根据题意由条件结合错位相减法即可得出答案。
18.【解析】【分析】 〔1〕利用余弦定理求出BC1的值，由勾股定理证得BC⊥BC1 ， 再由AB⊥侧面BB1C1C，可得BC⊥AB，利用线面垂直的判定定理证明即可；
〔2〕建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出所需向量的坐标，然后利用待定系数法求出两个平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
19.【解析】【分析】(1)当时求出函数的解析式，再对其求导代入数值计算出导函数的值由此求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程即可。
(2)根据题意结合函数零点的定义，由别离参数法即可得到， 进而把问题转化为函数 与直线 在 上有两个交点，首先求出函数过的切线方程，再结合函数的图象即可求出a的取值范围即可。
20.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕先求出91～101岁居民的人数，根据男女比例求出男性女性的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．
〔Ⅱ〕由图2求出年龄段31～40，41～50，51～60的签约率，再结合由图1即可求出结果．
21.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的性质以及椭圆的 a、b 、c 三者的关系即可得到关于a、b、c的方程组，求解出a、b、c的值从而得到椭圆的方程。
(2)由条件结合斜率的坐标方程求出直线的斜率，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程求解出方程的解从而求出直线的斜率，进而得到直线的方程联立直线的方程求解出点的坐标，结合条件即可得出轴，从而得证出结论。
22.【解析】【分析】  〔1〕直接利用单位圆与方程ρ=2sin2θ联立求出结果；
〔2〕利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
 
23.【解析】【分析】(1)根据题意求出 当 时函数的解析式，利用绝对值三角不等式计算出结果即可。
(2)利用绝对值三角不等式即可求出函数f(x)的最小值， 再利用柯西不等式计算出最值即可。