2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）期中考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）期中考试数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 直线3x−y+1=0的倾斜角为( )
A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘

2. 直线l过点(−1, 2)且与直线2x−3y=0垂直，则l的方程是( )
A.3x+2y−1=0B.3x+2y+7=0C.2x−3y+5=0D.2x−3y+8=0

3. 在空间直角坐标系中，点M(−1, −4, 2)关于平面yOz对称的点的坐标是( )
A.M′(−1, 4, 2)B.M′(1, −4, 2)C.M′(−1, 4, −2)D.M′(−1, −4, −2)

4. 若方程y24−x2m+1=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A.−10)与双曲线x29−y23=1有相同的焦点，则a的值为( )
A.2B.10C.4D.10

6. 若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2−6x−8y+m=0外切，则m=( )
A.21B.9C.19D.−11

7. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=3x，它的一个焦点为(2, 0)，则双曲线的方程为( )
A.x22−y26=1B.x26−y22=1C.x2−y23=1D.x23−y2=1

8. 过点P(1, 1)的直线l将圆形区域{(x, y)|x2+y2≤4}分为两部分，其面积分别为S1，S2，当|S1−S2|最大时，直线l的方程是( )
A.x+y−1=0B.x+y+2=0C.x−y−2=0D.x+y−2=0

9. 若函数y=−4−(x−1)2的图象与直线x−2y+m=0有公共点，则实数m的取值范围为( )
A.[−25−1, −25+1]B.[−25−1, 1]C.[−25+1, −1]D.[−3, 1]

10. 已知椭圆C1:x216+y215=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为( )
A.26B.5C.15D.14

11. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )
A.63B.33C.23D.13

12. 椭圆x225+y216=1的左，右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则|y2−y1|的值是( )
A.53B.103C.203D.53
二、填空题

两平行线l1:x−y+1=0与l2:x−y+3=0间的距离是________．

双曲线x24−y2=1一个焦点到一条渐近线的距离为________.

点P在圆O:x2+y2=1上运动，点Q在圆C：(x−3)2+y2=1上运动，则|PQ|的最小值为________．

已知圆M：(x+csθ)2+(y−sinθ)2=1，直线l:y=kx，下面四个命题：
①对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；
②对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；
④对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切．
其中真命题的代号是________（写出所有真命题的代号）．
三、解答题

已知直线l:ax−y+4=0及圆x−12+y−22=4.
(1)若2x−a−1y−a=0 与直线l平行，求a的值；

(2)若直线l与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．

已知△ABC的三边所在直线方程分别为AC:x+3y−14=0，BC:x−7y−14=0，AB:3x−y−2=0.
(1)求过A点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；

(2)求AB边上的中线所在直线方程．

如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和26，高为3．

(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；

(2)若线段MN的端点N的坐标为(5, 2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．

已知椭圆M：x29+y2b2=1(b>0) 的一个焦点为 (2,0) ，设椭圆 N的焦点恰为椭圆M短轴上的顶点，且椭圆N过点 (22,3).
(1)求椭圆N的方程；

(2)若直线y=x−2与椭圆N交于A，B两点，求|AB|.

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x−y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1⋅k2为定值．

已知双曲线C的焦点坐标为F110,0,F2−10,0，实轴长为6.
(1)求双曲线C标准方程；

(2)若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）期中考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
由题意得到直线的斜率k=3，结合倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围加以计算，即可算出倾斜角的大小．
【解答】
解：∵ 直线3x−y+1=0的斜率k=3，
∴ 直线的倾斜角α满足tanα=3，
结合α∈[0∘, 180∘)，可得α=60∘.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
设与直线2x−3y=0垂直的直线方程为：3x+2y+m=0，把点(−1, 2)代入解得m即可得出．
【解答】
解：设与直线2x−3y=0垂直的直线方程为：
3x+2y+m=0，把点(−1, 2)代入可得：−3+4+m=0，
解得m=−1．
∴ 直线l的方程为：3x+2y−1=0.
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
空间直角坐标系
【解析】
根据空间直角坐标系中点M(x, y, z)关于平面yOz对称点的坐标是M′(−x, y, z)，写出即可．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点M(−1, −4, 2)关于平面yOz对称的点的坐标是M′(1, −4, 2)．
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的定义
【解析】
要使方程y24−x2m+1=1表示双曲线，则m+1>0，求解即可.
【解答】
解：方程y24−x2m+1=1表示双曲线，
则m+1>0，
解得m>−1.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
【解析】
利用椭圆、双曲线几何量之间的关系，即可求出a的值．
【解答】
解：由题意得，a2−4=9+3，
∵ a>0，
∴ a=4．
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．
【解答】
解：由C1:x2+y2=1，得圆心C1(0, 0)，半径为1，
由圆C2:x2+y2−6x−8y+m=0，
得(x−3)2+(y−4)2=25−m，
∴ 圆心C2(3, 4)，半径为25−m．
∵ 圆C1与圆C2外切，
∴ 5=25−m+1，
解得：m=9．
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x，
可得ba=3，
它的一个焦点坐标为(2, 0)，可得c=2，即a2+b2=4，
解得a=1，b=3，
所求双曲线方程为：x2−y23=1．
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
与圆有关的最值问题
【解析】
法一：由扇形的面积公式可知，劣弧AB所的扇形的面积S1=12α⋅22=2α，要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP⊥AB时，α最小，可求．
法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．由此能求出直线的方程．
【解答】
解：设过点P(1, 1)的直线l与圆分别交于点A，B，
且圆被AB所分的两部分的面积分别为S1，S2，且S1≤S2，
劣弧AB所对的圆心角∠AOB=α，
则S1=12α⋅22−S△AOB=2α−S△AOB，
S2=4π−2α+S△AOB(01+1=R+r，
∴ 两圆的位置关系是外离，
又∵ P在圆O上，Q在圆C上，
则|PQ|的最小值为d−(R+r)=3−(1+1)=1．
故答案为：1．
【答案】
②④
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
【解析】
根据圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后求出圆心到已知直线的距离d，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，与半径r比较大小，即可得到直线与圆的位置关系，得到正确答案即可．
【解答】
解：圆心坐标为(−csθ, sinθ)，圆的半径为1，
圆心到直线的距离d=|−kcsθ−sinθ|1+k2=|sin(θ+φ)|≤1，
(其中sinφ=−k1+k2，csφ=−11+k2),
所以直线l与圆M有公共点，且对于任意实数k，必存在实数θ，使直线l和圆M相切.
故答案为：②④.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 2x−(a−1)y−a=0与直线l：ax−y+4=0平行，
∴ aa−1+2×−1=0，即a2−a−2=0.
∴ a=2或a=−1 .
(2)∵ 圆x−12+y−22=4，
∴ 圆心为(1,2)，r=2.
又∵ 直线l：ax−y+4=0与圆相交AB，且AB=23 ，
∴ AB=2r2−d2，
∴ d=1，圆心到直线l的距离：d=|a−2+4|a2+1，
∴ a=−34.
【考点】
两条直线平行的判定
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】


【解答】
解：(1)∵ 2x−(a−1)y−a=0与直线l：ax−y+4=0平行，
∴ aa−1+2×−1=0，即a2−a−2=0.
∴ a=2或a=−1 .
(2)∵ 圆x−12+y−22=4，
∴ 圆心为(1,2)，r=2.
又∵ 直线l：ax−y+4=0与圆相交AB，且AB=23 ，
∴ AB=2r2−d2，
∴ d=1，圆心到直线l的距离：d=|a−2+4|a2+1，
∴ a=−34.
【答案】
解：(1)由x+3y−14=0，x−7y−14=0，可得点C坐标为14,0，
同理可得：点A坐标为2,4，点B坐标为0,−2．
当直线经过原点时，设直线方程为y=kx，则k=2，
∴ 直线方程为y=2x；
当直线不经过原点时，设直线方程为x+y+c=0，
将点2,4代入得c=−6，∴ 直线方程为x+y−6=0．
综上直线方程为y=2x或x+y−6=0．
(2)由点A2,4，点B0,−2，
可得线段AB的中点D坐标为1,1，
而点C坐标为14,0，
故AB边上的中线CD所在直线的方程是y−1x−1=0−114−1，
即CD所在直线的方程为x+13y−14=0
【考点】
直线的截距式方程
两条直线的交点坐标
中点坐标公式
直线的两点式方程
【解析】


【解答】
解：(1)由x+3y−14=0，x−7y−14=0，可得点C坐标为14,0，
同理可得：点A坐标为2,4，点B坐标为0,−2．
当直线经过原点时，设直线方程为y=kx，则k=2，
∴ 直线方程为y=2x；
当直线不经过原点时，设直线方程为x+y+c=0，
将点2,4代入得c=−6，∴ 直线方程为x+y−6=0．
综上直线方程为y=2x或x+y−6=0．
(2)由点A2,4，点B0,−2，
可得线段AB的中点D坐标为1,1，
而点C坐标为14,0，
故AB边上的中线CD所在直线的方程是y−1x−1=0−114−1，
即CD所在直线的方程为x+13y−14=0．
【答案】
解：(1)由已知可得：A(−3, 0)，B(3, 0)，D(−6, 3)，C(6, 3)，
根据对称性可知，圆心E在y轴上，
设E的坐标为(0, n)，
则有9+n2=6+(3−n)2，求得n=1，
∴ 圆E的圆心为(0, 1)，半径为9+1=10，
∴ 圆的方程为：x2+(y−1)2=10．
(2)设P坐标为(x, y)，
∵ P为线段MN的中点，
∴ 5+xM2=x，xM=2x−5，
2+yM2=y，yM=2y−2，
代入点M所在圆的方程得：(2x−5)2+(2y−3)2=10，
整理得(x−52)2+(y−32)2=52，
∴ 点P的轨迹方程为(x−52)2+(y−32)2=52．
【考点】
圆的一般方程
轨迹方程
【解析】
（1）确定四个顶点的坐标，根据对称性判断出E在y轴上，设其坐标，利用两点间的距离公式建立等式求得E的坐标和半径，则圆的方程可得．
（2）设出P的坐标，表示出M的坐标代入圆E的方程，进而求得P的轨迹方程．
【解答】
解：(1)由已知可得：A(−3, 0)，B(3, 0)，D(−6, 3)，C(6, 3)，
根据对称性可知，圆心E在y轴上，
设E的坐标为(0, n)，
则有9+n2=6+(3−n)2，求得n=1，
∴ 圆E的圆心为(0, 1)，半径为9+1=10，
∴ 圆的方程为：x2+(y−1)2=10．
(2)设P坐标为(x, y)，
∵ P为线段MN的中点，
∴ 5+xM2=x，xM=2x−5，
2+yM2=y，yM=2y−2，
代入点M所在圆的方程得：(2x−5)2+(2y−3)2=10，
整理得(x−52)2+(y−32)2=52，
∴ 点P的轨迹方程为(x−52)2+(y−32)2=52．
【答案】
解：(1)设N的方程为 x2m2+y2n2=1(n>m>0)，
则n2−m2=b2=5，
又12m2+3n2=1，
解得m2=1，n2=6，
∴ 椭圆N的方程为x2+y26=1.
(2)由y=x−2，x2+y26=1，
得6x2+x2−4x+4=6，
即7x2−4x−2=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=47，x1x2=−27，
∴ AB=k2+1⋅(x1+x2)2−4x1x2
=2(47)2+87=127.
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设N的方程为 x2m2+y2n2=1(n>m>0)，
则n2−m2=b2=5，
又12m2+3n2=1，
解得m2=1，n2=6，
∴ 椭圆N的方程为x2+y26=1.
(2)由y=x−2，x2+y26=1，
得6x2+x2−4x+4=6，
即7x2−4x−2=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=47，x1x2=−27，
∴ AB=k2+1⋅(x1+x2)2−4x1x2
=2(47)2+87=127.
【答案】
解：(1)由题意，以原点为圆心，
椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2，
∵ 直线x−y+2=0与圆相切，∴ d=22=b，即b=2，
又e=ca=33，即a=3c，
∵ a2=b2+c2，
∴ a=3，c=1，
所以椭圆方程为x23+y22=1．
(2)设P(x0, y0)(y0≠0)，A(−3，0)，B(3，0)，
则x023+y022=1，即y02=2−23x02，
∵ 直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，
∴ k1=y0x0+3，k2=y0x0−3，
∴ k1⋅k2=y02x02−3=2−23x02x02−3=23(3−x02)x02−3=−23，
∴ k1⋅k2为定值−23．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
点到直线的距离公式
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（2）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
k1，k2，将P的坐标的关系代入k1k2化简求出其值．
【解答】
解：(1)由题意，以原点为圆心，
椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2，
∵ 直线x−y+2=0与圆相切，∴ d=22=b，即b=2，
又e=ca=33，即a=3c，
∵ a2=b2+c2，
∴ a=3，c=1，
所以椭圆方程为x23+y22=1．
(2)设P(x0, y0)(y0≠0)，A(−3，0)，B(3，0)，
则x023+y022=1，即y02=2−23x02，
∵ 直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，
∴ k1=y0x0+3，k2=y0x0−3，
∴ k1⋅k2=y02x02−3=2−23x02x02−3=23(3−x02)x02−3=−23，
∴ k1⋅k2为定值−23．
【答案】
解：(1)由条件得c=10 ，2a=6，得a=3，
b2=c2−a2=1，∴ b=1，
∴ 双曲线方程为：x29−y2=1.
(2)由双曲线定义知||PF1|−|PF2||=6，
且|PF1|2+|PF2|2=2102，联立解得|PF1|⋅|PF2|=2，
∴ △PF1F2的面积为： 12|PF1|⋅|PF2|=1．
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的应用
【解析】


【解答】
解：(1)由条件得c=10 ，2a=6，得a=3，
b2=c2−a2=1，∴ b=1，
∴ 双曲线方程为：x29−y2=1.
(2)由双曲线定义知||PF1|−|PF2||=6，
且|PF1|2+|PF2|2=2102，联立解得|PF1|⋅|PF2|=2，
∴ △PF1F2的面积为： 12|PF1|⋅|PF2|=1．