高中数学北师大版选修系列第一章 常用逻辑用语课后复习题

www.ks5u.com第一章数列

习题课1　数列的通项问题

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.在数列{an}中,an+1=,a1=2,则a4=(　　)

A. B. C. D.

答案B

2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则这个数列的第n项为(　　)

A.2n-1 B.2n+1

C. D.

答案C

解析∵an+1=,a1=1,∴=2.

∴为等差数列,公差为2,首项=1.

∴=1+(n-1)×2=2n-1,∴an=.

3.若数列{an}中,a1=3,an+an-1=4(n≥2),则a2 021的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案C

解析∵a1=3,an+an-1=4(n≥2),∴an+1+an=4,∴an+1=an-1,∴an=an+2,即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又a1=3,∴a2021=3.

4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+t,则数列的通项公式an=　　　　. 

答案2×3n

解析∵等比数列{an}中,前n项和Sn=3n+1+t,

∴a1=S1=9+t,a2=S2-S1=18,a3=S3-S2=54,∴182=54(9+t),解得t=-3,

∴a1=9+t=6,公比q=3,

∴an=6×3n-1=2×3n.

5.在数列{an}中,a1=1,an+1=an,则数列{an}的通项公式an=　　　　. 

答案n

解析当n≥2时,an=·…··a1=·…·=n,

当n=1时,a1=1也符合an=n,∴an=n.

6.在等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.

则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　. 

答案an=2×3n-1

解析当a1=3时,不合题意;

当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;

当a1=10时,不合题意.

因此a1=2,a2=6,a3=18,

所以公比q=3,故an=2×3n-1.

7.设f(x)=log2x-logx4(0<x<1),数列{an}的通项an满足f()=2n,求数列{an}的通项公式.

解∵f(x)=log2x-logx4(0<x<1),f()=2n,

∴log2-lo4=2n,由换底公式得log2=2n,

即an-=2n,∴-2nan-2=0,解得an=n±.

又0<x<1,∴0<<1,∴an<0,

∴an=n-,

∴数列{an}的通项公式是an=n-.

关键能力提升练

8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn+1=4an+2,则a12=(　　)

A.20 480 B.49 152

C.60 152 D.89 150

答案B

解析由题意得S2=4a1+2,所以a1+a2=4a1+2,解得a2=8,故a2-2a1=4,又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),因此数列{an+1-2an}是以a2-2a1=4为首项,2为公比的等比数列,即an+1-2an=4×2n-1=2n+1,于是=1,因此数列是以1为首项,1为公差的等差数列,得=1+(n-1)=n,即an=n·2n.所以a12=12×212=49152,故选B.

9.数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n∈N+),则该数列的通项an=(　　)

A.2n+1-3 B.2n-3

C.2n+1+3 D.2n+1-1

答案A

解析由an+1=2an+3,得an+1+3=2(an+3),

又a1=1,∴a1+3=4≠0,

∴数列{an+3}是以4为首项,以2为公比的等比数列,则an+3=4×2n-1,

∴an=2n+1-3.故选A.

10.设数列{an}的各项均为正数,且前n项和Sn=an+,则此数列的通项an应为(　　)

A.an=

B.an=

C.an=

D.an=2-1

答案B

解析当n=1时,∵S1=a1+,

∴a1=a1+,解得a1=1,

故排除A,C;

当n=2时,∵S2=a2+,

解得a2=-1,

故排除D.故选B.

11.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n>1,n∈N+,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则下列式子正确的是(　　)

A.a9=17 B.a10=18

C.S9=81 D.S10=91

答案BD

解析∵对于任意n>1,n∈N+,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),

∴Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,∴an+1-an=2,n≥2.

∴数列{an}在n≥2时是等差数列,公差为2.

又a1=1,a2=2,则a9=2+7×2=16,a10=2+8×2=18,S9=1+8×2+×2=73,S10=1+9×2+×2=91.故选BD.

12.(多选题)已知数列{an}的前n项和是Sn,则下列说法正确的有(　　)

A.若Sn=2n,则{an}是等差数列

B.若Sn=2an-1,则{an}是等比数列

C.若{an}是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列

D.若{an}是等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列

答案ABC

解析若Sn=2n,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(n-1)=2,

当n=1时,a1=S1=2也适合上式,故an=2,

因为an-an-1=0,所以数列{an}是等差数列,

故选项A正确;

若Sn=2an-1,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,

整理可得an=2an-1,所以=2,

所以数列{an}是等比数列,

故选项B正确;

若{an}是等差数列,设公差为d,

则Sn=a1+a2+…+an,

S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=Sn+nd,

S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=Sn+2nd,

所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,

故Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,

故选项C正确;

若{an}是等比数列,当公比q=-1时,an=a1·(-1)n-1,

当n为偶数时,则有Sn=0,S2n-Sn=0,S3n-S2n=0,不构成等比数列,

故选项D错误.故选ABC.

13.已知数列{an}满足·…·(n∈N+),则a10=　　　　. 

答案

解析∵·…·(n∈N+),

∴·…·(n≥2),

∴lnan=(n≥2),

∴an=(n≥2),∴a10=.

14.已知数列{an}满足a1=1,a2=,若an(an-1+2an+1)=3an-1·an+1(n≥2,n∈N+),则数列{an}的通项公式an=　　　　. 

答案

解析由题意知anan-1+2anan+1=3an-1an+1,

∴,

∴=2,

即=2,

∴数列是首项为2,公比为2的等比数列,

∴=2×2n-1=2n.

利用累加法,得+++…+=1+2+22+…+2n-1,

即=2n-1,

∴an=.

15.设Sn是数列{an}的前n项和,若+1=2anSn,且an>0,则Sn=　　　　　,a100=　　　　　. 

答案　10-3

解析由+1=2anSn,则当n=1时,+1=2a1S1,即=1;

当n≥2时,(Sn-Sn-1)2+1=2(Sn-Sn-1)Sn,

整理得=1.

所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列,则=n.

由于an>0,所以Sn=,

故a100=S100-S99==10-3.

16.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N+.

(1)求a1的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

解(1)当n=1时,T1=2S1-1,

因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1.

(2)当n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,

则Sn=Tn-Tn-1

=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]

=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1,

因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,

所以Sn=2an-2n+1(n≥1),①

当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,②

①-②,得an=2an-2an-1-2,

所以an=2an-1+2(n≥2),

所以an+2=2(an-1+2),

因为a1+2=3≠0,

所以数列{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列,

所以an+2=3×2n-1,

所以an=3×2n-1-2.

学科素养创新练

17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=,n∈N+.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)是否存在正整数k,使ak,S2k,a4k成等比数列?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.

解(1)由nSn+1-(n+1)Sn=,

得,

∴数列是首项为=1,公差为的等差数列,

∴=1+(n-1)=(n+1),

∴Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==n.

而a1=1适合上式,∴an=n.

(2)由(1)知an=n,Sn=.

假设存在正整数k,使ak,,a4k成等比数列,

则=ak·a4k,即2=k·4k.

∵k为正整数,∴(2k+1)2=4,得2k+1=2或2k+1=-2,

解得k=或k=-,与k为正整数矛盾.

∴不存在正整数k,使ak,,a4k成等比数列.