高中数学北师大版选修系列第一章 常用逻辑用语巩固练习

这是一份高中数学北师大版选修系列第一章 常用逻辑用语巩固练习，共7页。
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.已知数列{an}的通项an=2n+1,n∈N+,由bn=a1+a2+a3+…+ann所确定的数列{bn}的前n项的和是( )
A.n(n+2)B.12n(n+4)
C.12n(n+5)D.12n(n+7)
答案C
解析∵a1+a2+…+an=n2(2n+4)=n2+2n,
∴bn=n+2,∴{bn}的前n项和Sn=n(n+5)2.
2.数列12×5,15×8,18×11,…,1(3n-1)×(3n+2),…的前n项和为( )
A.n3n+2B.n6n+4
C.3n6n+4D.n+1n+2
答案B
解析由数列通项公式1(3n-1)(3n+2)=1313n-1-13n+2,得前n项和Sn=1312-15+15-18+18-111+…+13n-1-13n+2=1312-13n+2=n6n+4.
3.1+1+12+1+12+14+…+1+12+14+…+1210的值为( )
A.18+129B.20+1210
C.22+1211D.18+1210
答案B
解析设an=1+12+14+…+12n-1=1×[1-(12) n]1-12=21-12n,
∴原式=a1+a2+…+a11
=21-121+21-122+…+21-1211=211-12+122+…+1211=211-12(1-1211)1-12=210+1211=20+1210.
4.设an=1n+1+n,数列{an}的前n项和Sn=9,则n= .
答案99
解析an=1n+1+n=n+1-n,
故Sn=2-1+3-2+…+n+1-n=n+1-1=9.
解得n=99.
5.在数列{an}中,已知Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),n∈N+,则S15+S22-S31的值是 .
答案-76
解析S15=-4×7+a15=-28+57=29,
S22=-4×11=-44,
S31=-4×15+a31=-60+121=61,
S15+S22-S31=29-44-61=-76.
6.已知函数f(x)=2x-3x-1,点(n,an)(n∈N+)在f(x)的图象上,数列{an}的前n项和为Sn,求Sn.
解由题意得an=2n-3n-1,n∈N+,
Sn=a1+a2+…+an=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n
=2(1-2n)1-2-3·n(n+1)2-n
=2n+1-n(3n+5)2-2.
7.已知等差数列{an}中,2a2+a3+a5=20,且前10项和S10=100.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和.
解(1)设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,
由已知得2a2+a3+a5=4a1+8d=20,10a1+10×92d=10a1+45d=100,
解得a1=1,d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)bn=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,
所以Tn=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.
关键能力提升练
8.已知函数f(x)=21+x2(x∈R),若等比数列{an}满足a1a2 021=1,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 021)=( )
A.2 021B.20212
C.2D.12
答案A
解析∵函数f(x)=21+x2(x∈R),∴f(x)+f1x=21+x2+21+(1x) 2=21+x2+2x2x2+1=2.
∵数列{an}为等比数列,且a1·a2021=1,
∴a1a2021=a2a2020=a3a2019=…=a2021a1=1.
∴f(a1)+f(a2021)=f(a2)+f(a2020)=f(a3)+f(a2019)=…=f(a2021)+f(a1)=2,
∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2021)=2021.故选A.
9.已知等差数列{an}中,a3+a5=a4+7,a10=19,则数列{ancs nπ}的前2 022项和为( )
A.1 010B.1 011
C.2 021D.2 022
答案D
解析设数列{an}的公差为d,
由2a1+6d=a1+3d+7,a1+9d=19,解得a1=1,d=2,
∴an=2n-1.
设bn=ancsnπ,
∴b1+b2=a1csπ+a2cs2π=2,b3+b4=a3cs3π+a4cs4π=2,…,
∴数列{ancsnπ}的前2022项的和S2022=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2021+b2022)=1011×2=2022.故选D.
10.定义np1+p2+…+pn为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”.若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为13n+1,bn=an+26,则1b1b2+1b2b3+…+1b9b10=( )
A.111B.1011C.910D.1112
答案C
解析由题意得na1+a2+…+an=13n+1,所以a1+a2+…+an=n(3n+1)=3n2+n,记数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=3n2+n.当n=1时,a1=S1=4;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+n-[3(n-1)2+(n-1)]=6n-2.经检验a1=4也符合此式,所以an=6n-2,n∈N+,则bn=an+26=n,所以1b1b2+1b2b3+…+1b9b10=11×2+12×3+…+19×10=1-12+12-13+…+19-110=1-110=910.故选C.
11.(多选题)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=0,a6=6,则( )
A.an=2n-6B.an=3n-12
C.Sn=n2-5nD.Sn=n2-5n2
答案AC
解析设数列{an}的公差是d,∵Sn为等差数列{an}的前n项和,S5=0,a6=6,
∴S5=5a1+5×42d=0,a6=a1+5d=6,
解得a1=-4,d=2,
∴an=-4+(n-1)×2=2n-6,
Sn=-4n+n(n-1)2×2=n2-5n.
故A和C正确,B和D错误.
12.(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=lg(10an+9)+1,其前n项和为Sn,则下列结论中正确的有( )
A.{an}是递增数列
B.{an+10}是等比数列
C.2an+1>an+an+2
D.Sn2102n+2=2×10n+1,
所以2an+1>an+an+2,C正确;
令cn=n+1,则其前n项和为n(n+3)2,
而an=lg(2×10n-10)