2020年江苏省跨地区职业学校单招高考数学第一次联考试卷

这是一份2020年江苏省跨地区职业学校单招高考数学第一次联考试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年江苏省跨地区职业学校单招高考数学第一次联考试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜4，x∈N}，B＝{0，2，3，6，7}，则A∩B＝（　　）
A．{0，6，7} B．{2，3} C．{0，2，3} D．{0，2，3，6，7}
2．（4分）设复数z满足（1﹣i）z＝m+i（m∈R），若z为纯虚数，则实数m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（4分）已知三维数组＝（2，﹣1，0），＝（1，k，7），且•＝0，则实数k＝（　　）
A．﹣2 B．﹣9 C． D．2
4．（4分）下列结论不正确的是（　　）
A．
B．（15）10＝（1001）2
C．
D．若p为真命题，q为假命题，则p∨q为真命题
5．（4分）如图所示，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝BC＝，对角线AC'与平面ABCD所成的角为60°，若一个球的直径与对角线AC'相等，则该球的体积为（　　）

A． B． C． D．
6．（4分）从3名女同学和2名男同学中任选2名同学参加活动，若选出的2名同学中至少有1名男同学，则不同的选法共有（　　）
A．3种 B．7种 C．10种 D．12种
7．（4分）已知，2sin2α＝cos2α+1，则＝（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±3x
9．（4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增，且函数g（x）＝log2x．若实数a满足，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
C．（0，2） D．（1，+∞）
10．（4分）已知x＞0，y＞0，且，则y的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）如题图所示是某工程的网络图（单位：天）．

若该项工程在2020年1月8日开工，则到2020年1月14日时，该工程进行到 　 　项工作．（写出工作代码）
12．（4分）若执行如题图所示的程序框图，则输出s的值为 　 　．

13．（4分）已知函数f（x）＝（a+1）2﹣x（a＞﹣1，且a≠0）的图像恒过定点P，且点P在抛物线x2＝my上，设该抛物线的焦点为F，准线为l，则以点F为圆心，且与l相切的圆方程为 　 　．
14．（4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g（x），若，则＝　 　．
15．（4分）已知函数f（x）＝，设g（x）＝f（x）+m，若关于x的方程g（x）＝1有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16．已知f（x）＝log2（2﹣x）﹣log2（2+x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．
17．已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）+f（y）
（1）求f（1），f（4）的值．
（2）如果f（x）﹣f（x﹣3）＜2，求x的取值范围．
18．已知函数f（x）＝cos（﹣2x）+cos（2x+）+sin（2x+）﹣sin（﹣2x）．
（1）求函数f（x）在[0，]上的值域；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f（A）＝1，a＝1，试求△ABC的面积S的最大值．
19．2021年福建省高考实行“3+1+2”模式．“3+1+2”模式是指：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目．
（1）若学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科，求学生甲选化学和生物的概率；
（2）若学生乙在“1”中任选1科，在“2”中任选2科，求学生乙不选政治但选生物的概率．
20．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形）
21．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用10x（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为20x（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为f（x）（单位：元）．
（1）求f（x）的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．已知动圆P经过点N（1，0），并且与圆M：（x+1）2+y2＝16相内切．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设G（m，0）为轨迹C内的一个动点，过点G，且斜率为的直线l交轨迹C于A、B两点，求证|GA|2+|GB|2是与m无关的定值．
23．已知数列{an}中，a1＝，an+1＝（n∈N*）．
（1）求证：{}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}，满足bn＝．
（i）求数列{bn}的前n项和Tn；
（ⅱ）若不等式（﹣1）nλ＜Tn+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

2020年江苏省跨地区职业学校单招高考数学第一次联考试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜4，x∈N}，B＝{0，2，3，6，7}，则A∩B＝（　　）
A．{0，6，7} B．{2，3} C．{0，2，3} D．{0，2，3，6，7}
【分析】先利用列举法表示出集合A，再利用集合交集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜4，x∈N}＝{0，1，2，3}，
又B＝{0，2，3，6，7}，
则A∩B＝{0，2，3}．
故选：C．
2．（4分）设复数z满足（1﹣i）z＝m+i（m∈R），若z为纯虚数，则实数m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】先利用复数的除法运算法则求出z的代数形式，然后由纯虚数的定义，列式求解即可．
【解答】解：因为（1﹣i）z＝m+i，
则z＝，
又z为纯虚数，
所以m﹣1＝0且m+1≠0，
解得m＝1．
故选：A．
3．（4分）已知三维数组＝（2，﹣1，0），＝（1，k，7），且•＝0，则实数k＝（　　）
A．﹣2 B．﹣9 C． D．2
【分析】由空间向量的数量积运算即可求解．
【解答】解：因为＝（2，﹣1，0），＝（1，k，7），且•＝0，
所以2﹣k+0＝0，解得k＝2．
故选：D．
4．（4分）下列结论不正确的是（　　）
A．
B．（15）10＝（1001）2
C．
D．若p为真命题，q为假命题，则p∨q为真命题
【分析】直接利用二进制和二值逻辑运算，真值表的应用判断ABCD的结论．
【解答】解：对于A：，故A正确；
对于B：（15）10＝（1001）2＝1×23+1×＝9≠15，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：若p为真命题，q为假命题，则p∨q为真命题，故D正确．
故选：B．
5．（4分）如图所示，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝BC＝，对角线AC'与平面ABCD所成的角为60°，若一个球的直径与对角线AC'相等，则该球的体积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由已知求得正方体的对角线AC′的长度，即可得到球的半径，代入球的体积公式得答案．
【解答】解：如图，

在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝BC＝，则AC＝2，
对角线AC'与平面ABCD所成的角为60°，即∠C′AC＝60°，
由cos60°＝，得AC′＝．
∴球的直径为4，半径为2，
则球的体积为．
故选：C．
6．（4分）从3名女同学和2名男同学中任选2名同学参加活动，若选出的2名同学中至少有1名男同学，则不同的选法共有（　　）
A．3种 B．7种 C．10种 D．12种
【分析】根据题意，先计算“从5人中选出2人”的选法数目，再排除其中“选出的2人都是女同学”的选法，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，从3名女同学和2名男同学中任选2名同学参加活动，有C52＝10种选取方法，
若选出的2人都是女同学，有C32＝3种选法，
则至少有1名男同学的选法有10﹣3＝7种，
故选：B．
7．（4分）已知，2sin2α＝cos2α+1，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用二倍角公式化简已知等式，结合同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解．
【解答】解：因为2sin2α＝cos2α+1，，
所以2×2sinαcosα＝2cos2α﹣1+1，可得2sinα＝cosα，
又sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，
所以sinα＝，
所以＝sinα＝．
故选：B．
8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±3x
【分析】把点代入双曲线方程，求得b，即可求解．
【解答】解：因为双曲线经过点，所以25﹣＝1，解得b2＝2，
则该双曲线的渐近线方程为y＝，
故选：A．
9．（4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增，且函数g（x）＝log2x．若实数a满足，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
C．（0，2） D．（1，+∞）
【分析】先利用对数的运算性质求出，然后利用偶函数的性质以及函数的单调性去掉“f”，转化为2|a﹣1|＜2，由指数不等式以及绝对值不等式的解法求解即可．
【解答】解：因为g（x）＝log2x，
则＝，
则不等式为f（2|a﹣1|）＞f（﹣2），
因为f（x）是定义在R上的偶函数，
则不等式为f（2|a﹣1|）＞f（2），
又f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，
则f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
所以2|a﹣1|＜2，即|a﹣1|＜1，解得0＜a＜2．
故选：C．
10．（4分）已知x＞0，y＞0，且，则y的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
又∵x＞0，
∴，当且仅当x＝1时，等号成立，
∵y＞0，
∴3y2+2y﹣1≤0，解得，
故y的最大值为．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）如题图所示是某工程的网络图（单位：天）．

若该项工程在2020年1月8日开工，则到2020年1月14日时，该工程进行到 　E或F　项工作．（写出工作代码）
【分析】由图形分析从①到⑤和从①到④需要的天数，计算出从2020年1月8日开工，则到2020年1月14日时共有的天数，由此推理即可得到答案．
【解答】解：由图可知，由①到②到④到⑤需要1+3+2＝6天，
由①到③到④到⑤需要5+0+2＝7天，
所以从①到⑤需要7天，
同理从①到④需要5+0＝5天，
从2020年1月8日开工，则到2020年1月14日时，共有7天，
则该工程进行到E或F项工作．
故答案为：E或F．
12．（4分）若执行如题图所示的程序框图，则输出s的值为 　2　．

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k＝1，s＝1，
s＝2
满足条件k＜3，执行循环体，k＝2，s＝2，
满足条件k＜3，执行循环体，k＝3，s＝2，
不满足条件k＜3，退出循环，输出s的值为2．
故答案为：2．
13．（4分）已知函数f（x）＝（a+1）2﹣x（a＞﹣1，且a≠0）的图像恒过定点P，且点P在抛物线x2＝my上，设该抛物线的焦点为F，准线为l，则以点F为圆心，且与l相切的圆方程为 　x2+（y﹣1）2＝4　．
【分析】先求出定点P，代入抛物线方程，求出抛物线，从而得到焦点F和准线l，由点到直线l的距离公式求出圆的半径，然后由圆的标准方程求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝（a+1）2﹣x（a＞﹣1，且a≠0）的图像恒过定点P，
令x＝2，则f（x）＝1，所以P（2，1），
因为点P在抛物线x2＝my上，解得m＝4，
所以抛物线方程为x2＝4y，
则焦点坐标F（0，1），准线l：y＝﹣1，
又l与圆相切，
则圆的半径r＝2，
所以以点F为圆心，且与l相切的圆方程为x2+（y﹣1）2＝4．
故答案为：x2+（y﹣1）2＝4．
14．（4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g（x），若，则＝　　．
【分析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值．
【解答】解：函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，则φ＝0，
由于f（x）的最小正周期为π，所以ω＝2，
将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）＝Asinx．
若，
所以Asin＝，解得A＝2，
所以f（）＝2sin（2×）＝2sin＝．
故答案为：．
15．（4分）已知函数f（x）＝，设g（x）＝f（x）+m，若关于x的方程g（x）＝1有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　（﹣1，0）　．
【分析】将问题转化为方程f（x）＝1﹣m有两个不相等的实数根，在同一坐标系中画出函数y＝f（x），y＝1﹣m的图象，利用数形结合法求解．
【解答】解：因为方程g（x）＝1有两个不相等的实数根，
所以方程f（x）＝1﹣m有两个不相等的实数根，
所以在同一坐标系中画出函数y＝f（x），y＝1﹣m的图象，
如图所示：

由图象可知，1＜1﹣m＜2，解得﹣1＜m＜0，
所以实数m的取值范围是（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16．已知f（x）＝log2（2﹣x）﹣log2（2+x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．
【分析】（1）根据对数函数的定义，列出关于自变量x的不等式组，求出f（x）的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义，判定f（x）在定义域上的奇偶性；
（3）化简f（x），根据对数函数的单调性以及定义域，求出不等式f（x）＞1的解集．
【解答】解：（1）∵f（x）＝log2（2﹣x）﹣log2（2+x），
∴，解得﹣2＜x＜2；
∴f（x）的定义域是（﹣2，2）；
（2）∵f（﹣x）＝log2（2+x）﹣log2（2﹣x）
＝﹣[log2（2﹣x）﹣log2（2+x）]
＝﹣f（x），
∴f（x）是定义域（﹣2，2）上的奇函数；
（3）∵f（x）＝log2（2﹣x）﹣log2（2+x）
＝log2＞1，
∴，
解得﹣2＜x＜﹣；
∴不等式f（x）＞1的解集是（﹣2，﹣）．
17．已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）+f（y）
（1）求f（1），f（4）的值．
（2）如果f（x）﹣f（x﹣3）＜2，求x的取值范围．
【分析】（1）令x＝y＝1，可求出f（1），令x＝y＝2，结合条件，可求出f（4）；
（2）将2换成f（4），结合条件得到f（x）＜f（4x﹣12），再由单调性，即可求出x的取值范围，注意定义域．
【解答】解：（1）∵f（xy）＝f（x）+f（y），∴令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，
令x＝y＝2，则f（4）＝2f（2）＝2．
（2）f（x）﹣f（x﹣3）＜2即f（x）＜f（x﹣3）+2，
即f（x）＜f（x﹣3）+f（4），即f（x）＜f（4x﹣12），
∵函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，
∴即
∴x＞4，
故x的取值范围是（4，+∞）．
18．已知函数f（x）＝cos（﹣2x）+cos（2x+）+sin（2x+）﹣sin（﹣2x）．
（1）求函数f（x）在[0，]上的值域；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f（A）＝1，a＝1，试求△ABC的面积S的最大值．
【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，结合角的范围，求出相位的范围，然后求函数f（x）的值域；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f（A）＝1，a＝1，利用余弦定理以及基本不等式化简推出△ABC的面积S的最大值即可．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝cos（﹣2x）+cos（2x+）+sin（2x+）﹣sin（﹣2x）
＝2sin（2x+），
因为[0，]，所以2x+∈，即f（x）的值域为[]．
（2）由f（A）＝2sin（2A+）＝1⇒A＝，又a＝1，
由余弦定理及均值不等式可得，b2+c2﹣2bccosA＝a2≥2bc（1﹣cosA）
⇒bc≤＝1+
所以S＝bcsinA≤（1+）•＝．
△ABC的面积S的最大值：．
19．2021年福建省高考实行“3+1+2”模式．“3+1+2”模式是指：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目．
（1）若学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科，求学生甲选化学和生物的概率；
（2）若学生乙在“1”中任选1科，在“2”中任选2科，求学生乙不选政治但选生物的概率．
【分析】（1）记“学生甲选化学和生物”为事件A．列举出学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科的基本事件，数出事件A包含的基本事件个数，代入古典概型的概率公式即可；
（2）记“学生乙不选政治但选生物”为事件B．列举出学生乙在“1”中任选1科，在“2”中任选2科的基本事件有，数出基本事件的总数和事件B包含的基本事件个数，代入公式即可．
【解答】解：（1）记“学生甲选化学和生物”为事件A．
学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科的基本事件有：（生，化），（生，政），
（生，地），（化，政），（化，地），（政，地），共6种．
事件A包含的基本事件有：（生，化），共1种
由古典概型概率计算公式得P（A）＝．
所以学生甲选化学和生物的概率是．
（2）记“学生乙不选政治但选生物”为事件B．
学生乙在“1”中任选1科，在“2”中任选2科的基本事件有：
（物，生，化），（物，生，政），（物，生，地），（物，化，政），（物，化，地），
（物，政，地），（史，生，化），（史，生，政），（史，生，地），（史，化，政），
（史，化，地），（史，政，地），共12种．（没列出基本事件扣2分）……（8分）
事件B包含的基本事件有：（物，生，化），（物，生，地），（史，生，化），
（史，生，地），共4种．
由古典概型概率计算公式得．
所以学生乙不选政治但选生物的概率是．
20．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形）
【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z＝5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．
【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x+3y，
则满足条件的约束条件为
满足约束条件的可行域如下图所示

∵z＝5x+3y可化为y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x，由图可知，当直线经过P（3，4）时z取最大值

联立，
解得
∴z的最大值为z＝5×3+3×4＝27（万元）．
21．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用10x（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为20x（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为f（x）（单位：元）．
（1）求f（x）的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，当0≤x≤2时，f（x）＝10×5（x2+2）﹣20x﹣10x＝50x2﹣30x+100，当2＜x≤5时，f（x）＝＝，即可求解．
（2）根据（1）中的函数解析式，结合二次函数的单调性，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，当0≤x≤2时，f（x）＝10×5（x2+2）﹣20x﹣10x＝50x2﹣30x+100，
当2＜x≤5时，f（x）＝＝，
故f（x）的函数解析式为f（x）＝．
（2）由（1）可得，
当0≤x≤2时，f（x）＝50x2﹣30x+100＝，
f（x）在 上单调递减，在上单调递增，且f（0）＝100＜f（2）＝240，
故f（x）max＝f（2）＝240，
当2＜x≤5时，f（x）＝＝ ，当且仅当，即x＝3时等号成立，
∴f（x）max＝f（3）＝270，
∵240＜270，
∴当x＝3时，f（x）的最大值为270，
故当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元．
22．已知动圆P经过点N（1，0），并且与圆M：（x+1）2+y2＝16相内切．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设G（m，0）为轨迹C内的一个动点，过点G，且斜率为的直线l交轨迹C于A、B两点，求证|GA|2+|GB|2是与m无关的定值．
【分析】（1）由题意可得点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝（x﹣m），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标与纵坐标的和与积，计算可得|GA|2+|GB|2是与m无关的定值．
【解答】解：（1）由题设得：|PM|+|PN|＝4，
∴点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，
∵2a＝4，2c＝2，∴b＝，
∴点P的轨迹C的方程为；
证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝（x﹣m），
由，得2x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
x1+x2＝m，，
∴y1+y2＝（x1﹣m）+（x2﹣m）＝﹣＝﹣．
＝
＝．
∴|GA|2+|GB|2＝
＝
＝
＝＝．
故|GA|2+|GB|2是与m无关的定值7．
23．已知数列{an}中，a1＝，an+1＝（n∈N*）．
（1）求证：{}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}，满足bn＝．
（i）求数列{bn}的前n项和Tn；
（ⅱ）若不等式（﹣1）nλ＜Tn+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
【分析】（1）推导出+1＝3（+1），从而能证明{+1}是以3为首项，3公比的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）（i）由（1）得，从而，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
（ii）由（i）得（﹣1）nλ＜2﹣+＝2﹣，令cn＝2﹣，则{cn}是递增数列，由此能求出λ的取值范围．
【解答】证明：（1）∵a1＝，，（n∈N*），
∴＝+2，
∴+1＝3（+1），
∵+1＝3，
∴{+1}是以3为首项，3公比的等比数列，
∴+1＝3×3n﹣1＝3n．
∴．
解（2）（i）由（1）得，
，
＝+，
两式相减，得：＝+…+﹣
＝﹣
＝1﹣（）n﹣
＝1﹣，
∴Tn＝2﹣．
（ii）由（i）得（﹣1）nλ＜2﹣+＝2﹣，
令cn＝2﹣，则{cn}是递增数列，
若n为偶数时，恒成立，
又∵c2＝，∴，
若n为奇数时，﹣恒成立，
∵c1＝1，∴﹣λ＜1，∴λ＞﹣1．
综上，λ的取值范围是（﹣1，）．