2020-2021学年山西省运城市高二（上）12月联考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山西省运城市高二（上）12月联考数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x∈R,ex−x>0”的否定是（ ）
A.∀x∈R,ex−x<0B.∀x∈R,ex−x≤0
C.∃x0∈R,ex0−x0>0D.∃x0∈R,ex0−x0≤0

2. 已知直线x−2y+2=0与直线2x+my−3=0互相垂直，则m=（ ）
A.−1B.1C.13D.3

3. 若双曲线x2a2−y24=1的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）
A.y=±33xB.y=±13xC.y=±3xD.y=±3x

4. 设α，β表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是( )
A.若m // α，α // β，则m // βB.若m // α，m // β，则α // β
C.若m⊥α，α⊥β，则m//βD.若m⊥α，m⊥β，则α // β

5. 若球O的体积为32π3，平面α截球O的球面所得圆的半径为3，则球心O到平面α的距离为( )
A.1B.2C.3D.6

6. 已知点F1，F2是椭圆x225+y29=1的两个焦点，点P为椭圆上一点，且PF1→⋅PF2→=0，则△PF1F2的面积为( )
A.32B.16C.9D.8

7. “k=1”是“直线y=kx−2与圆x2+y2=2相切”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8. 若圆x2+y2−2x+4y−11=0被直线3x−4y+c=0所截的弦长为43，则c的值是（ ）
A.6B.−6或−16C.−1或−21D.1

9. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若|AF1||AF2|=73，则双曲线的离心率等于( )
A.52B.102C.2D.3

10. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中两个顶点间的距离最大值为( )

A.6+23B.5+22C.4D.3

11. 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的中点．若点P为侧面正方形ADD1A1内（含边界）动点，且B1P//平面BEF，则点P的轨迹长度为（ ）

A.12B.1C.52D.π2

12. 已知A−4,0，B是圆x2+y−32=1上的点，点P在双曲线x24−y212=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A.9B.25+4C.8D.7
二、填空题

直线ax+y+3=0的倾斜角为60∘，则a的值是________.

若椭圆x212+y2m=1与双曲线x2−8y2=8的焦点相同，则m的值为________.

若圆O1:x−32+y−42=25和圆O2:x−12+y−22=r20
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l:3x−y=0与椭圆相交于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点P到直线l的距离不小于35，则椭圆C离心率的取值范围为________.
三、解答题

已知命题：“∀x≥2，不等式x2−x−m>0”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；

(2)设不等式x−ax−a−1<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

已知直线mx+y−m−2=0恒过定点A．
(1)求点A的坐标；

(2)若直线l过点A，且与x，y轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l的方程．

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦点为2,0,−2,0，实轴长为23.
(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l:y=kx+1与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．

如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PD的中点，AC与BD交于点O．

(1)求证：OF//平面PAB；

(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．

已知圆O:x2+y2=4，点P在直线l:3x+y−8=0上，过点P作圆O的两条切线，A，B为切点．
(1)若P点横坐标为2，求直线AB的方程；

(2)求切线长PA的最小值，及此时点P的坐标．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为223，点3,63为C上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设坐标原点为O，点A，B在C上，点P满足OP→=OA→+OB→，且直线OA，OB的斜率之积为−19，证明：AB→2+OP→2为定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省运城市高二（上）12月联考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
由题设得命题的否定为∃x0∈R,ex0−x0≤0.
【解答】
解：全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x∈R,ex−x>0”的否定是∃x0∈R,ex0−x0≤0.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
两条直线垂直的判定
【解析】
无
【解答】
解：由1×2+−2×m=0，解得m=1．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
无
【解答】
解：由题意a2+4a2=2，解得a2=43，
∴ 渐近线方程为y=±2233x=±3x．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若m // α，α // β，则m // β或m⊂β，故A错误；
若m // α，m // β，则α // β或α与β相交，故B错误；
若m⊥α，α⊥β，则m//β或m⊂β，故C错误；
若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α // β，故D正确.
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
体积为32π3的球O的半径R=2，平面α截球O的球面所得圆的半径为3，利用勾股定理能球心O到平面α的距离.
【解答】
解：依题意，设该球的半径为R，
则有4π3R3=32π3，
解得R=2，
因此球心O到平面α的距离d=R2−3=1.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由椭圆C：x225+y29=1可得：a，b，c．设|PF1|=m，|PF2|=n．由于PF1→⊥PF2→，可得∠F1PF2=90∘．利用勾股定理可得：m2+n2=(2c)2=64．利用椭圆的定义可得：m+n=2a=10，进而得到mn．
【解答】
解：由椭圆x225+y29=1可得：a2=25，b2=9．
∴ a=5，b=3，c=a2−b2=4．
设|PF1|=m，|PF2|=n．
∵ PF1→⋅PF2→=0，
∴ ∠F1PF2=90∘．
∴ m2+n2=(2c)2=64．
又m+n=2a=10，
联立m+n=10,m2+n2=64,
解得mn=18，
∴ △PF1F2的面积S=12mn=9．
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：若直线y=kx−2与圆x2+y2=2相切，
则圆心0,0到直线kx−y−2=0的距离d=|−2|k2+1=2，
即k2+1=2，∴ k2=1，即k=±1，
∴ “k=1”是“直线y=kx−2与圆x2+y2=2相切”的充分不必要条件．
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的性质
点到直线的距离公式
【解析】
无
【解答】
解：圆x2+y2−2x+4y−11=0整理得：
x−12+y+22=42，
圆心O1,−2，半径r=4，
d=r2−12l2=42−232=2，
又d等于圆心到直线的距离，即|3×1−4×−2+c|32+−42=2，
解得c=−1或c=−21．
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
无
【解答】
解：∵ |AF1||AF2|=73，∴ 设|AF2|=3t，|AF1|=7t，
∴ a=|AF1|−|AF2|2=2t，
∵ AF2⊥x轴，∴ 9t2+4c2=49t2，
∴ c=10t，
故双曲线的离心率为e=ca=10t2t=102．
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
点、线、面间的距离计算
由三视图还原实物图
【解析】
无
【解答】
解：该空间几何体为一正四棱柱和一正四棱锥组成的几何体，
正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱体对角线长为3，
正四棱锥的顶点与正四棱柱底面顶点距离为6+23．
正方形对角线长为22，矩形对角线长为5，最大距离为6+23．
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
平面与平面平行的判定
点、线、面间的距离计算
【解析】
无
【解答】
解：B1P//平面BEF，如图，取A1D1中点Q，连接B1Q，B1A，AQ，
根据正方体的性质得，B1Q//BE，B1A//FE，且B1Q∩B1A=B1，FE∩BE=E，
∴ 平面B1AQ//平面 BEF，
∴ 点P在AQ上运动，点P的轨迹为线段AQ，
∵ A1A=1，A1Q=12，由勾股定理得QA=1+14=52．
故选C．
12.
【答案】
C
【考点】
直线与双曲线结合的最值问题
点与圆的位置关系
【解析】
无
【解答】
解：设圆心为C，双曲线右焦点为A′4,0，
且|PB|≥|PC|−1，|PA|=|PA′|+4，
所以|PB|+|PA|≥|PC|+|PA′|+3≥|A′C|+3=8，
当且仅当A′，B，C三点共线时取得等号．
故选C．
二、填空题
【答案】
−3
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：直线的斜率k=−a=tan60∘=3，
∴ a=−3 .
故答案为：−3.
【答案】
3
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：将双曲线方程化为标准方程得：x28−y2=1，所以双曲线的焦点坐标为±3,0，
由于椭圆与双曲线有相同的焦点，所以由椭圆的方程得：m=12−9=3．
故答案为：3.
【答案】
5−22
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
由已知两圆相内切，|O1O2|=5−r，所以3−12+4−22=5−r，即r=5−22 .
【解答】
解：由已知两圆相内切，|O1O2|=5−r，所以3−12+4−22=5−r，即r=5−22 .
故答案为：5−22.
【答案】
(0,45]
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设椭圆的左焦点为F′，P为短轴的上端点，连接AF′,BF′，
由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则OA=OB，
又OF′=OF，
∴ 四边形AFBF′为平行四边形，AF=BF′.
又|AF|+|BF|=|BF|+|BF′|=2a=4，解得：a=2.
点P到直线l距离：d=|−b|2≥35，
解得：2>b≥65，即2>4−c2≥65，
∴ 0∴ e=ca∈(0,45].
故答案为：(0,45].
三、解答题
【答案】
解：(1)命题：∀x≥2，都有不等式x2−x−m>0成立是真命题，
∴ x2−x−m>0即m又当x≥2时，x2−x=x−122−14≥2−122−14=2，
∴ m<2，即B=m|m<2=−∞,2.
(2)不等式x−ax−a−1<0，即a∵ x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
∴ a+1≤2，a≤1，即实数a的取值范围为(−∞,1]．
【考点】
复合命题及其真假判断
不等式恒成立问题
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)命题：∀x≥2，都有不等式x2−x−m>0成立是真命题，
∴ x2−x−m>0即m又当x≥2时，x2−x=x−122−14≥2−122−14=2，
∴ m<2，即B=m|m<2=−∞,2.
(2)不等式x−ax−a−1<0，即a∵ x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
∴ a+1≤2，a≤1，即实数a的取值范围为(−∞,1]．
【答案】
解：(1)∵ 直线mx+y−m−2=0恒过定点A，
∴ x−1m+y−2=0．
由x−1=0,y−2=0得A1,2．
(2)①当过点A1,2的直线与坐标轴平行时，不合题意；
②当过点A1,2的直线与坐标轴不平行时，可设所求直线方程为y−2=kx−1，
当x=0时，y=2−k；当y=0时，x=1−2k；
故S△=121−2k(2−k)=92，由2−k>0，1−2k>0，
解得k=−1或−4，
故所求的直线方程为y−2=−1×x−1或y−2=−4×x−1，
即x+y−3=0或4x+y−6=0；
综上，所求直线方程为x+y−3=0或4x+y−6=0．
【考点】
直线恒过定点
直线的点斜式方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ 直线mx+y−m−2=0恒过定点A，
∴ x−1m+y−2=0．
由x−1=0,y−2=0得A1,2．
(2)①当过点A1,2的直线与坐标轴平行时，不合题意；
②当过点A1,2的直线与坐标轴不平行时，可设所求直线方程为y−2=kx−1，
当x=0时，y=2−k；当y=0时，x=1−2k；
故S△=121−2k(2−k)=92，由2−k>0，1−2k>0，
解得k=−1或−4，
故所求的直线方程为y−2=−1×x−1或y−2=−4×x−1，
即x+y−3=0或4x+y−6=0；
综上，所求直线方程为x+y−3=0或4x+y−6=0．
【答案】
解：(1)根据题意，得a=3,c=2，
∴ b2=c2−a2=1，
∴ 双曲线C的方程为x23−y2=1．
(2)联立直线与双曲线方程得，
y=kx+1,x2−3y2−3=0⇒1−3k2x2−6kx−6=0，
由题意得，Δ=36k2−4×1−3k2×−6>0,1−3k2≠0,
解得−63所以k的取值范围为−63,−33∪−33,33∪33,63 ．
【考点】
双曲线的标准方程
直线与双曲线结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)根据题意，得a=3,c=2，
∴ b2=c2−a2=1，
∴ 双曲线C的方程为x23−y2=1．
(2)联立直线与双曲线方程得，
y=kx+1,x2−3y2−3=0⇒1−3k2x2−6kx−6=0，
由题意得，Δ=36k2−4×1−3k2×−6>0,1−3k2≠0,
解得−63所以k的取值范围为−63,−33∪−33,33∪33,63 ．
【答案】
证明：(1)∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ OB=OD.
又PF=FD，
∴ OF//PB.
∵ OF⊄ 平面 PAB，PB⊂ 平面PAB，
∴ OF//平面 PAB.
(2)∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BD⊥AC.
又∵ PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，
∴ BD⊥PA.
∵ PA∩AC=A，
∴ BD⊥ 平面 PAC．
∵ BD⊂平面 PBD，
∴ 平面PBD⊥ 平面 PAC．
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面垂直的判定
【解析】
无
无
【解答】
证明：(1)∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ OB=OD.
又PF=FD，
∴ OF//PB.
∵ OF⊄ 平面 PAB，PB⊂ 平面PAB，
∴ OF//平面 PAB.
(2)∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BD⊥AC.
又∵ PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，
∴ BD⊥PA.
∵ PA∩AC=A，
∴ BD⊥ 平面 PAC．
∵ BD⊂平面 PBD，
∴ 平面PBD⊥ 平面 PAC．
【答案】
解：(1)∵ P在直线l：3x+y−8=0上且横坐标为2，∴ P2,2，
当过P点的直线斜率不存在时，则直线方程为x=2，满足与圆O相切，此时切点为2,0；
设过P且斜率存在的圆O的切线为y−2=kx−2，
即kx−y−2k+2=0，
则|2−2k|k2+1=2，解得：k=0，
∴ 此时的切线方程为y=2，切点为0,2；
∴ 直线AB的方程为：x+y=2，即x+y−2=0．
(2)∵ 切线长|PA|=|OP|2−4，
∴ 当|OP|最小时，切线长|PA|最小，
当OP与直线l垂直时，|OP|取得最小值，
此时直线OP方程为：x−3y=0，
则|OP|min=89+1=4105，
∴ |PA|min=6410−4=2155．
联立3x+y−8=0,x−3y=0,解得：x=125,y=45,
∴ 切线长|PA|取最小值2155时，P点坐标为125,45．
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的切线方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ P在直线l：3x+y−8=0上且横坐标为2，∴ P2,2，
当过P点的直线斜率不存在时，则直线方程为x=2，满足与圆O相切，此时切点为2,0；
设过P且斜率存在的圆O的切线为y−2=kx−2，
即kx−y−2k+2=0，
则|2−2k|k2+1=2，解得：k=0，
∴ 此时的切线方程为y=2，切点为0,2；
∴ 直线AB的方程为：x+y=2，即x+y−2=0．
(2)∵ 切线长|PA|=|OP|2−4，
∴ 当|OP|最小时，切线长|PA|最小，
当OP与直线l垂直时，|OP|取得最小值，
此时直线OP方程为：x−3y=0，
则|OP|min=89+1=4105，
∴ |PA|min=6410−4=2155．
联立3x+y−8=0,x−3y=0,解得：x=125,y=45,
∴ 切线长|PA|取最小值2155时，P点坐标为125,45．
【答案】
(1)解：由题知，
3a2+23b2=1,ca=223,a2=b2+c2,解得a=3,b=1,c=22．
所以C的标准方程为x29+y2=1.
(2)证明：设Ax1,y1，当直线AB的斜率不存在时，Bx1,−y1，
因为直线OA，OB的斜率之积为−19，所以y1x1⋅−y1x1=−19，即x12=9y12，
又A，B在椭圆x29+y2=1上，所以x12=92，y12=12．
因为OP→=OA→+OB→，
所以AB→2+OP→2=OB→−OA→2+OB→+OA→2
=OB→2+OA→2−2OB→⋅OA→+OB→2+OA→2+2OB→⋅OA→
=2|OA→|2+|OB→|2
=4x12+y12=4×92+12=20.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m（m≠0），
联立方程得y=kx+m,x29+y2=1消去y，得1+9k2x2+18kmx+9m2−9=0，
Δ=18km2−41+9k29m2−9=369k2−m2+1>0，
设Bx2,y2，则x1+x2=−18km1+9k2，x1x2=9m2−91+9k2．
因为直线OA，OB的斜率之积为−19，即y1x1⋅y2x2=−19，x1x2=−9y1y2，
∵ A，B在椭圆上，∴ x12−9=−9y12①，x22−9=−9y22②，
∴ x12−9x22−9=81y12y22=x12x22，∴ x12+x22=9，
∴ ①＋②得y12+y22=1．
因为OP→=OA→+OB→，
所以AB→2+OP→2=OB→−OA→2+OB→+OA→2
=OB→2+OA→2−2OB→⋅OA→+OB→2+OA→2+2OB→⋅OA→
=2|OA→|2+|OB→|2
=2x12+y12+x22+y22=20．
综上，AB→2+OP→2为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：由题知，
3a2+23b2=1,ca=223,a2=b2+c2,解得a=3,b=1,c=22．
所以C的标准方程为x29+y2=1.
(2)证明：设Ax1,y1，当直线AB的斜率不存在时，Bx1,−y1，
因为直线OA，OB的斜率之积为−19，所以y1x1⋅−y1x1=−19，即x12=9y12，
又A，B在椭圆x29+y2=1上，所以x12=92，y12=12．
因为OP→=OA→+OB→，
所以AB→2+OP→2=OB→−OA→2+OB→+OA→2
=OB→2+OA→2−2OB→⋅OA→+OB→2+OA→2+2OB→⋅OA→
=2|OA→|2+|OB→|2
=4x12+y12=4×92+12=20.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m（m≠0），
联立方程得y=kx+m,x29+y2=1消去y，得1+9k2x2+18kmx+9m2−9=0，
Δ=18km2−41+9k29m2−9=369k2−m2+1>0，
设Bx2,y2，则x1+x2=−18km1+9k2，x1x2=9m2−91+9k2．
因为直线OA，OB的斜率之积为−19，即y1x1⋅y2x2=−19，x1x2=−9y1y2，
∵ A，B在椭圆上，∴ x12−9=−9y12①，x22−9=−9y22②，
∴ x12−9x22−9=81y12y22=x12x22，∴ x12+x22=9，
∴ ①＋②得y12+y22=1．
因为OP→=OA→+OB→，
所以AB→2+OP→2=OB→−OA→2+OB→+OA→2
=OB→2+OA→2−2OB→⋅OA→+OB→2+OA→2+2OB→⋅OA→
=2|OA→|2+|OB→|2
=2x12+y12+x22+y22=20．
综上，AB→2+OP→2为定值．