2020-2021学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∃x0∈R，”的否定是（ ）
A.∃x0∈R，B.∀x∈R，
C.∀x∈R，D.∃x0∈R，

2. 若直线过两点(−1, 1)，，则此直线的倾斜角是（ ）
A.30∘B.60∘C.150∘D.120∘

3. “a>1，b>1”是“ab>1”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最大值为（ ）

A.32B.23C.22D.2

5. 双曲线x23−y2=1的焦点到渐近线的距离是（ ）
A.1B.2C.3D.2

6. O为空间任意一点，A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，P四点（ ）
A.一定不共面B.不一定共面C.一定共面D.无法判断

7. 圆C:x2+y2+2x−4y−4＝0关于直线x−y+1＝0对称的圆的方程是（ ）
A.(x−1)2+y2＝9B.(x−1)2+y2＝3
C.(x+3)2+(y−2)2＝3D.(x+3)2+(y−2)2＝9

8. 如果椭圆的弦被点(4, 2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A.x−2y＝0B.5x+2y−4＝0C.x+2y−8＝0D.2x+3y−12＝0

9. 蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C:x2a+2+y2a=1(a>0)(a>0)的蒙日圆为x2+y2＝4，a＝（ ）
A.1B.2C.3D.4

10. 已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA＝PD＝AB＝2，∠APD＝90∘，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）
A.43πB.3πC.12πD.20π

11. 如图所示，F1和F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )

A.52B.32C.3D.3+1

12. 如图，棱长为1的正方形体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段AB1的中点，M、N分别为体对角线AC1和棱C1D1上任意一点，则PM+MN的最小值为（ ）

A.B.C.1D.
二、填空题

抛物线x2=8y的准线方程为________．

已知有两条直线x+my+6＝0和(m−2)x+3y+2m＝0互相平行，则实数m的值为________．

已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，下列命题中：
①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
②若a // b，b // c，则a // c；
③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a // b．
真命题是________.（填序号）

已知直线l经过抛物线C:y＝的焦点，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为________．
三、解答题

设命题p：实数m满足m2−6m+8<0；命题q：曲线＝1表示双曲线．若p为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．

已知，圆C:x2+y2−8y+12=0，直线l:ax+y+2a=0．
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB=22时，求直线l的方程．

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝2，AA1＝2，D，E分别为BC，A1C1的中点．

（1）证明：C1D // 平面ABE；

（2）求CC1与平面ABE所成角的余弦值．

已知动圆C过点F(1, 0)，且与直线x＝−1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程E；

（2）已知点P(1, −2)，Q(8, 2)，过点Q的直线l交曲线E于点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值，并求出此定值．

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥PC，AD // BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．

（1）证明：直线PA⊥平面ABCD；

（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M−AC−D的余弦值为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上一点N到左焦点F1距离的最大值为2+，过点M(3, 0)的直线交椭圆C于点A、B．
（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上一点，且满足＝t(t>0)（O为坐标原点），当|AB|>时，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的侧面积．
【解答】
如图所示：
其中AE⊥平面BCDE．
S△ABE＝12×2×2＝2，S△ADE＝12×2×2＝2，S△ABC＝12×2×22＝22，S△ACD＝12×2×22+22＝22，
所以侧面ACD和侧面ABC的面积为最大侧面，
面积为22．
故选：C．
5.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
根据双曲线的方程求出啊、焦点坐标和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】
解：双曲线x23−y2=1的渐近线为y=±33x，
a2=3，b2=1，c2=a2+b2=3+1=4，即c=2，
设一个焦点F(2, 0)，渐近线方程为33x+y=0，
则焦点F到其渐近线的距离d=|33×2|1+(33)2=233233=1.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
关于点、直线对称的圆的方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得a的值．
【解答】
因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上
找两个特殊点分别为(0, a)，(2+a, 0)，则两条切线分别是x=2+a，y=a，
则两条直线的交点为P(2+a, a)，
而P在蒙日圆上，
所以(2+a)2+(a)2＝4，
解得a＝1，
10.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
设球心为O，由点P、A、B、C、D都在同一球面上，可得球的直径就是矩形对角线的长，求得球的半径，从而得出表面积．
【解答】
设球心为O，如图．
由PA＝PD＝AB＝2，∠APD＝90∘，可求得AD＝22，
在矩形ABCD中，可求得对角线BD=22+(22)2=23，
由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，
∴ 球的半径R=12BD=3
则此球的表面积等于＝4πR2＝12π．
11.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B=60∘，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得3c−c=2a，从而可求双曲线的离心率．
【解答】
解：连接AF1，
则∠F1AF2=90∘，∠AF2B=60∘，
∴ |AF1|=c，|AF2|=3c，
∴ 3c−c=2a，
∴ e=23−1=3+1，
故选D．
12.
【答案】
C
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题
【答案】
y=−2
【考点】
抛物线的求解
【解析】
根据抛物线的方程，可得抛物线开口向上且2p=8，由此算出p2=2，即可得到该抛物线的准线方程．
【解答】
解：∵ 抛物线的方程为x2=8y，
∴ 抛物线开口向上，2p=8，可得p2=2．
因此抛物线的焦点为(0, 2)，准线方程为y=−2．
故答案为：y=−2
【答案】
−1
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
由两直线平行的性质可得1m−2=m3≠62m，由此求得实数m的值．
【解答】
由两条直线x+my+6＝0和(m−2)x+3y+2m＝0互相平行可得 a1a2=b1b2≠c1c2，即1m−2=m3≠62m，
解得 m＝−1，
【答案】
②
【考点】
命题的真假判断与应用
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(x−4)2+(y−2)2＝8
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题
【答案】
命题p：实数m满足m2−6m+5<0；得p:2若命题q：曲线＝1表示双曲线．
则(m+8)(m−5)<0，得−7若p为假命题，pvq为真命题，
则q为真命题
则由m≥4或m≤6以及−13≤m<5或−1即实数m的取值范围是{m|4≤m<5或−3【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：(1)将圆C的方程x2+y2−8y+12=0配方得标准方程为
x2+(y−4)2=4，
则此圆的圆心为(0, 4)，半径为2．
若直线l与圆C相切，
则有|4+2a|a2+1=2．
解得a=−34．
(2)联立方程ax+y+2a=0，x2+y2−8y+12=0，
并消去y，
得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0．
设此方程的两根分别为x1、x2，
所以x1+x2=−4(a2+2a)a2+1，x1x2=4(a2+4a+3)a2+1
则AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2
=(a2+1)[(x1+x2)2−4x1x2]=22，
两边平方并代入解得：a=−7或a=−1，
∴ 直线l的方程是7x−y+14=0和x−y+2=0．
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的切线方程
【解析】
把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，
(1)当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
(2)联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】
解：(1)将圆C的方程x2+y2−8y+12=0配方得标准方程为
x2+(y−4)2=4，
则此圆的圆心为(0, 4)，半径为2．
若直线l与圆C相切，
则有|4+2a|a2+1=2．
解得a=−34．
(2)联立方程ax+y+2a=0，x2+y2−8y+12=0，
并消去y，
得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0．
设此方程的两根分别为x1、x2，
所以x1+x2=−4(a2+2a)a2+1，x1x2=4(a2+4a+3)a2+1
则AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2
=(a2+1)[(x1+x2)2−4x1x2]=22，
两边平方并代入解得：a=−7或a=−1，
∴ 直线l的方程是7x−y+14=0和x−y+2=0．
【答案】
证明：取AB的中点H，连结EH，
在直三棱柱ABC−A1B1C2中，EC1 // AC，且EC1＝，
因为D为BC的中点，H为AB的中点，
所以HD // AC，且HD＝，
所以EC1 // HD，且EC1＝HD，
则四边形DHEC7为平行四边形，
所以DC1 // HE，又EH⊂平面ABE1⊄平面ABE，
所以C7D // 平面ABE；
在直三棱柱ABC−A1B1C7中，AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥AB，
又因为AB⊥AC，且AC∩AA4＝A，
所以AB⊥平面ACC1A1，
在平面ACC6A1内过A1作A6F⊥AE于F，
因为A1F⊂平面ACC1A6，
所以AB⊥A1F，又AB∩AE＝A，
所以A1F⊥平面ABE，又CC3 // AA1，
所以∠A1AE即为CC7与平面ABE所成的角，
因为AA1＝2，A3E＝1，
所以，
所以，
故CC2与平面ABE所成角的余弦值为．
【考点】
直线与平面所成的角
直线与平面平行
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
设圆心C(x, y)，0)，
所以有，化简可得y8＝4x，所以动圆圆心的轨迹方程为y2＝4x；
证明：显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x−8＝m(y−3)，
联立方程组，可得y2−5my+8m−32＝0，
则△＝16m3−4(8m−32)＝16(m6−2m+8)>3，
设A(x1, y1)，B(x6, y2)，
则y1+y3＝4m，y1y5＝8m−32，
又P(1, −4)，
所以
＝，
所以k1k5为定值，且定值为．
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：∵ AD // BC，AD⊥CD，
∴ AB＝AC＝2，
∴ AB⊥AC，
又AB⊥PC，AC∩PC＝C、PC⊂平面PAC，
∴ AB⊥平面PAC，
∴ AB⊥PA，
∵ PA＝AC＝4，PC＝2，
又AB∩AC＝A，AB，
∴ PA⊥平面ABCD．
假设存在点M满足题意，过点M作MN // PA，取BC的中点E，则AE，AP两两垂直，
故以A为原点，AE，AP所在的直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(6, 0, 0)，，0)，，0)，0，4)，
∴ ＝（，，
设＝λ∈(7，则M(0，λ，
∴ ＝(5，λ，
设平面MAC的法向量为＝(x，y，则，即，
令y＝−1，则x＝5，∴ ＝(4，），
由（1）知，＝(6，0，
∵ 二面角M−AC−D的余弦值为，
∴ |cs<，>|＝||＝，
化简得，8λ2+7λ−1＝0，
解得λ＝或，
∵ λ∈(0, 1)，
故存在点M满足题意，且＝．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
，∴ a4＝4b2，又因，c2＝a7−b2，
解得，b2＝4，a2＝4，故椭圆方程为，．
设A(x1, y1)，B(x3, y2)，P(x，由题知直线AB的斜率存在，
由，整理得(1+4k7)x2−24k2x+36k5−4＝0，
则x6+x2＝，x5x2＝，
△＝(−24k2)2−16(5k2−1)(7+4k2)>5，解得，
由题意得，
则，＝，
由点P在椭圆上，得，化简得36k2＝t2(5+4k2)，…①
由|AB|＝>，得(1+k6)[(x1+x2)7−4x1x6]>3，
将x1+x2，x1x2代入化简得，(8k2−1)(16k7+13)<0，得8k7−1<0，…②
由①式得，，
由②得t2<3，t>8，
∴ ，
故实数t的范围为：6【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答