2021学年11.3.1 平行直线与异面直线一课一练

           11.3.1 平行直线与异面直线

一、选择题

1．在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是(　　)

A．SB　           B．SC          C．BC           D．AB

【答案】C

【解析】如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．

]

2．已知∠BAC＝40°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　)

A．40°　　　　　　B．140°       C．40°或140°        D．大小无法确定

【答案】C

【解析】当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝40°；当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时，∠B′A′C′＝140°.

3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)

A．全等           B．相似       C．仅有一个角相等    D．全等或相似

【答案】D

【解析】由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．

4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结

论正确的是(　　)

A．直线GH和MN平行，GH和EF相交

B．直线GH和MN平行，MN和EF相交

C．直线GH和MN相交，MN和EF异面

D．直线GH和EF异面，MN和EF异面

【答案】B

【解析】易知GH∥MN，又∵E，F，M，N分别为所在棱的中点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，故选B.

5．（多选题）2．，，是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若与相交，与相交，则与也相交

C．若，分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面

D．若与相交，与异面，则与异面

【答案】AC

【解析】由平行线的传递性知A正确；若与相交，与相交，则与可能平行、相交或异面，B错误；易知C正确；若与相交，与异面，则与可能相交、平行或异面，故D错误.

故选：AC.

6．（多选题）．下列说法中正确的是(    )

A．某平面内的一条直线和这个平面外的直线是异面直线

B．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线必平行

C．若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直

D．某平面内一定存在一条直线和这个平面外的直线相互垂直

【答案】CD

【解析】A错误,平面外的直线指与平面平行的直线或与平面相交的直线，所以某平面内的一条直线和这个平面外的直线可以是异面直线,也可以是相交直线或平行直线;B错误,除平行外,还可以相交或异面;由异面直线所成角可知C正确.当直线与平面平行时，则一定存在直线与已知直线垂直，当直线与平面相交时，平面内的线垂直于斜线在平面内的射影，则垂直于斜线，所以某平面内一定存在一条直线和这个平面外的直线相互垂直，正确.故选:CD.

二、填空题

7．在长方体中，

直线与直线的位置关系是_______________；

【答案】异面.     

【解析】直线与直线不同在任何一个平面内，所以直线与直线的位置关系是异面.

8．如图，在三棱柱中，分别是上的点，且，则与的位置关系是______.

【答案】平行

【解析】在中，.又.，所以．

9．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．

【答案】AC＝BD; AC＝BD且AC⊥BD　

【解析】易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.

10．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段、、和在原正方体中相互异面的有__________对.

【答案】3

【解析】画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．

三、解答题

7．已知平面与平面的交线为直线，为平面内一条直线；为平面内一条直线，且直线互不重合.

（1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明；

（2）若，判断直线与直线的位置关系并证明.

【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析

【解析】（1），证明如下：

，，    且

又   

（2），证明如下：

，，   

又，   

10．如图，在正方体中，E，F，，分别为棱AD，AB，，的中点.求证：.

【答案】见解析

【解析】证明：如图,在正方体中,取的中点M,连接名BM,

由题意得

又∴四边形为平行四边形

∴

又,M分别为,的中点,则

而∴

∴四边形为平行四边形,∴

又∴

同理可得

∴与的两边分别平行,且方向都相反

∴.