第17讲双元恒成立与有解问题（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）教案

这是一份高中一年级 第一学期本册综合教案，共12页。
知识梳理与题型整理
在第7讲，我们已经学习了不等式的恒成立与有解问题，并提供了不同条件下的三种常用思路：分离参变量法，二次函数图像法，函数图像变换法.
在本讲中，我们将会遇到双元的恒成立与有解问题，但最常使用的依然是这三种思路.
主要考察一：不等式的恒成立与有解
双元不等式任意与存在命题的转化：
（1）“任意任意”型：
对任意的，任意的，使得，则；
（2）“任意存在”型：
①对任意的，存在，使得，则；
②对任意的，存在，使得，则；
（3）“存在存在”型：
存在，存在，使得，则.
【例1】（2019上海实验中学期末）★★★☆☆
已知两个函数，，其中为实数．
（1）若对任意的，，都有成立，求的取值范围；
（2）若对任意的，，，都有，求的取值范围；
（3）若对任意的，，总存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解答】解：①当，时，，
当时，，当时，，
②当，时，，
所以当时，，当时，，
（1）不等式可化为在，上恒成立，
只需，而，
当时，，
所以，故实数的取值范围为，；
（2）由题意可得，要满足题意只需即可，
即，所以，
故实数的取值范围为；
（3）由①②可得：当，时，函数的值域为，，
的值域为，
若对任意的，，总存在，使得成立，
只需，，即可，
即，解得，
故实数的取值范围为．
【例2】（2020交大附中期末）★★★☆☆
已知函数为常数，且，对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有 .
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】
【解答】
解：，.
，
从而有，，解得，，，2，3，4，5，
故选：．
【例3】（2019秋交大附中期末）★★★★★
已知函数，，且．
（1）若为整数，且，试确定一个满足条件的的值；
（2）设的反函数为，若，试确定的取值范围；
（3）若，此时的反函数为，令，若对一切实数，，，不等式恒成立，试确定实数的取值范围．
【答案】（1）或4；（2），，；（3），．
【解答】解：（1）由，，且，可得
，即，可得整数或4；
（2）由，，可得，即，
平方可得，即有，
可得（若，；若，，
，即为，
若，则单调递减，可得；
可得的取值范围为，，；
（3）若，此时的反函数为，
，
当时，，符合题意；
当时，在递减，可得，，
对一切实数，，，不等式恒成立，可得，
解得；
当时，在递增，可得，，
对一切实数，，，不等式恒成立，可得，
解得．
综上可得的范围是，．
【练习】（2019秋•徐汇区校级期末）★★★☆☆
定义在上的函数和二次函数满足：，，．
（1）求和的解析式；
（2）若对于，，，均有成立，求的取值范围.
【答案】（1），；（2），.
【解答】解：（1），
，
由以上两式联立可解得，；
，
二次函数的对称轴为，故设二次函数，
则，解得，
；
（2）由（1）知，，其在，上为增函数，故（1），
对任意，都成立，即对任意，都成立，
，解得，
故实数的的取值范围为，.
主要考察二：等式的恒成立与有解
双元等式任意与存在命题的转化
（1）“任意=存在”型：
对任意的，存在，使得，则的值域是值域的子集，即；
（2）“存在=存在”型：
若存在，存在，使得，则的值域和的值域有非空交集，即.
【例4】（2020秋•淄博期末）★★★☆☆
已知函数，．若对任意，，总存在，，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解答】解：函数，
因为，，所以，，
因为对任意，，总存在，，使得，
设函数的值域为，且，，
所以，
又，，
故在，上恒成立，
又在，上单调递增，
所以的最大值为（2），
解得，又，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【例5】（编者精选）★★★★☆
已知函数，，，，存在，，使得成立，求的取值范围.
【答案】
【解析】
存在，，使得成立，
则，的值域相交非空，
的值域为，的值域为，
则或，
解得.
【例6】（2018秋•南岸区校级月考）★★★★☆
设函数.
（1）若不等式在内恒成立，求的取值范围；
（2）判断是否存在大于1的实数，使得对任意，，都有，满足等式：，且满足该等式的常数的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【解答】
解：（1）不等式在内恒成立，
所以在内图象在图象的上方，
，．
（2）假设存在大于1的实数满足条件，
由，即，
，
把看作的函数，其在区间，上单调递减，
，时，，
，，
因为常数的取值唯一，所以，解得：，
所以存在大于1的实数，且．
【练习】（2019华二高三上月考）★★★★☆
设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 ．
【答案】
【解答】解：，
得，单调递减，所以当，时，
所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为．
故答案为：.
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日期：2021/7/30 10:03:32；用户：昂立-高数4；邮箱：nlyeduxkc19@xyh.cm；学号：38080839
1、（2020江苏六校联考）★★★☆☆
已知，，对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，，可得的值域为，的值域是，又对任意的，存在，使得，则的值域包含的值域，即，则，解得，故.