高中沪教版2.3其他不等式的解法教学设计

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知识梳理与应用
主要考察一：不等式的性质
（1）传递性：；
（2）加法性质：.
（3）乘法性质：，
.
基础1：判断不等式是否成立（比较大小）
【例1】（2020·上海高三一模）★☆☆☆☆
设，，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
对于A选项，，所以，，所以，，A选项错误；
对于B选项，，则，由不等式的基本性质可得，B选项正确；
对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C选项错误；
对于D选项，若，由A选项可知，，由不等式的基本性质可得，D选项错误.
故选：D.
【例2】（2016秋•杨浦区校级期中）★★☆☆☆
已知，，且，记，，，则按、、从小到大的顺序排列是 ．
【答案】
【解答】解：，，且，
不妨令，，，，
，，
故答案为：．
基础2：已知两个数（或其组合）的范围，求它们的表达式的范围；
【例3】（2017·上海上外附中高一期中）★★☆☆☆
若，，则的取值范围是______________.
【答案】
【详解】
，则，且，，，
由不等式的性质可得，所以，，，，
所以，，即，因此，的取值范围是.
主要考察二：解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式
1、一元二次不等式的求解
对于，一元二次不等式（或），其对应的二次函数开口向上，其对应的一元二次方程为，我们可以得到以下结论：
而对于，一元二次不等式（或），只要在原不等式两边同乘以，并改变不等号的方向，就可以转化为的情况.
2、分式不等式的求解
分式不等式可以通过移项通分后转化为以下形式，继而转化为相应的等价形式：
在解分式不等式的时候，一定要注意分母不为.
3、含绝对值不等式
（1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值；
（2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值；
（3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值.
基础：解不含参数的上述不等式
【例4】（编者精选）★☆☆☆☆
解下列不等式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
进阶类型
进阶1：解高次不等式
解法：对于可分解因式的高次不等式，可使用序轴标根法；
【例5】（2016·上海华师大二附中高一月考）★★☆☆☆
关于的不等式的解集为_______________.
【答案】
【详解】
原不等式等价于，如下图所示：
由高次不等式“奇穿偶不穿”的原则可知，原不等式的解集为.
【练习】（2020·上海曹杨二中高一期中）★★☆☆☆
不等式的解集为________.
【答案】
【详解】
如下图所示：
根据图象可知：当或或时，，
所以不等式的解集为：，
故答案为：.
进阶2：无理不等式
解法：往往通过平方法、换元法等转化为有理方程求解.（注意先求未知数的限制范围.）
【例6】（2015·上海中学高一期中）★★☆☆☆
解不等式:.
【答案】 ;
【详解】
解：因为，
所以 ，即 .
解得：.
所以不等式的解集为.
【练习】（2020·上海中学高一期中）★★☆☆☆
解下列不等式：.
【答案】或
【详解】
因为，所以，所以或，
所以不等式的解集为：或；
进阶3：解含参不等式
解法：分类讨论，当参数取不同值时，求不等式的解集
【例7】（2020·上海高一专题练习）★★★☆☆
解关于的不等式．
【详解】
若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1．
若a<0，原不等式等价于，解得或x>1．
若a>0，原不等式等价于．
①当a＝1时，，无解；
②当a>1时，，解，得；
③当0综上所述，当a<0时，解集为或；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，解集为∅；
当a>1时，解集为．
【练习】（2020·上海高一专题练习）★★☆☆☆
设，解关于的不等式．
【详解】
解：关于的不等式即，即．不等式中，各因式的根分别为、、．
①当时，有，不等式即，
解得，或，故不等式的解集为，或．
②当时，不等式即，即，
，且，故不等式的解集为，且．
③当时，有，不等式即，解得，或，
故不等式的解集为，或．
④当时，不等式即，即，
，且，故不等式的解集为，且．
⑤当时，有，不等式即，即，
解得，或，故不等式的解集为，或．
⑥当时，不等式即，即，解得，故不等式的解集为．
⑦当时，不等式即，即，解得，或，
故不等式的解集为，或．综上可得，
当 或时，解集为，或；
当或时，解集为，且；
当时，解集为，或；
当时，解集为；
当时，解集为，或．
综合类型
综合1：已知某元素属于或不属于不等式的解集，求参数
【例8】（2020·上海高一专题练习）★★★☆☆
已知，不等式的解集为，且，则的取值范围为( )
A．B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
【答案】D
【详解】
∵，∴或－2＋a＝0，
解得或.
故选：D.
【练习】（2020·上海高一专题练习）★★★☆☆
（2020·上海市实验学校高一期中）已知关于的不等式的解集为，若且，则实数的取值范围为________
【答案】
【详解】
解：且，
且，
解得或且，
综上，或，
实数的取值范围为．
故答案为：．
综合2：已知二次不等式的解集所满足的条件，求参数
【例9】（2020·上海奉贤区致远高级中学高一月考）★★★☆☆
已知集合，．
（1）若，且，求实数及的值；
（2）在（1）的条件下，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围；
（3）若，且关于的不等式；的解集为，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）.
【详解】
（1）因为，即，解得或，
所以集合或，
因为，，所以集合，
因为集合，
所以和是方程的解，
则，解得，.
（2）因为，，
所以，即，解得，
故不等式组没有实数解即没有实数解，
故，实数的取值范围为.
（3）因为，所以和是方程的解，
则，解得，，
即，
因为的解集为，
所以若，则，解得，
若，即，解集为，
综上所述，实数的取值范围为.
【练习】（2020春•上师大附中校级期中）★★★☆☆
不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.
【答案】，．
【解答】解：设函数，由题意知关于的不等式的解集为，
所以对任意的属于，都有；
当时，函数是关于的抛物线，抛物线必开口向下，且与轴无交点；
应满足，
解得；
当时，，满足；
综上知，的取值范围是，．
综合3：已知第一个不等式的解集，求第二个不等式的解集
【例10】（2018·上海市晋元高级中学高一月考）★★★☆☆
若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
不等式的解集为，则与是方程的两根，且，
由韦达定理知，，
即，，
则不等式可化简为，
整理得： ，即，由得或，故选：C.
【例11】（2020·上海高一专题练习）★★★★☆
若关于x的不等式的解集为，关于x的不等式的解集为________．
【答案】
【详解】
解：关于的不等式的解集为，用替换
不等式可以化为：可得
即或
可得或
故答案为：
【练习】（2020·上海高一课时练习）★★★☆☆
设关于的不等式的解集为或，其中．求的解集．
【答案】
【详解】
因为的解集为，
所以，，，
将两边同除以，
即，，
通过因式分解可得，解得，
即不等式的解集为，故答案为.
1、（2015·上海中学高一期中）★★★☆☆
不等式的解集为_________.
【答案】.
【详解】
解：等价于
当时，不等式不成立，
当时，不等式等价于，解得或且，
故不等式的解集为.
2、（2020·上海高一课时练习）★★★☆☆
不等式的解集是{或}，则的解集是________.
【答案】
【详解】
解：不等式的解集为或，
，是一元二次方程的两个实数根，且；
，，
，，
化为，
整理得，
即，
解得；
不等式的解集是．
判别式
的图像
的根
两不等实根
两相等实根
无实根
的解集
的解集
的解集
的解集
分式不等式
等价形式