2020年北京四中高考数学统练试卷（4月份）

这是一份2020年北京四中高考数学统练试卷（4月份），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020年北京四中高考数学统练试卷（4月份）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）求tan570°的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．（4分）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（　　）
A．21 B．42 C．63 D．84
3．（4分）下列选项中，说法正确的是（　　）
A．“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣x＞0”
B．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角
C．若 am2≤bm2，则a≤b
D．“x∈（A∪B）”是“x∈（A∩B）”的必要条件
4．（4分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，则α+β的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（　　）
A．8 B． C．4 D．
6．（4分）函数y＝tan（x﹣）的部分图象如图所示，则（+）＝（　　）

A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6
7．（4分）《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（　　）

A． B． C． D．
8．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝（　　）
A．1 B． C．2 D．3
9．（4分）△ABC中，三边的长为a，b，c，若函数f（x）＝有极值点，则∠B的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，] C．[，π] D．（，π）
10．（4分）单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第1段所在直线必须是异面直线（i∈N*）．设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（　　）
A．1 B． C． D．0
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x﹣y的值为　 　．

12．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为　 　（用数字作答）．
13．（5分）直线xsinα+y+2＝0的倾斜角的取值范围是　 　．
14．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）＝　 　．
三.解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（14分）已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B﹣AEF与四棱锥A﹣FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
17．（14分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数f（x）的周期为π；
②x＝是函数f（x）的对称轴；
③f（）＝0且在区间（，）上单调．
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．
18．（14分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如表：
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
元件A个数
9
15
12
18
12
18
9
9
24
12

日期
11日
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
20日
元件A个数
12
24
15
15
15
12
15
15
15
24
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a，b∈N*，且b﹣a＝6，求P（a≤X≤b）最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
19．（14分）已知点P（1，2）到抛物线C：y2＝2px（p＞0）准线的距离为2．
（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点．求|MF|•|NF|的值．
20．（15分）设函数f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，g（x）＝﹣，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
21．（14分）如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中aij（i，j＝1，2，3，…，）n表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{1，﹣1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积．令．
a11
a12
…
a1n
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
an1
an2
…
ann
（Ⅰ）请写出一个A∈S（4，4），使得l（A）＝0；
（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．

2020年北京四中高考数学统练试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）求tan570°的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求值．
【解答】解：tan570°＝tan（360°+180°+30°）＝tan30°＝．
故选：B．
2．（4分）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（　　）
A．21 B．42 C．63 D．84
【分析】由已知，a1＝3，a1+a3+a5＝21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．
【解答】解：∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，
∴，
∴q4+q2+1＝7，
∴q4+q2﹣6＝0，
∴q2＝2，
∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．
故选：B．
3．（4分）下列选项中，说法正确的是（　　）
A．“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣x＞0”
B．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角
C．若 am2≤bm2，则a≤b
D．“x∈（A∪B）”是“x∈（A∩B）”的必要条件
【分析】直接利用特称命题和全称命题的应用，向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，不等式的性质的应用，四个条件的应用判断出结果．
【解答】解：对于选项A：“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x02﹣x＞0”故错误．
对于选项B：若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角或180°，故错误．
对于选项C：若 am2≤bm2，所以m＝0，则a≤b不成立，故错误．
对于选项D：x∈（A∩B）⇒x∈（A∪B），所以“x∈（A∪B）”是“x∈（A∩B）”的必要条件，故正确．
故选：D．
4．（4分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，则α+β的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先利用题设条件对α+β进行合理变形，再利用基本不等式求出最值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，
∴α+β＝a+b++＝1+＝3+≥3+2＝5，
当且仅当，也即当a＝b＝时，α+β取最小值5．
故选：C．
5．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（　　）
A．8 B． C．4 D．
【分析】由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，利用体积公式可得结论．
【解答】解：由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，则
该几何体的体积是＝
故选：D．
6．（4分）函数y＝tan（x﹣）的部分图象如图所示，则（+）＝（　　）

A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6
【分析】先利用正切函数求出A，B两点的坐标，进而求出 与 的坐标，再代入平面向量数量积的运算公式即可求解．
【解答】解：因为y＝tan（ x﹣）＝0⇒x﹣＝kπ⇒x＝4k+2，由图得x＝2；故A（2，0）
由y＝tan（ x）＝1⇒x﹣＝k⇒x＝4k+3，由图得x＝3，故B（3，1）
所以 ＝（5，1），＝（1，1）．
∴（ ） ＝5×1+1×1＝6．
故选：A．
7．（4分）《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】阴数有2，4，6，8，10，阳数有1，3，5，7，9，从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n＝＝25，利用列举法求出其差的绝对值为5包含的基本事件个数，由此能求出其差的绝对值为5的概率．
【解答】解：阴数有2，4，6，8，10，阳数有1，3，5，7，9，
从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n＝＝25，
其差的绝对值为5包含的基本事件有：
（2，7），（4，9），（6，1），（8，3），（10，5），共5个，
∴其差的绝对值为5的概率为P＝．
故选：A．
8．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．
【解答】解：∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x
又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x＝﹣，
故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，双曲线的离心率为2，所以，
∴则，
A，B两点的纵坐标分别是y＝±＝，
又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线
∴，得p＝2．
故选：C．
9．（4分）△ABC中，三边的长为a，b，c，若函数f（x）＝有极值点，则∠B的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，] C．[，π] D．（，π）
【分析】先利用函数有极值点，则导数有零点，得到a，b，c满足的不等关系，然后结合余弦定理得到cosB的范围，则B的范围可求．
【解答】解：由题意得f′（x）＝x2+2bx+（a2+c2﹣ac）有变号零点．
故△＝4b2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0．
即a2+c2﹣b2＜ac，∴＝．
又因为y＝cosx在（0，π）上递减，
所以B．
故选：D．
10．（4分）单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第1段所在直线必须是异面直线（i∈N*）．设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（　　）
A．1 B． C． D．0
【分析】根据题意以及异面直线的定义，找出两只蚂蚁的路线，由周期性求出最后点，求出距离．
【解答】解：
由题意白蚂蚁爬行路线可知，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理黑蚂蚁也是过6段后又回到起点．
而2020除以6等于336余4，
所以黑蚂蚁爬完2020段后回到C点，
同理白蚂蚁爬完2020段后到回到D1点；
所以它们此时的距离为：CD1＝，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x﹣y的值为　﹣3　．

【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲班5名同学成绩的平均数为×（72+77+80+x+86+90）＝81，解得x＝0；
又因为乙班5名同学的中位数为73，则y＝3；
x﹣y＝0﹣3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为　﹣40　（用数字作答）．
【分析】在的展开式通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得x的系数．
【解答】解：的二项展开式的通项公式为Tr+1＝•25﹣r•x10﹣2r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•25﹣r••x10﹣3r，
令10﹣3r＝1，解得r＝3，故x的系数为﹣22•＝﹣40，
故答案为：﹣40．
13．（5分）直线xsinα+y+2＝0的倾斜角的取值范围是　[0，]∪[，π）　．
【分析】根据题意，求出直线xsinα+y+2＝0的斜率k，分析可得﹣1≤k≤1，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，直线xsinα+y+2＝0变形为y＝﹣sinαx﹣2，
其斜率k＝﹣sinα，则有﹣1≤k≤1，
则其倾斜角的范围为：[0，]∪[，π）；
故答案为：[0，]∪[，π）
14．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　﹣4＜m＜2　．
【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．
【解答】解：∵，∴x+2y＝（x+2y）＝4++≥4+2＝8
∵x+2y＞m2+2m恒成立，
∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2
故答案为：﹣4＜m＜2．
15．（5分）已知函数f（x）＝Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）＝　4030　．
【分析】由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）＝cos（2ωx+2φ）+1+，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝Acos2（ωx+φ）+1＝A•+1
＝cos（2ωx+2φ）+1+ （A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，
∴+1+＝3，∴A＝2．
根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即＝4，∴ω＝．
再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得 cos（2φ）+1+1＝2，
∴cos2φ＝0，2φ＝，∴φ＝．
故函数的解析式为 f（x）＝cos（x+）+2＝﹣sinx+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）
＝﹣[sin+sin（×2）+sin（×3）+…+sin（×2014）+sin（×2015）]+2×2015
＝0+4030
＝4030，
故答案为：4030．
三.解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（14分）已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B﹣AEF与四棱锥A﹣FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性质定理直接得证；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式直接得解；
（Ⅲ）直接写出结论即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊥BD，
∴AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）依题意，AE，BE，EF两两互相垂直，故以E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

在Rt△ABC中，不妨设AB＝2，则AC＝4，AD＝CD＝2，，且△ABD为正三角形，E为BD中点，则BE＝DE＝1，，
∴，，
则，，
设平面ACD的一个法向量为，则，可取，
设平面BCD的一个法向量为，
则，
又二面角A﹣DC﹣B为锐角，故二面角A﹣DC﹣B的余弦值为；
（Ⅲ）三棱锥B﹣AEF与四棱锥A﹣FEDC的体积的比为．
17．（14分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数f（x）的周期为π；
②x＝是函数f（x）的对称轴；
③f（）＝0且在区间（，）上单调．
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．
【分析】（Ⅰ）由题意知应选择①②，由①求出ω的值，由②结合题意求出φ的值，写出函数的解析式；
（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知选择①②；
由函数f（x）的周期为π，得ω＝＝2；
又x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×+φ＝+kπ，k∈Z；
解得φ＝+kπ，k∈Z；
又|φ|＜，所以φ＝；
所以f（x）＝sin（2x+）．
（Ⅱ）x∈[0，]时，2x+∈[，]，
所以sin（2x+）∈[，1]，
所以函数f（x）在x∈[0，]内的值域是[，1]．
18．（14分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如表：
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
元件A个数
9
15
12
18
12
18
9
9
24
12

日期
11日
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
20日
元件A个数
12
24
15
15
15
12
15
15
15
24
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a，b∈N*，且b﹣a＝6，求P（a≤X≤b）最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值为 9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．
（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的只可能然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．
（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人．
【解答】（共13分）
解：（Ⅰ）X的取值为：9，12，15，18，24；
P（X＝9）＝，P（X＝12）＝，P（X＝15）＝，P（X＝18）＝，P（X＝24）＝，
X的分布列为：
X
9
12
15
18
24
P





故X的数学期望…（5分）
（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，a，b的只可能为：或或
经计算，，，
所以P（a≤X≤b）的最大值为…（10分）
（Ⅲ）至少增加2人…（13分）
19．（14分）已知点P（1，2）到抛物线C：y2＝2px（p＞0）准线的距离为2．
（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点．求|MF|•|NF|的值．
【分析】（Ⅰ）通过点经过抛物线，代入方程，求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点，，由已知得Q（﹣1，﹣2），设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2（k≠0）．
由得ky2﹣4y+4k﹣8＝0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．
【解答】（共13分）
解：（Ⅰ）由已知得，所以p＝2．
所以抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F的坐标为（1，0）…（4分）
（ II）设点，，由已知得Q（﹣1，﹣2），
由题意直线AB斜率存在且不为0．
设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2（k≠0）．
由得ky2﹣4y+4k﹣8＝0，
则．
因为点A，B在抛物线C上，所以，，，．
因为PF⊥x轴，
所以＝＝．
所以|MF|•|NF|的值为2…（13分）

20．（15分）设函数f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，g（x）＝﹣，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；
（Ⅲ）根据条件可知，当f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立时，必有a＞0，然后分和两种情况求出a的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）＝2ax﹣＝（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；
当a＞0时，由f′（x）＝0，得x＝＝，
∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；
综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，
即证，也就是证，
令h（x）＝，则h′（x）＝，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min＝h（1）＝e，
即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）由 （Ⅱ） 知，当 x＞1 时，g（x）＞0，
当a≤0，x＞1时，f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx＜0，
故当f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立时，必有a＞0，
当 时 ，
由 （Ⅰ）有 ，而 ，
∴此时 f（x）＞g（x） 在区间 （1，+∞） 内不恒成立；
当 时，令 h（x）＝f（x）﹣g（x）（x≥1），
当x＞1 时
，
因此 h（x） 在区间（1，+∞）上单调递增，
又∵h（1）＝0，∴当 x＞1 时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＞0，
即 f（x）＞g（x） 恒成立，
综上 ．
21．（14分）如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中aij（i，j＝1，2，3，…，）n表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{1，﹣1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积．令．
a11
a12
…
a1n
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
an1
an2
…
ann
（Ⅰ）请写出一个A∈S（4，4），使得l（A）＝0；
（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．
【分析】（Ⅰ）可以取第一行都为﹣1，其余的都取1，即满足题意；
（Ⅱ）不存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出l（A）的表达式，及从A0如何得到A1，…依此类推即可得到Ak．
【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．
﹣1
﹣1
﹣1
﹣1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（Ⅱ）解：不存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0．
证明如下：
假设存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0．
因为ri（A）∈{1，﹣1}，cj（A）∈{1，﹣1}，（i，j＝1，2，3，…，9），
所以r1（A），…，r9（A）；c1（A），…，c9（A），这18个数中有9个1，9个﹣1．
令M＝r1（A）•…r9（A）c1（A）…c9（A）．
一方面，由于这18个数中有9个1，9个﹣1，从而M＝﹣1． ①
另一方面，r1（A）•…r9（A）表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；c1（A）•…c9（A）也表示m，从而M＝m2＝1． ②
①、②相矛盾，从而不存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0．
（Ⅲ）解：记这n2个实数之积为P．
一方面，从“行”的角度看，有P＝r1（A）•r2（A）…rn（A）；
另一方面，从“列”的角度看，有P＝c1（A）c2（A）…cn（A）．
从而有r1（A）•r2（A）…rn（A）＝c1（A）c2（A）…cn（A）． ③
注意到ri（A）∈{1，﹣1}，cj（A）∈{1，﹣1}，（i，j＝1，2，3，…，n），
下面考虑r1（A），…，rn（A）；c1（A），…，cn（A），这些数中﹣1的个数：
由③知，上述2n个实数中，﹣1的个数一定为偶数，该偶数记为2k（0≤k≤n）；则1的个数为2n﹣2k，
所以l（A）＝（﹣1）×2k+1×（2n﹣2k）＝2（n﹣2k）．
对数表A0：aij＝1，（i，j＝1，2，3，…，n），显然l（A0）＝2n．
将数表A0中的a11由1变为﹣1，得到数表A1，显然l（A1）＝2n﹣4．
将数表A1中的a22由1变为﹣1，得到数表A2，显然l（A2）＝2n﹣8．
依此类推，将数表Ak﹣1中的akk由1变为﹣1，得到数表Ak．
即数表Ak满足：a11＝a22＝…＝akk＝﹣1（1≤k≤n），其余aij＝1．
所以 r1（A）＝r2（A）＝…＝rk（A）＝﹣1，c1（A）＝c2（A）＝…＝ck（A）＝﹣1．
所以l（Ak）＝2[（﹣1）×k+（n﹣k）]＝2n﹣4k．
由k的任意性知，l（A）的取值集合为{2（n﹣2k）|k＝0，1，2，…n}．