人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式达标测试

8.2.3 倍角公式

【基础练习】

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

解：∵角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，

∴，

∴．

则.

故选D．

2．函数是（    ）

A．偶函数且最小正周期为 B．奇函数且最小正周期为

C．偶函数且最小正周期为 D．奇函数且最小正周期为

【答案】C

【解析】

解：∵，

∴，

∴函数是偶函数且最小正周期，

故选：C．

3．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

.

故选：B

4．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由，得，则.

故选：A.

5．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

.

故选：B

二、填空题

6．已知，则的值为_____.

【答案】

【解析】

解：由，得，即.

所以

故答案为：.

7．已知和是方程的两个根，则=____________

【答案】

【解析】

由题得.

所以.

所以.

故答案为：.

8．已知，则__________．

【答案】

【解析】

依题意，.

三、解答题

9．已知函数，求的值.

【答案】2

【解析】

解:方法一：.

方法二：因为，

所以.

10．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.

【答案】.

【解析】

因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°﹣θ，∴∠OCP＝120°．

在△POC中，由正弦定理得

，∴，所以CPsinθ．

又，∴OCsin（60°﹣θ）．

因此△POC的面积为

S（θ）CP•OCsin120°•sinθ•sin（60°﹣θ）

sinθsin（60°﹣θ）sinθ（cosθsinθ）

（sinθcosθsin2θ）

（sin2θcos2θ）

[cos（2θ﹣60°）]，θ∈（0°，60°）．

所以当θ＝30°时，S（θ）取得最大值为．

【提升练习】

一、单选题

1．若 ，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

.

分子分母同时除以，即得：.

故选D.

2．下列四个等式：

①；      ②；

③；            ④．

其中正确的等式个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

①因为，

所以，

所以；故正确；

②，故错误；

③，故错误；

④，

，故正确.

故选：B

3．函数在上单调递增，则的范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题得，

所以函数的最小正周期为,

因为函数在上单调递增，

所以，又w＞0，

所以.

故选B

4．已知为第三象限角，且，，则m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，则，

解得，为第三象限角，则，故.

故选：C.

5．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意可得：，且，

所以，

所以，

故选：C

二、填空题

6．设为锐角，若，则的值为______.

【答案】

【解析】

，，所以

.

7． 的值__________.

【答案】1

【解析】

解：

.

故答案为:1.

8．（山西省太原十二中2018届高三上学期1月月考数学（理））《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中由一道著名的“引葭赴氨”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长处水面的部分为尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设，则__________．

【答案】5

【解析】

设，则

（负根舍去）

即答案为5

三、解答题

9．已知函数．

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）画出函数在上的图像．

【答案】（1）；；（2）图像见解析

【解析】

（1）

，

所以函数的最小正周期为，

当时，函数的最大值为.

（2）列表

故函数在上的图像如下图所示：

10．已知函数

(1)写出函数的最小正周期；

(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）

，

故的最小正周期为.

（2）当时，，

故，又，

故，

所以 ，故.