专题17 概率统计（解答题）-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版）

这是一份专题17 概率统计（解答题）-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版），共39页。试卷主要包含了概率的基本性质，求复杂事件的概率通常有两种方法等内容，欢迎下载使用。
专题17 概率统计（解答题）

1．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）
【答案】（1）75%；60%；（2）能．
【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为，
乙机床生产的产品中的一级品的频率为．
（2），
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【解析】（1）甲连胜四场的概率为．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为．
所以需要进行第五场比赛的概率为．
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．
因此丙最终获胜的概率为．
2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数，．
【解析】（1）由已知得样本平均数，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．
（2）样本的相关系数
．
（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．
理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
3．【2020年高考全国III卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
（200，400]
（400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次≤400
人次>400
空气质量好


空气质量不好


附：K2=，
P（K2≥k）
0.050 0.010 0.001

k
3.841 6.635 10.828
．
【解析】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
．
（3）根据所给数据，可得列联表：

人次≤400
人次>400
空气质量好
33
37
空气质量不好
22
8
根据列联表得．
由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．
【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．
【答案】（1）0.5；（2）0.1．
【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
6．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
【答案】（1）分布列见解析，；（2）．
【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．
【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．
所以，随机变量的分布列为

0
1
2
3





随机变量的数学期望．
（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，
则，且．
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由（1）知

．

1．从近几年的高考试题来看，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、分布列是高考的热点，考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力．
2．独立性检验、回归分析高考对此部分内容考查有加强趋势，主要是以考查独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想．
3．频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差，离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用．
4．频率分布直方图是用样本估计总体的一种重要方法，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度：
（1）已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．
（2）已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．
（3）与概率有关的综合问题，可先求出频率，再利用古典概型等知识求解．
5．求回归直线方程的一般步骤
（1）作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系．
（2）当两变量具有线性相关关系时，求回归系数，写出回归直线方程．
（3）根据方程进行估计．
6．独立性检验的一般步骤
（1）根据样本数据列出列联表；
（2）计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0：






















（3）如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”．
7．概率的基本性质
（1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0~1之间，从而任何事件的概率都在0~1之间，即．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．
（2）当事件A与事件B互斥时，，该公式为概率的加法公式．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，．
（3）若事件A与事件B互为对立事件，则为必然事件，，再由加法公式得．
8．求复杂事件的概率通常有两种方法
（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．
9．求离散型随机变量X的分布列的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列．
注意：①与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．
③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
④与独立事件有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
⑤求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求，即可．

1．高二下学期期末考试之后，年级随机选取8个同学，调査得到每位同学的每日数学学习时间分钟与期末数学考试成绩(分)的数据，并求得.
（1）求学生的数学考试成绩与学生每日数学学习时间的线性回归方程；
（2）小明每日数学学习时间如果是65分钟，试着预测他这次考试的数学成绩.
附：
【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一）
【答案】（1）；（2）分.
【分析】（1）利用已知的数据和公式先求解，再利用求出，从而可得回归方程；
（2）把代入回归方程中可求得结果
【解析】（1）由已知可求得，
所以，
页，则线性回归方程为.
（2）当时，带入回归方程得，
所以预测他这次考试数学成绩为分.
2．甲､乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击命中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：
甲




乙




（1）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率.
（2）如果，从甲､乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望.
【试题来源】重庆市清华中学2022届高三上学期7月月考
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
（2）利用古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【解析】（1）由已知可得从甲的局的比赛中，随机选取局的情况有种，
得分恰好相等的有种，所以这局的得分恰好相等的概率为.
（2）当时，的可能取值有，，，，
所以，，，，
所以的分布列为










.
3．随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多，商家销售商品，既满足顾各需要，又为商家创造效益，这是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到如下的统计数据：
售价x（元）
3
4
5
6
7
日销量y（件）
69
57
54
40
30
（1）试判断变量x，y是否具有线性相关关系．若有，则求y关于x的回归直线方程；
（2）试问商家将售价（整数）定为多少元时，可使其获得最大日利润？
参考公式，相关系数，对于一细教据．
其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
参考敬据：．
【试题来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二）
【答案】（1）x，y具有很好的线性相关关系；y关于x的回归直线方程是；（2）售价为每件6元．
【解析】（1）由表易得，
，
，
所以，，
由于r的绝对值接近于1，故x，y具有很好的线性相关关系．
因为，所以，
y关于x的回归直线方程是．
（2）设商家的日利润为z元，则．
该二次函数的对称轴方程为，
因为，所以当售价为每件6元时，商家可获得最大利润．
4．中国探月工程自2004年批准立项以来，聚焦“自主创新､重点跨越､支撑发展､引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.

（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关？

关注
没关注
合计
男生



女生



合计



（2）若将频率视为概率，现从该中学高三女生中随机抽取2人.记被抽取的2名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
【试题来源】陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模（理）
【答案】（1）列联表见解析，有的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”；
（2）分布列见解析，期望为
【解析】（1）由题意，根据等高条形图中的数据，
可得女性人中，其中人关注，人不关注；
男性人中，其中人关注，人不关注；所以可得如下的的列联表：

关注
没关注
合计
男生
30
30
60
女生
12
28
40
合计
42
58
100
所以，
所以有的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”.
（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，
因为随机变量，所以随机变量的分布列为

0
1
2




所以.
5．据某市地产数据研究显示，2019年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的控制.

（1）地产数据研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程；
（2）若政府不调控，依此相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价.
参考数据及公式：，，，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【试题来源】江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020-2021学年高三上学期10月调研测试
【答案】（1）；（2）预测12月份该市新建住宅的销售均价为1.52万元/平方米.
【解析】（1）由题意，得出下表；
月份
3
4
5
6
7
均价
0.95
0.98
1.11
1.12
1.20
，，
，
所以，.
所以从3月份至7月份关于的线性回归方程为.
（2）将代入回归方程得，
所以预测12月份该市新建住宅的销售均价为1.52万元/平方米.
6．“碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告.碳达峰就是二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林､节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.2020年9月，中国向世界宣布了2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标.某城市计划通过绿色能源(光伏､风电､核能)替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和.该城市某研究机构统计了若干汽车5年内所行驶的里程数(万千米)的频率分布直方图，如图.

（1）求a的值及汽车5年内所行驶里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收.根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”？
（3）该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素，对300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占.根据以上统计情况，补全下面列联表，并回答是否有的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

考虑大气污染
没考虑大气污染
合计
新能源汽车车主



燃油汽车车主



合计



附：，其中.

0.10
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
5.024
6.635
7.879
10.828
【试题来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》
【答案】（1），平均值(万千米)；（2）棵；（3）列联表答案见解析，没有的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.
【解析】（1）由，解得.
设为汽车5年内所行驶里程的平均值，则
(万千米).
（2）由（1）可知，一辆汽车1年内所行驶里程的平均值为(万千米).
因为一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收，
所以每一辆汽车平均需要(棵)树才能够达到“碳中和”.
（3）补全的列联表如下：

考虑大气污染
没考虑大气污染
合计
新能源汽车车主
10
40
50
燃油汽车车主
25
225
250
合计
35
265
300
所以.
因为，所以没有的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.
7．线上直播带货弥补了人们因疫情足不出户的消费需求．某直播平台抽取了该平台秀场类200个直播间，进行了一次直播销量抽样调查，其中播出时间固定的有120个，播出时间不固定的有80个．这200场直播单位时间（分钟）销量的频率分布直方图如图所示，假设该平台规定单位时间（分钟）销量在1000份及以上的为“高销量直播间”．据统计，在这200场直播中，播出时间固定且为“高销量直播间”的频率为0.35．

（1）补全列联表，并根据表中数据判断是否有99.5%的把握认为单位时间（分钟）销量与播出时间是否固定有关系；

播出时间固定
播出时间不固定
总计
高销量直播间



非高销量直播间



总计
120
80
200
（2）将上述调查所得的频率视为概率，从该平台秀场类直播中随机抽取3场，记“高销量直播间”的场数为X，求X的分布列和期望；
（3）仍将上述调查所得的频率视为概率，规定“高销量直播间”奖励5颗星，“非高销量直播间”奖励3颗星．仍从该平台秀场类直播中随机抽取3场，记他们所获星数为Y，求Y的期望．
附：．

0.100
0.050
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（理）
【答案】（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，；（3）12.
【分析】（1）由题意可求得播出时间固定且为“高销量直播间”的个数，由频率分布直方图可得“高销量直播间”的个数，从而可补全了列联表，进行计算，再由临界值表得出结论；
（2）由题意可得该平台秀场类直播中“高销量直播间”的概率为，且，从而由二项分布的概率公式可求得分布列和期望；
（3）由于，从而可求得结果
【解析】（1）播出时间固定且为“高销量直播间”的有，
由频率分布直方图，“高销量直播间”的频率为
，
所以“高销量直播间”有个，列联表为

播出时间固定
播出时间不固定
总计
高销量直播间
70
30
100
非高销量直播间
50
50
100
总计
120
80
200
所以，
所以有99.5%的把握认为单位时间（分钟）销量与播出时间固定有关．
（2）由（1）可知，该平台秀场类直播中“高销量直播间”的概率为，
则， ，，
，，所以，X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以，或．
（3）由题有，
由期望的性质可知．
8．已知某机床的控制芯片由个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为，且每个单元正常工作与否相互独立.
（1）若，求至少有3个单元正常工作的概率；
（2）若，并且个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其概率记为.
①求的值；
②若，求的值.
【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一）
【答案】（1）；（2）①；②.
【分析】（1）至少有3个单元正常工作的概率,即求3个单元和4个单元正常工作的概率之和；
（2） ①的值，即时，至少有4个单元正常工作的概率，根据二项分布的概率计算公式求解即可；
②对分奇偶讨论，结合二项分布的概率计算公式及组合数的性质即可求解.
【解析】（1）设至少有3个单元正常工作的概率为，则.
（2）①时，至少有4个单元正常工作芯片就能控制机床，
所以，由，

而，所以.
②若，则，
页，所以，符合题意.
若，则，
而对立事件，
且，则，
所以，故：.
9．某印刷厂，印刷任务是由印张数来衡量（印张数单位：千张），印刷任务千张的任务，由甲、乙两种印刷机器来完成，当任务的印张数不大于千张时，由甲种印刷机器来完成，当任务的印张数大于千张时，由乙种印刷机器来完成，资料显示个印刷任务的印张数的频率分布直方图如图，现有个印刷任务，印张数还未知，只知道印张数在千张的任务，以印张数中的频率作为概率．

（1）求这个印刷任务中恰有个是由甲种印刷机器来完成概率；
（2）求这个印刷任务中，由乙种印刷机器来完成的多于由甲种印刷机器来完成的概率；
（3）用，分别表示这个印刷任务中由甲、乙两个印刷机器来完成的个数，记，求随机变量的分布列与数学期望．
【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（理）调研试题
【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析；期望为．
【分析】（1）先由频率分布直方图求出一个印刷任务由甲种印刷机器和由乙种印刷机器来完成的概率，再由独立重复试验概率公式即可求解；
（2）分别计算乙完成个和乙完成个甲完成个的概率，再求概率之和即可求解；
（3）的值可能为， ， 分别求出相应的概率即可得分布列和数学期望.
【解析】（1）由直方图知，一个印刷任务由甲种印刷机器来完成的概率为
，
则由乙种印刷机器来完成的概率为，
则个印刷任务中恰有个是由甲种印刷机器来完成概率为．
（2）满足题意的情况有：个印刷任务都由乙种印刷机器完成的概率为；
由乙种印刷机器完成个任务，由甲种印刷机器完成个任务概率为，
则所求概率为．
（3）的值可能为， ， ，，
，
，
则的分布列为








所以．
10．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天食品A的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：℃）的数据，如下表：

2
5
8
9
11

12
10
8
8
7
（1）求关于的线性回归方程；查看当天天气预报知道，第二天气温可能降至0℃左右，为第二天准备食品A多少千克比较恰当？（精确到个位数）.
（2）是否有95%的把握认为气温是否超过6℃对销售量是否低于9千克具有影响？
附：参考公式与数据：①回归方程中，，.②.
（）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文）
【答案】（1），为第二天准备该商品左右较合适；（2）具有95%的把握认为气温是否超过6℃对销售量是否低于具有影响.
【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求，在求得的线性回归方程中，取求得，则结论可求.
（2）根据已知条件构造分类变量列联表，求出随机变量的观测值，结合临界表得出结论.
【解析】（1），.
，
，
，.
所以，所求回归方程是.
将代入回归方程得千克，
所以依据第二天气温可能降至0℃的天气预报，为第二天准备该商品左右较合适.
（2）根据已知条件构造分类变量列联表：

销量低于
销量不低于
合计
气温高于6℃
3
0
3
气温不高于6℃
0
2
2
合计
3
2
5
计算随机变量的观测值：，
，.
所以，具有95%的把握认为气温是否超过6℃对销售量是否低于具有影响.
11．2019年7月，超强台风登陆某地区.据统计，本次台风造成该地区直接经济损失119.52亿元.经过调查住在该地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：


经济损失4000元以下
经济损失4000元以上
合计
捐款超过500元
30


捐款低于500元

6

合计



（1）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；
（2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，经过调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
附：临界值表

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
参考公式：
【试题来源】新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学2021届高三上学期第六次月考（文）
【答案】（1）；（2）表格答案见解析，有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关，理由见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图平均数公式求解；
（2）先完成列联表，再利用独立性检验求解.
【解析】（1）记每户居民的平均损失为元，则：

（2）如图：

经济损失4000元以下
经济损失4000元以上
合计
捐款超过500元
30
9
39
捐款低于500元
5
6
11
合计
35
15
50
，
所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关.
12．为了研究义务教育阶段学生的数学核心素养与抽象能力指标a分、推理能力指标b分、建模能力指标c分的相关性，其中，，，并将它们各自量化为一级、二级、三级3个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级若，则数学核心素养为二级若，则数学核心素养为三级，为了了解重庆市1年级至9年级在校学生的数学核心素养，调查人员随机抽取了该地的五个年级，访问了每个年级的2个学生，统计得到这10个学生的如下数据：
x年级
2
4
5
6
8
数学核心素养分
29，31
38，42
47，53
56，64
69，71
数学核心素养平均分分
30
40
50
60
70
（1）画出散点图，并判断x，y之间是否具有相关关系
（2）若x，y之间具有线性相关关系，试估计重庆市9年级的学生数学核心素养平均分为多少
（3）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：①参考数据：，
②求线性回归方程的系数公式，
【试题来源】重庆市缙云教育联盟2022届高三上学期8月月度质量检测
【答案】（1）作图见解析；x，y之间具有线性相关关系；（2）78分；（3）分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据表中数据作图并根据散点图判断即可；
（2）根据公式计算回归方程，并估计；
（3）素养为一级的学生是8年级的两名同学，非一级的学生为余下8人，进而根据超几何分布求解即可.
【解析】（1）散点图如图所示：

由图可以看出这些点都在一条直线的附近，
所以x，y之间具有线性相关关系
（2），，，，
，
所以线性回归方程为，所以当时，，
所以估计该地9年级的学生数学核心素养平均分为78分.
（3）素养为一级的学生是8年级的两名同学，非一级的学生为余下8人，
的所有可能取值为0，1，2，
，，
所以随机变量X的分布列为

0
1
2





13．我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95（分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下表：
总分





KN90
6
14
42
31
7
KN95
4
6
47
35
8
（1）试分别估计两种口罩的合格率；
（2）假设生产一个KN90口罩，若质量合格则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，求生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于7元的概率．
【试题来源】陕西省渭南市富平县2020届高三下学期二模（理）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据表格中数据，用合格数量除以总数即为合格率
（2）在（1）的条件下，可以求得两种口罩盈利或亏损的概率，根据题意可得，利润和不小于7元有两种情况，一是KN90不合格，KN95合格；二是KN90和KN95均合格，通过概率公式即可求得利润和不小于7元的概率
【解析】解；（1）由题意知生产KN90口罩合格率为，
生产KN95口罩合格率为．
（2）设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和，
利润和不少于7元有两种可能性，一是KN90不合格，KN95合格，则；二是KN90和KN95均合格，则，其他情况利润和是小于7元的
所以，
故生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于7元的概率为．
14．在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：

1
2
3
4
5

2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很髙，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式：
参考数据：，
（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．
某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．
【试题来源】江苏省扬州市高邮中学2020-2021学年高三上学期11月份阶段测试
【答案】（1）答案见解析；（2）专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖；理由见解析．
【分析】（1）根据表中数据计算出相关系数可得结论；
（2）设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，，求出，从而可得顾客获取现金的期望值，再求得顾客直接得现金的金额，比较可得．
【解析】（1）由题知，，，
．
则．
故与的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；
（2）设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，
由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，所以．
由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，
因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为．
由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160小于直接返现的200元现金，
故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖．
15．携号转网，也称作号码携带､移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.
（1）完成下面列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；

对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数



对业务水平不满意人数



合计



（2）为进一步提高服务质量.在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望.
附：，.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（一）
【答案】（1）列联表证明见解析，有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）由题意得出列联表，再计算，可得结论；
（2）由已知得X的可能值为0，1，2.分别求得则，，，得出分布列，运用数学期望公式可求得其数学期望.
【解析】（1）由题意知对业务水平满意的有260人，对服务水平满意的有200人，得列联表

对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数
180
80
260
对业务水平不满意人数
20
20
40
合计
200
100
300
经计算得，
所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关.
（2）X的可能值为0，1，2.
则，，，
X
0
1
2
P



.
16．某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率.
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X



发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【试题来源】湖南师大附中2020-2021学年高三上学期月考（一）
【答案】（1）；（2）应安装发电机2台.
【分析】（1）先分析出年入流量超过12的年数服从二项分布，直接套公式求概率即可；
（2）分别计算出安装1台、2台、3台发电机所获得总利润的期望，即可求解.
【解析】（1）依题意，，，.
易知年入流量超过12的年数服从二项分布，所以在未来4年中至多有1年的年入流量超过12的概率为.
（2）记水电站年总利润为（单位：万元）.
①安装1台发电机的情形：
由于水库年入流量总大于4，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，
.
②安装2台发电机的情形.
依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；
当时，两台发电机运行，此时，
因此.由此得的分布列如下：

4200
10000
P
0.2
0.8
所以，.
③安装3台发电机的情形.
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此；
当时，两台发电机运行，
此时，因此；
当时，三台发电机运行，此时，
因此.由此得的分布列如下：

3400
9200
15000
P
0.2
0.7
0.1
所以，.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
17．某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为

（1）求直方图中的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练
【答案】（1）0.0025；（2）180；（3）分布列见解析，期望为.
【分析】（1）根据频率直方图的矩形面积之和为1求出x的值；
（2）根据上学时间不少于1小时的频率估计住校人数；
（3）根据二项分布的概率计算公式得出分布列,再求数学期望.
【解析】( 1 )由直方图可得所以x=0.0025.
（2） 新生上学所需时间不少于1小时的频率为,
所以新生中可以申请住宿的人数为1200×0.15=180人
所以估计1200名新生中有180名学生可以申请住宿.
（3）X的可能取值为0,1,2,3,4.
由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为，
所以，,
,,
则X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





故.即X的数学期望为.
18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有％的把握认为平均车速超过的人与性别有关.

平均车速超过人数
平均车速不超过人数
合计
男性驾驶员人数



女性驾驶员人数



合计



（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.
参考数据与公式：

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中.
【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练
【答案】（1）表格见解析，有关；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）根据题意，进行数据分析，完成下面的列联表；套公式计算,即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关；
（2）先求出驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为， X~B(3,2)，求出概率得到分布列，然后求解期望即可.
【解析】（1）完成列联表如下：

平均车速超过人数
平均车速不超过人数
合计
男性驾驶员人数
40
15
55
女性驾驶员人数
20
25
45
合计
60
40
100
因为的观测值，
所以有99.5％的把握认为平均车速超过与性别有关；
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为.
X可取的值是0，1，2，3，且，有：
，，
，，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P




.
19．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：.
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一）
【答案】（1）；；（2）①；②分布列见解析，.
【分析】（1）根据分数及组距可得的可能值，由频率和为1可求得．
（2）①视频率为概率可得分数在5个区间上的概率，用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，则，由互斥事件和独立事件概率公式计算可得；
②先分别求出获得一等奖的概率，注意此时用条件概率计算，只有第一轮获奖，都有可能最终获利一等奖．最终获一等奖概率易知为，而最终获一等奖，需要在第一轮获奖的条件下才可能实现．因此，的可能取值为，分别计算概率可得分布列，再由期望公式计算期望．
【解析】（1）根据题意，X在内，按5为组距可分成5个小区间，
分别是，，，，，
因为，由，，所以.
每个小区间的频率值分别是
由，解得.
（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，的概率分别是，，，，.
我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中
记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，
则

.
②学生A最终获得一等奖的概率是，
学生B最终获得一等奖的概率是，
，，.
所以的分布列为

0
1
2
P



.
20．2020年1月26日4点，篮球巨星湖人队名宿科比.布菜恩特在加州坠机身亡，享年41岁，对于很多蓝球迷来说是巨大的悲痛，也是对这个世界最大的损失，但是科比留给我们的是他对比赛的积极备茂的态度，是无保留的比赛投入，夺冠时的疯狂庆祝，永不言弃的精神是科比的人生信条，他的这种精神被称为“曼巴精神”，热情､执着､严厉､回击和无惧就是“曼巴精神”的内涵所在现，如今这种精神一直鼓舞着无数的运动员和球迷们.这种精神也是高三的所有学子在学习疲惫或者迷茫时的支柱.在NBA2009-2010赛季，科比和加索尔带领湖人队以战胜凯尔特人队，夺得队史第16个总冠军，科比加冕FMVP，时隔十年，在NBA2019-2020赛季总决赛中，詹姆斯和戴维斯又带领洛杉机湖人队以战胜迈阿密热火队，获得队史第17个NBA总冠军，詹姆斯也荣获职业生涯的第4个FWVP.科比和管姆斯都是NBA非常著名的篮球巨星，他们永不言败的精神影响无数人.下面给出了科比和詹姆斯这两次总决赛的数据：
科比2010年总决赛7场比赛投篮数据统计
场次
第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
第六场
第七场
投篮次数
22
20
29
22
27
19
24
命中数
10
8
10
10
13
9
6
得分
30
21
29
33
38
26
23
詹姆斯2020年总决赛6场比赛投篮数据统计
场次
第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
第六场

投篮次数
17
25
16
16
21
20

命中数
9
14
9
8
15
13

得分
25
33
25
28
40
28

（1）分别求出科比和詹姆斯的场均得分及投篮命中率(精确到小数点后1位)(说明：场均得分=投篮命中率=×100%)；
（2）分别在科比和詹姆斯的比赛中随机各取一场，则两场得分都超过各自的场均得分的概率为多少？
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）
【答案】（1）科比场均得分及投篮命中率分别为28.6分，；詹姆斯场均得分及投篮命中率分别为29.8分，59.1%；（2）.
【分析】（1）利用平均数公式求得平均数，代入命中率公式求得命中率；（2）先求得各取一场的情况的方法数，然后求得两场都超过场均得分的情况的方法数，利用古典概型求得结果.
【解析】（1）由题意知，科比场均得分：(分)，
科比投篮命中率：，
詹姆斯场均得分：(分)，
詹姆斯投篮命中率：，
所以科比场均得分及投篮命中率分别为28.6分，，
詹姆斯场均得分及投篮命中率分别为29.8分，59.1%.
（2）各取一场的情况有(种)，
科比的得分超过场均得分的有第一场､第三场､第四场和第五场共4场，
詹姆斯得分超过场均得分的有第二场和第五场共2场，
则两场都超过场均得分的情况有(种)，
所以概率
21．2020年1月26日4点，篮球巨星湖人队名宿科比·布莱恩特在加州坠机身亡，享年41岁.对于很多篮球迷来说是巨大的悲痛，也是对这个世界最大的损失，但是科比留给我们的是他对比赛的积极备战的态度，毫无保留的比赛投入，夺冠时的疯狂庆祝；永不言弃的精神是科比的人生信条，他的这种精神被称为“曼巴精神”，热情、执着、严厉、回击和无惧就是“曼巴精神”的内涵所在.现如今这种精神一直鼓舞着无数的运动员和球迷们.这种精神也是高三的所有学子在学习疲惫或者迷茫时的支柱.在美国NBA篮球比赛中，季后赛和总决赛采用的赛制是“7场4胜制”，即先赢4场比赛的球队获胜，此时比赛结束.比赛时两支球队有主客场之分，顺序是按照常规赛的战绩排名的，胜率最高的球队先开始主场比赛，且主客场安排依次是“主主客客主客主”，且每场比赛结果相互独立.在NBA2019~2020赛季总决赛中，詹姆斯和戴维斯带领的洛杉矶湖人队以战胜迈阿密热火队，获得队史第17个NBA总冠军，詹姆斯也荣获职业生涯的第4个FMVP.如果在总决赛开打之前，根据大数据和NBA专家的预测，以常规赛战绩排名，湖人队先开始主场比赛，且湖人队在主场赢球概率为，客场赢球概率为（说明：篮球比赛中没有平局，只有赢或者输），根据上述预测：
（1）分别求出只进行4场比赛和湖人队获胜的概率；
（2）如果湖人队已经取得的开局，求最终夺冠的概率.
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（理）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）4场比赛包括湖人队获胜或者失败；湖人队获胜，则前4场比赛中两个主场胜一场输一场，两个客场全胜或两个主场全胜，两个客场胜一场输一场，第5场胜，然后利用相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可
（2）湖人队最后夺冠的情况有，，，，然后利用相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可
【解析】（1）记事件为“只进行4场比赛”，事件为“湖人队获胜”，则
由题意知，4场比赛包括湖人队获胜或者失败，
，
湖人队获胜，则前4场比赛中两个主场胜一场输一场，两个客场全胜或两个主场全胜，两个客场胜一场输一场，第5场胜，
.
（2）湖人队最后夺冠的情况有，，，，
夺冠的概率：，
夺冠的概率：，
夺冠的概率：，
夺冠的概率：，
所以湖人队最终夺冠的概率为.
22．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
（2）“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为"基地学校"，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，対“基础站姿、滑行、转弯、停止”这4个动作技巧进行集训．规定：这4个动作中至少有3个动作达到“优秀"，则总考核记为"优秀"．在集训前，小李同学4个动作中每个动作达到“优秀”的概率为0.2，在集训后的考核中，小李同学总考核成绩为“优秀”．能否认为小李同学在集训后总考核达到“优秀”的概率发生了变化？并说明理由．
【试题来源】重庆市第一中学2021届高三下学期第二次月考
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化，理由见解析.
【分析】（1）利用古典概型结合组合公式即可求得结果；（2）写出X的可能值，利用超几何分布求得分布列，利用数学期望公式求得期望；（3）利用二项分布分别求得集训前，小李同学总考核为“优”的概率，经比较得出结论.
【解析】（1）记“从10所学校中选出的3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”的事件为A；
参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，随机选择3所学校共种，
所以．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，参加“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所．
所以，，，．
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以．
（3）答案不唯一．
答案示例1：可以认为小李同学在集训后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：
集训前，小李同学总考核为“优”的概率为．
集训前，小李同学总考核为“优”的概率非常小，一且发生，就有理由认为集训后总考核达到“优”的概率发生了变化．
答案示例2：无法确定，理由如下：
集训前，小李同学总考核为“优”的概率为．
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．