专题08 相似三角形性质和判定的应用（教师版） 备战2021年中考几何压轴题分类导练学案

这是一份专题08 相似三角形性质和判定的应用（教师版） 备战2021年中考几何压轴题分类导练学案，共25页。学案主要包含了典例引领，强化训练等内容，欢迎下载使用。

专题8：相似三角形性质和判定的应用
【典例引领】
例：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．
①求SΔED'MSΔEMN 的值；
②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．

【答案】（1）AE=3310；（2）BG=526；（3）①54；②相似，理由见解析.
【分析】
（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得出结论；
（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF=1，再判断出△CHG∽△CBF，进而求出BK=GK=56，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=43，CH=53，再判断出△EMN∽△EHD，得出MNHD＝EMEH，△ED'M∽△ECH，得出D'MCH＝EMEH，进而得出D'MMN＝CHHD＝54，即可得出结论；
②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB，即可得出D'MCB＝D'HCE，即可．
【解答】
（1）如图1，连接OA，

在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD=34，
∵O是BD中点，
∴OD=OB=OA=342，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OE=DE，
∴∠EOD=∠ODE，
∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴DOAD=DEDO，
∴DO2=DE•DA，
∴设AE=x，
∴DE=5﹣x，
∴（342）2=5（5﹣x），
∴x=3310，
即：AE=3310；
（2）如图2，

在矩形ABCD中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AE=CD=3，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠CED=∠AFE，
∵∠D=∠A=90°，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=DE=2，
∴BF=AB﹣AF=1，
过点G作GK⊥BC于K，
∴∠EBC=∠BGK=45°，
∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，
∵∠KCG=∠BCF，
∴△CHG∽△CBF，
∴GKFB=CKCB，
设BK=GK=y，
∴CK=5﹣y，
∴y=56，
∴BK=GK=56，
在Rt△GKB中，BG=526；
（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，
∵AE=1，AD=5，
∴DE=4，
∵DC=3，
∴EC=5，
由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，
∴D'C=1，
设D'H=DH=z，
∴HC=3﹣z，
根据勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2，
∴z=43，
∴DH=43，CH=53，
∵D'N⊥AD，
∴∠AND'=∠D=90°，
∴D'N∥DC，
∴△EMN∽△EHD，
∴MNHD=EMEH，
∵D'N∥DC，
∴∠ED'M=∠ECH，
∵∠MED'=∠HEC，
∴△ED'M∽△ECH，
∴D'MCH＝EMEH，
∴MNHD＝D'MCH，
∴D'MMN＝CHHD＝54，
∴S△ED'MS△EMN＝54；
②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，
∴∠MD'H+∠ED'N=90°，
∵∠END'=90°，
∴∠ED'N+∠NED'=90°，
∴∠MD'H=∠NED'，
∵D'N∥DC，
∴∠EHD=∠D'MH，
∴∠EHD'=∠D'MH，
∴D'M=D'H，
∵AD∥BC，
∴∠NED'=∠ECB，
∴∠MD'H=∠ECB，
∵CE=CB=5，
∴D'MCB＝D'HCE
∴△D'MH∽△CBE．
【强化训练】
1．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.
（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；
（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，
①如图2，若∠ADC=60°，求DGBH的值；
②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DGBH的值.（用含α的三角函数表示）

【答案】（1）BG=EG，理由见解析；（2）12；（3）cosα.
【分析】
（1）BG=EG，根据已知条件易证△BAG≌△EFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）①方法一：过点G作GM∥BH，交DH于点M，证明ΔGME∽ΔBHE，即可得GMBH=GEBE=12，再证明ΔMGD是等边三角形，可得 DG=MG，由此可得DGBH=MGBH=12；方法二：延长ED，BC交于点M，证明ΔHBM为等边三角形，再证明ΔEDG∽ΔEMB ，即可得结论；②如图3，连接EC交DF于O根据三角函数定义得cosα=OEEF，则OF=bcosα，DG=a+2bcosα，同理表示AH的长，代入DGBH计算即可．
【解答】
（1）BG=EG，
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵四边形CDEF是菱形，

∴CD∥EF，CD=EF.
∴AB∥EF，AB=EF.
∴∠ABG=∠FEG.
又∵∠AGB=∠FGE，
∴ΔABG≌ΔFEG (AAS).
∴BG=EG.
（2）方法1：过点G作GM∥BH，交DH于点M，

∴∠EMG=∠EHA.
∵∠GEM=∠BEH，
∴ΔGME∽ΔBHE.
∴GMBH=GEBE.
由（1）结论知BG=EG.
∴EG=12BE.
∴GMBH=GEBE=12.
∵四边形CDEF为菱形，
∴∠ADC=∠EDF=60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠CDF=∠HAD=60°.
∵GM∥AH，
∴∠MGD=∠HAD=60°.
∴∠GMD=180°-∠MGD-∠MDG=60°，
即∠GMD=∠MGD=∠MGD=60°.
∴ΔMGD是等边三角形。
∴DG=MG.
∴DGBH=MGBH=12.
方法2：延长ED，BC交于点M，

∵四边形CDEF为菱形，
∴∠EDF=∠CDF=60°.
∵四边形ABCD为平形四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，AD∥BC.
∴∠EDF=∠M=60°.
∠H=180°-∠HBM-∠M=180°-60°=60°,
即∠HBM=∠M=∠H=60°.
∴ΔHBM为等边三角形.
∴HB=MB.
∵AD∥BC，
∴∠EGD=∠EBM,∠EDG=∠M.
∴ΔEDG∽ΔEMB ，
∴DGMB=EGEB.
由（1）结论知BG=EG
∴EG=12BE.
∴DGMB=GEBE=12.
∵HB=MB,
∴DGBH=DGMB=12 .
（3）cosα. 如图3，连接EC交DF于O，

∵四边形CFED是菱形，
∴EC⊥AD，FD=2FO，
设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，
Rt△EFO中，cosα=OEEF，
∴OF=bcosα，
∴DG=a+2bcosα，
过H作HM⊥AD于M，
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，
∴AH=HD，
∴AM=12AD=12（2a+2bcosα）=a+bcosα，
Rt△AHM中，cosα=AMAH，
∴AH=a+bcosαcosα，
∴DGBH=a+2bcosαb+a+bcosαcosα=cosα．
2．已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．
（1）如图，当∠ACB=90°时
①求证：△BCM≌△ACN；
②求∠BDE的度数；
（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是　 　（用含α的代数式表示）
（3）若△ABC是等边三角形，AB=33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．

【答案】（1）①证明见解析；②∠BDE=90°；（2）α或180°﹣α；（3）CF的长为32或43．
【分析】（1）①根据SAS证明即可；
②想办法证明∠ADE+∠ADB=90°即可；
（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AN的延长线上时，②如图3中，当点E在NA的延长线上时，
（3）分两种情形求解即可，①如图4中，当BN=13BC=3时，作AK⊥BC于K，解直角三角形即可．②如图5中，当CN=13BC=3时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，结合图形求解即可.
【解答】（1）①如图1中，

∵CA=CB，BN=AM，
∴CB﹣BN=CA﹣AM，
即CN=CM，
∵∠ACN=∠BCM，
∴△BCM≌△CAN；
②如图1中，
∵△BCM≌△ACN，
∴∠MBC=∠NAC，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AG∥BC，
∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠NAC，
∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，
∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，
∴∠BDE=90°；
（2）如图2中，当点E在AN的延长线上时，

易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，
∴∠BDE=∠ACB=α；
如图3中，当点E在NA的延长线上时，

易证：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC，
∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，
∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，
∴∠BDE=180°﹣α，
综上所述，∠BDE=α或180°﹣α，
故答案为：α或180°﹣α；
（3）如图4中，当BN=13BC=3时，作AK⊥BC于K，

∵AD∥BC，
∴ADBC=AMCM=12，
∴AD=332，AC=33，易证△ADC是直角三角形，则四边形ADCK是矩形，△AKN≌△DCF，
∴CF=NK=BK﹣BN=332﹣3=32；
如图5中，当CN=13BC=3时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，

∵AD∥BC，
∴ADBC=AMCM=2，
∴AD=63，易证△ACD是直角三角形，
由△ACK∽△CDH，可得CH=3AK=932，
由△AKN≌△DHF，可得KN=FH=32，
∴CF=CH﹣FH=43．
综上所述，CF的长为32或43．
3．如图，△ABC中，∠BAC为钝角，∠B=45°，点P是边BC延长线上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP下方作∠PCF=∠B．
（1）在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D．
①如图1，若AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；
②如图2，若AD=DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C′，将∠PCF沿CC′方向平移，使顶点C落在点C′处，记平移后的∠PCF为∠P′C′F′，将∠P′C′F′绕点C′顺时针旋转角α（0°＜α＜45°），C′F′交线段BC于点M，C′P′交射线BP于点N，请直接写出线段BM，MN与CN之间的数量关系．

【答案】（1）①AB=CE，AB⊥CE；②AB=CE；（2）MN2=BM2+CN2．
【分析】试题分析：（1）①结论：AB=CE．如图1中，作EH∥BA交BP于H．只要证明△BDA≌△HDE，EC=EH即可解决问题；
②结论：AB=CE．如图2中，作EH∥BA交BP于H．由△ABD∽△EHD，可得=，推出AB=EH，再证明EC=EH，即可解决问题；
（2）结论：MN2=BM2+CN2．首先说明△BCC′是等腰直角三角形，将△C′BM绕点C′顺时针旋转90°得到△C′CG，连接GN．只要证明△C′MN≌△C′GN，推出MN=GN，在Rt△GCN中，根据GN2=CG2+CN2，即可证明.
【解答】（1）①结论：AB=CE， AB⊥CE，
理由：如图1中，作EH∥BA交BP于H，

∵AB∥EH，∴∠B=∠DHE，∵AD=DE，∠BDA=∠EDH，∴△BDA≌△HDE，∴AB=EH，∵∠PCF=∠B=∠CHE，∴EC=EH，∴AB=EH，∠ECH=∠EHC=45°，∴∠CEH=90°，
∴CE⊥EH，∵AB∥EH，∴AB⊥CE；
②结论：AB=CE．理由：如图2中，作EH∥BA交BP于H，

∵BA∥EH，∴△ABD∽△EHD，∴=，∴AB=EH，
∵∠PCF=∠B=∠CHE，∴EC=EH，∴AB=EH；
（2）结论：MN2=BM2+CN2，理由：如图3中，
∵∠B=∠PCF=∠BCC′=45°，∴△BCC′是等腰直角三角形，将△C′BM绕点C′顺时针旋转90°得到△C′CG，连接GN，
∵∠C′CG=∠B=45°，∴∠GCB=∠C′CG+∠C′CB=90°，∴∠GCN=90°，
∵∠MC′G=90°，∠MC′N=45°，∴∠NC′M=∠NC′G，
∵C′M=C′G，C′N=C′N，∴△C′MN≌△C′GN，∴MN=GN，
在Rt△GCN中，∵GN2=CG2+CN2，CG=BM，MN=GN，∴MN2=BM2+CN2．

4．（2016辽宁省大连市）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．
小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．
（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）
参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；
（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜33），∠AED=∠BCD，求AEEC的值（用含k的式子表示）．

【答案】（1）AAS；（2）4；（3）AEEC=3k2+k1-3k2．
【分析】
试题分析：（1）作AF⊥BC，根据已知条件易得∠AFB=∠BEA，∠DAB=∠ABD，AB=AB，根据AAS可判断出△ABF≌△BAE；（2）连接AD，作CG⊥AF，易得tan∠DAE=，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，再证△DCG∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求出AC；（3）过点D作DG⊥BC，设DG=a，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．
【解答】证明：（1）如图2，

作AF⊥BC，
∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
，
∴△ABF≌△BAE（AAS），
∴BF=AE
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=BC，
∴BC=2AE，
故答案为AAS
（2）如图3，

连接AD，作CG⊥AF，
在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，
∴AD=CD，
∵点E是DC中点，
∴DE=CD=AD，
∴tan∠DAE==，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴∠F+∠EAC=45°，
∵∠DAE+∠EAC=45°，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠F=tan∠DAE=，
∴，
∴CG=×2=1，
∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，
∴∠DCG=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴△DCG∽△ACE，
∴，
∵CD=AC，CE=CD=AC，
∴，
∴AC=4；
∴AB=4；
（3）如图4，

过点D作DG⊥BC，设DG=a，
在Rt△BGD中，∠B=30°，
∴BD=2a，BG=a，
∵AD=kDB，
∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），
过点A作AH⊥BC，
在Rt△ABH中，∠B=30°．
∴BH=a（k+1），
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2a（k+1），
∴CG=BC﹣BG=a（2k+1），
过D作DN⊥AC交CA延长线与N，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAN=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=ka，DN=ka，
∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，
∴△NDE∽△GDC．
∴，
∴，
∴NE=3ak（2k+1），
∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），
∴．
5．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝ ，b＝ ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ；

归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝3．求AF的长．

【答案】（1）25，25；213，27；（2）a2+b2=5c2；（3）AF=4．
【分析】（1）运用三角形中位线的性质和相似，勾股定理就可求出（2）思路同（1），要用到锐角三角函数（3）求出AE，EF的长，在用（2）中的结论即可求出．
【解答】（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，∴AP=BP=AB=2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=AB=，∴∠PFE=∠PEF=45°，∴PE=PF=1，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE=BF==，∴AC=BC=2，∴a=b=2，

如图2，连接EF，

同理可得：EF=×4=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴，在Rt△ABP中，AB=4，∠ABP=30°，∴AP=2，PB=2，∴PF=1，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=2，b=2，故答案为：2，2，2，2；
（2） 猜想：a2+b2=5c2，如图3，连接EF，

设∠ABP=α，∴AP=csinα，PB=ccosα，由（1）同理可得，PF=PA=，PE==，AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，∴a2+b2=5c2；
（3） 如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，

设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴∠EAH=∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=AD，BF=BC，∴AE=BF=CF=AD=，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=3，AP=PF，在△AEH和△CFH中，，∴△AEH≌△CFH，∴EH=FH，∴EQ，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，∴AF2=5﹣EF2=16，∴AF=4．