第3.2讲 阅读理解题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案

这是一份第3.2讲 阅读理解题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案，共12页。学案主要包含了新概念问题，图表问题，材料阅读题等内容，欢迎下载使用。
考纲要求:
阅读理解类问题是近几年中考的新题型，主要目的是考查学生通过阅读，学习新的知识、感悟数学思想和方法．它能较好地体现知识的形式、发展的过程．要求学生理解问题，并对其本质进行概括及迁移发展．
基础知识回顾:
阅读题共有三类：(1)图文型(用文字和图形相结合展示条件和问题)；(2)表文型(用文字和表格相结合的形式展示条件和问题)；(3)改错型．无论哪种类型，其解题步骤分为三步：(1)快速阅读，把握大意；(2)仔细阅读，提炼信息或方法；(3)总结方法，建立解决问题的模式．
应用举例:
类型一、新概念问题：
【例1】定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵a，b是方程（m＜0）的两根，∴a+b=1，ab=，∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．故选A．
【例2】在平面直角坐标系中，任意两点A (x1,y1)，B (x2,y2)规定运算：①AB=( x1+ x2, y1+ y2)；②AB= x1 x2+y1 y2③当x1= x2且y1= y2时A=B有下列四个命题：
（1）若A(1，2)，B(2，–1)，则AB=(3,1)，AB=0；
（2）若AB=BC，则A=C；（3）若AB=BC，则A=C；
（4）对任意点A、B、C，均有（AB ) C=A ( BC )成立.其中正确命题的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
【答案】C
【解析】
(1)、A⊕B=（1+2，2-1）=（3，1），A⊗B=1×2+2×（-1）=0，所以(1)、正确；(2)、设C（x3，y3），A⊕B=（x1+x2，y1+y2），B⊕C=（x2+x3，y2+y3），而A⊕B=B⊕C，所以x1+x2=x2+x3，y1+y2=y2+y3，则x1=x3，y1=y3，所以A=C，所以(2)正确；(3)、A⊗B=x1x2+y1y2，B⊗C=x2x3+y2y3，
而A⊗B=B⊗C，则x1x2+y1y2= x2x3+y2y3，不能得到x1=x3，y1=y3，所以A≠C，所以(3)不正确；(4)、因为（A⊕B）⊕C=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），A⊕（B⊕C）=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），
所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），所以(4)正确． 故选C．
类型二、图表问题：
【例3】在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．
（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：
（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；
（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）
【答案】（1）， ；（2）；（3）第三边的长为或或或4或．
【解析】
（1）
（2）猜测a，b，c的关系是=，延长CA至D，使AD=AB（如图4）；
∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠CBA，∴∠D=∠CBA，
又∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，
∴=，即=；
（3）①当a=5，b=6时，
由（2）得：=，解得c=﹣（不合题意舍去）；
②当a=6，b=5时，
=，解得c=；
③当a=5，c=6时，
=，解得b=﹣3（负值舍去）；
④当a=6，c=5时，
=，解得b=4（负值舍去）；
⑤当b=5，c=6时，
=，解得a=（负值舍去）；
⑥当b=6，c=5时，
=，解得a=（负值舍去）；
综上可知：第三边的长为或或﹣3或4或．
类型三、材料阅读题：
【例4】已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”．
（1）已知⊙O的半径为1，在点E（1，1），F（﹣，），M（0，-1）中，⊙O的“关联点”为______；
（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为，求n的值；
（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆”，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围．
【答案】（1）F，M；（2）n＝2或﹣2；（3）≤m≤或 ≤m≤．
【解析】
解：（1）∵OF＝OM＝1，∴点F、点M在⊙上，
∴F、M是⊙O的“关联点”，
故答案为F，M．
（2）如图1，过点Q作QH⊥x轴于H．
∵PH＝1，QH＝n，PQ＝.∴由勾股定理得，PH2+QH2＝PQ2，
即12+n2=()2,解得，n＝2或﹣2．
（3）由y＝﹣x+4，知A（3，0），B（0，4）
∴可得AB＝5
①如图2（1），当⊙D与线段AB相切于点T时，连接DT．
则DT⊥AB，∠DTB＝90°
∵sin∠OBA=,∴可得DT＝DH1＝,∴m1=,
②如图2（2），当⊙D过点A时，连接AD．
由勾股定理得DA＝＝DH2＝．
综合①②可得：≤m≤或 ≤m≤．
方法、规律归纳:
1．新概念问题：结合具体的问题情境，解决关于新定义的计算、猜想类问题
2．图表问题：结合统计、方程思想解决相关的图表问题
3.材料阅读题：根据所给的材料，解决相关的问题
实战演练:
1、用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a⇒b）=﹣b，（a⇐b）=﹣a，如（2⇒3）=﹣3，则（2017⇒2016）⇐（2015⇒2014）=________.
【答案】2016
【解析】
根据题中新定义得：（2017⇒2016）⇐（2015⇒2014）=（﹣2016）⇐（﹣2014）=2016.
2. （2017黑龙江省齐齐哈尔市）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
【答案】113°或92°．
【解析】
3. 已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6……
(1)填空： ＝__ __，[8.05]＝__ __；若[x]＝5，则x的取值范围是 ．
(2)某市的出租车收费标准如下：3 km以内(包括3 km)收费5元，超过3 km的，每超过1 km，加收1.2元(不足1 km按1 km计算)．用x表示所行的路程(单位：km)，y表示行x(km)应付的乘车费(单位：元)，则乘车费可按如下的公式计算：
当0＜x≤3时，y＝5；
当x＞3时，y＝5＋1.2([x]－3)．
某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围．
【答案】(1)1；9；4＜x≤5(2) 13km＜x≤14km
【解析】试题分析：（1）接材料上提供的计算方法，就是表示若是整数，就是数本身，如果是一个小数，是指比这个数较大的最小的整数，计算即可；
（2）直接把y=18.2代入解析式求x的范围．
试题解析：(1)1；9；4＜x≤5
(2)因乘客付费18.2元＞5元，故乘客乘
车路程超过3 km，根据题意，可知
5＋1.2([x]－3)＝18.2，
∴[x]－3＝11，∴[x]＝14，∴13＜x≤14.
故该乘客所乘路程的取值范围为13km＜x≤14km.
4．对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3==．则方程x⊗（﹣2）=的解是（ ）
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
【答案】B．
【解析】
5．定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i；
(1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；
（2）计算：(1+i)×(3-4i)；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2018．
【答案】（1）-i，1；（2）7-i；（3）i-1．
【解析】试题解析：(1)
故答案为：−i，1；
(2)
(3)
6．定义】配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形华为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.例如：可将多项式通过恒等变形化为
的形式，这个变形过程中应用了配方法.
【理解】对于多项式，当＝ 时，它的最小值为 .
【应用】若，求的值.
【拓展】、、是△的三边，且有.
（1）若为整数，求的值.
（2）若△是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.
【答案】【理解】， ；【应用】；【拓展】（1）c的值为4，5，6；（2）12.
【解析】【试题分析】
【理解】= ，得当＝2时，它的最小值为1.
【应用】，
变形得： ．
配方得： ． 则， ．解得， ．
则．
【拓展】
（1）， ．
配方得： ．则， ．
解得， ．
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得： ．
因为为整数，则的值为4，5，6．
（2）2,2，5（舍去）与5，5,2两种情况，得：等腰三角形的周长为12.
【试题解析】
【理解】
【应用】∵，
∴．
∴．
∴， ．
解得， ．
∴．
【拓展】（1）∵，
∴．
∴．
∴．
∴， ．
解得， ．
∴．
∵为整数，
∴的值为4，5，6．
（2）2,2，5（舍去）与5，5,2两种情况，得：等腰三角形的周长为12.
7.对于函数，我们定义（为常数）．
例如，则．
已知：．
（1）若方程有两个相等实数根，则m的值为 ；
（2）若方程有两个正数根，则m的取值范围为 ．
【答案】（1）；（2）m≤且m≠．
【解析】
（2），即=，化简得：，∵方程有两个正数根，∴，解得：m≤且m≠．
故答案为：m≤且m≠．
8. 对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为、和，若、、满足，我们定义这个三角形为美好三角形．
（1）△中，若， ，则△ （填“是”或“不是” ）美好三角形；
（2）如图，锐角△是⊙O的内接三角形， ， ， ⊙O的直径是， 求证：△是美好三角形;
（3）当△ABC是美好三角形，且，则∠C为 .
【答案】（1）不是；（2）证明见解析；（3）∠C=78°或72°.
【解析】（1）不是
（2）连接OA、OC
∵AC=4,OA=OC= 2
∴△OAC是直角三角形，即∠AOC=90°
∴∠B=45°
∵∠C=60°
∴∠A=75°
∵ 即三个内角满足752=452+ 602 关系
∴△ 是美好三角形
(3)∠C=78°或72°
9.定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）∵∠A=∠B=∠C，
∴3∠A+∠ADC=360°，
∴∠ADC=360°﹣3∠A．
∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，
∴60°＜∠A＜120°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．
∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四边形ABCD是三等角四边形
10. 如图，图①中△ABC是等边三角形，其边长是3，图②中△DEF是等腰直角三角形，∠F＝90°，DF＝EF＝3.
(1)若S1为△ABC的面积，S2为△DEF的面积，S3＝AB·BC·sinB，S4＝DE·DF·sinD，请通过计算说明S1与S3，S2与S4之间有着怎样的关系；
(2)在图③中，∠P＝α(α为锐角)，OP＝m，PQ＝n，△OPQ的面积为S，请你根据第(1)小题的解答，直接写出S与m，n以及α之间的关系式，并给出证明．
【答案】(1) S1＝S3，S2＝S4 (2) S＝mnsinα.
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴AH＝AB·sinB＝3sin60°＝3×＝，∴S1＝×3×＝，
∵△DEF是等腰直角三角形，∠F＝90°，DF＝EF＝3，
∴∠D＝45°，S2＝＝，
S3＝AB·BC·sinB＝×3×3×sin60°＝，
在Rt△DEF中，由勾股定理得DE＝＝3，
∴S4＝DE·DF·sinD＝×3×3×＝，
∴S1＝S3，S2＝S4；
（2）S＝mnsinα，证明如下：
如图，过点O作OM⊥PQ，垂足为点M，
在Rt△OPM中，∠OMP＝90°，∴OM＝OP·sinP，
∵∠P＝α，OP＝m，∴OM＝msinα，
∴S＝PQ·OM＝mnsinα.
三三角形角形
角的已知量
图2
∠A=2∠B=90°


图3
∠A=2∠B=60°


三角形
角的已知量
图2
∠A=2∠B=90°
图3
∠A=2∠B=60°