数学必修 第二册4.4 幂函数当堂达标检测题

第四章 指数函数、对数函数与幂函数

4.4 幂函数

一、基础巩固

1．（2020·河南信阳·月考（文））若函数是幂函数，则（    ）

A．3 B． C．3或 D．

【答案】C

【解析】因为函数是幂函数,所以,

解得或.

2．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（文））函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为（    ）.

A．－3 B．－2 C．3 D．2

【答案】C

【解析】∵函数是幂函数，

∴，即，

解得或．

当时，，在上为减函数，不合题意；

当时，，在上为增函数，符合题意．

∴．

3．（2020·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））下列函数在定义域上是增函数的是（　　）

A．y＝ B．y＝logx C．y＝（）x D．y＝x3

【答案】D

【解析】在单调递减，故舍去；

在定义域单调递减，故舍去；

在定义域上单调递减，故舍去；

在定义域上单调递增.

4．（2020·陕西高陵·高一月考（理））已知幂函数的图象过点，则的值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【解析】设幂函数，

幂函数的图象过点，

，解得，

幂函数，

（9）

5．（2020·云南保山·高一其他）已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设幂函数，代入点，则，解得，

.

6．（2020·福建省泰宁第一中学高三月考（文））在同一直角坐标系中，函数，的的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：当时，函数为增函数，且图象变化越来越平缓，

的图象为增函数，

当时，函数为增函数，且图象变化越来越快，的图象为减函数，

综上：只有D符合

7．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数的图象经过点，则是（    ）

A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数

C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数

【答案】D

【解析】设幂函数，因为图象经过点，所以，.

故，因为，所以为非奇非偶函数，且在上是增函数.

8．（2020·天津市第五中学高二期中）已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则

A．f（m）<f（1） B．f（m）=f（1）

C．f（m）>f（1） D．f（m）与f（1）大小不确定

【答案】A

【解析】因为幂函数f（x）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称，

所以（–3–m）+（m2–m）=0，解得m=–1或m=3．

当m=–1时，函数f（x）=x3，–2≤x≤2，所以f（m）=f（–1）<f（1）；

当m=3时，函数f（x）=，在x=0时无意义，不满足题意，舍去,故选A．

9．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））已知幂函数的图象不过原点，则的值为（）

A．0 B．-1 C．2 D．0或2

【答案】A

【解析】函数是幂函数，

，解得：或，

当时，，过原点，不满足条件；

当时，，不过原点，满足条件，

.

10．（2020·云南文山·高三其他（理））已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：因为函数在上单调递减，

所以，

由于函数和函数在第一象限为增函数，

所以，，

故.

11．（2020·河北正定中学高三月考）已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，

且，

故，

而，

所以．

12．（2020·沭阳如东中学高三月考）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：点在幂函数的图象上，

∴，解得，

，

∴在上单调递增，

又，

∴，故选：C．

13．（2020·天水市第一中学高二期末（理））已知函数 (且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（    ）

A．  B．

C．1 D．2

【答案】D

【解析】解：函数中，令，解得，

此时，所以定点；

设幂函数，

则，解得；

所以，

所以，

．

14．（2019·安徽相山·淮北一中高一期中）若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（    ）

A．，， B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：设幂函数的解析式为，

由幂函数的图象过点，得，

解得，

所以；

所以的定义域为，，且单调递增；

又等价于，

解得；

所以的解集为，故选：D．

15．（2020·全国高三其他（理））已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为是幂函数，所以，解得或.

又因为、，都有，

可设，则，所以，函数是单调递增函数，

当时，，该函数在上不单调，不合乎题意；

当时，，该函数在上为增函数.

所以等价于，所以，解得.

故答案为：.

16．（多选题）（2020·山东省东明县实验中学高三月考）下列函数中，定义域是且为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】对于A选项，，所以，函数是定义域为的减函数；

对于B选项，函数是定义域为的增函数；

对于C选项，函数是定义域为的增函数；

对于D选项，函数是定义域为的增函数.

17．（多选题）（2020·江苏启东·高一期末）已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象过原点

B．函数是偶函数

C．函数是单调减函数

D．函数的值域为R

【答案】AD

【解析】由于幂函数过点，所以，解得，所以.

，满足，A选项正确.

是奇函数，所以B选项错误.

在上递增，所以C选项错误.

值域为，所以D选项正确.

18．（多选题）（2020·福建福州·高二期末）下列选项中说法正确的是（    ）

A．函数的单调减区间为

B．幂函数过点，则

C．函数的定义域为，则函数的定义域为

D．若函数的值域为，则实数的取值范围是

【答案】BD

【解析】对于A选项：由得或，所以中函数的定义域为，又函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调减区间为，故A不正确；

对于B选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，所以，故B正确；

对于 C选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故C不正确；

对于 D选项：因为函数的值域为，

所以当时，，满足其值域为，

当时，需且，解得，

所以实数的取值范围是，故D正确，

19．（多选题）（2020·重庆市开州区铁桥中学高三月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.

所以，

显然在定义域上为增函数，所以A正确.

的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.

当时，，即，所以C正确.

当若时，

=

=.

即成立，所以D正确.

二、拓展提升

1．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.

【解析】为函数，，解得或.

当时，，则，且有；

当时，，则，且有.

故所求幂函数的解析式为或，它们的定义域都是.

2．（2020·巩义市第四高级中学高三月考（理））已知幂函数，经过点(2，)，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．

【解析】∵的图象过点，∴，∴，又，∴.

即，其定义域为，且在定义域上函数为增函数，

∴由得，解得.

3．（2020·永丰县永丰中学高一月考）已知幂函数在上单调递增.

（1）求的值；

（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.

【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.

当时，在上单调递增，满足题意.

当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.

∴.

（2）由（1）知，.∵在上单调递增，∴

由于此题中，要满足，只需，.

4．（2020·全国高一课时练习）已知是幂函数，求m，n的值.

【解析】由题意得，解得或，

所以或，.

5．（2020·石嘴山市第三中学高三月考（理））已知幂函数

(1)求的解析式；

(2)(i)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.

(ii)若图像经过坐标原点，解不等式.

【解析】（1）    因为幂函数，

所以，解得或，

所以函数为或.

（2）(i)因为图像不经过坐标原点，

所以，

函数的单调递减区间为，无单调递增区间.

(ii)因为图像经过坐标原点，

所以，

因为为偶函数，且在上为增函数，

所以，

又在上为增函数，

所以，

解得，

所以不等式的解为.

6．（2020·沙坪坝·重庆八中高一期末）已知幂函数在上为增函数．

（1）求解析式；

（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．

【解析】（1）由题意，解得或，

又，∴，

∴．

（2）由（1），在上递减，则

，解得．

∴的范围是．