2019_2020学年福州市鼓楼区延安中学九上期末数学模拟试卷

这是一份2019_2020学年福州市鼓楼区延安中学九上期末数学模拟试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若反比例函数 y=−1x 的图象经过点 A3,m，则 m 的值是
A. −3B. 3C. −13D. 13

2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列事件中，必然发生的是
A. 某射击运动射击一次，命中靶心B. 抛一枚硬币，落地后正面朝上
C. 掷一次骰子，向上的一面是 6 点D. 通常加热到 100∘C 时，水沸腾

4. 如图，直线 y=kx 与双曲线 y=−2x 交于 Ax1,y1，Bx2,y2 两点，则 2x1y2−8x2y1 的值为
A. −6B. −12C. 6D. 12

5. 如图，经过原点 O 的 ⊙P 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是劣弧 OB 上一点，则 ∠ACB=
A. 80∘B. 90∘C. 100∘D. 无法确定

6. 在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽 AB=160 cm，则油的最大深度为
A. 40 cmB. 60 cmC. 80 cmD. 100 cm

7. 如图，在平面直角坐标系中，点 B，C，E 在 y 轴上，Rt△ABC 经过变换得到 Rt△ODE，若点 C 的坐标为 0,1，AC=2，则这种变换可以是
A. △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘，再向下平移 3 个单位长度
B. △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘，再向下平移 1 个单位长度
C. △ABC 绕点 C 逆时针旋转 90∘，再向下平移 1 个单位长度
D. △ABC 绕点 C 逆时针旋转 90∘，再向下平移 3 个单位长度

8. 若二次函数 y=m+1x2−mx+m2−2m−3 的图象经过原点，则 m 的值必为
A. −1 或 3B. −1C. 3D. −3 或 1

9. 圆的面积公式 S=πR2 中，S 与 R 之间的关系是
A. S 是 R 的正比例函数B. S 是 R 的一次函数
C. S 是 R 的二次函数D. 以上答案都不对

10. 如图，P 是 ⊙O 直径 AB 延长线上的一点，PC 与 ⊙O 相切于点 C，若 ∠P=20∘，则 ∠A 的度数为
A. 40∘B. 35∘C. 30∘D. 25∘

11. 如图，大正方形中有 2 个小正方形，如果它们的面积分别是 S1，S2，那么 S1，S2 的大小关系是
A. S1>S2B. S1=S2
C. S1
12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标为 −1,0，其部分图象如图所示，下列结论：
① 4ac②方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3；
③ 3a+c>0；
④当 y>0 时，x 的取值范围是 −1≤x<3；
⑤当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大．
其中结论正确的个数是
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 把一元二次方程 3xx−2=4 化为一般形式是 .

14. 一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在 1 号板上的概率是 ．

15. 一个侧面积为 162π cm2 的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为 cm．

16. 如果关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则实数 a 的取值范围是 ．

17. 如图，以点 O 为位似中心，将 △ABC 放大得到 △DEF，若 AD=OA，则 △ABC 与 △DEF 的面积之比为 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点，将 △CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 解方程：x2+3x−2=0．

20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y=mx 与直线 y=−2x+2 交于点 A−1,a．
（1）求 a，m 的值；
（2）求该双曲线与直线 y=−2x+2 另一个交点 B 的坐标．

21. 如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把 △ABC 沿 BA 方向平移后，点 A 移到点 A1，在网格中画出平移后得到的 △A1B1C1；
（2）把 △A1B1C1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90∘，在网格中画出旋转后的 △A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为 1，求点 B 经过（1）、（2）变换的路径总长．

22. 一个盒子里有标号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏．规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲乙两人是否公平．

23. 如图，抛物线 y1=−12x2+bx+c 经过点 A4,0 和 B1,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）求点 C 的坐标及抛物线的顶点坐标；
（3）设直线 AC 的解析式为 y2=mx+n，请直接写出当 y1
24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，以 CB 为半径作 ⊙C，交 AC 于点 D，交 AC 的延长线于点 E，连接 BD，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当 ABBC=43 时，求 tanE；
（3）在（2）的条件下，作 ∠BAC 的平分线，与 BE 交于点 F．若 AF=2，求 ⊙C 的半径．

25. 如图为桥洞的形状，其主视图是由 CD 和矩形 ABCD 构成的．O 点为 CD 所在 ⊙O 的圆心，点 O 又恰好在 AB 上，AB 为水面．若桥洞跨度 CD 为 8 米，拱高（OE⊥弦CD 于点 F）EF 为 2 米．求 CD 所在 ⊙O 的半径 DO．

26. 如图 1，若 △ABC 和 △ADE 为等边三角形，M，N 分别为 EB，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三角形．
（1）当把 △ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立?若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当 △ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形?若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，△ADE 与 △ABC 及 △AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．

27. 已知，如图 1，在平行四边形 ABCD 中，AB=3 cm，BC=5 cm．AC⊥AB，△ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到 △PNM，速度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动，速度为 1 cm/s，当 △PNM 停止平移时，点 Q 也停止运动．如图 2，设运动时间为 t（s）（0（1）当 t 为何值时，PQ∥MN?
（2）设 △QMC 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使 S△QMC:S四边形ABQP=1:4?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻 t，使 PQ⊥MQ?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. D
4. B
5. B
6. A
7. A
8. C
9. C
10. B
11. A
12. B
第二部分
13. 3x2−6x−4=0 .
14. 14
15. 4
16. a≤1 且 a≠0
17. 1:4
18. 1.2
第三部分
19. ∵a=1，b=3，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=32−4×1×−2=17，
∴x=−3±172,
∴x1=−3+172，x2=−3−172．
20. （1） ∵ 点 A 的坐标是 −1,a，其在直线 y=−2x+2 上，
∴a=−2×−1+2=4，
∴ 点 A 的坐标是 −1,4，将其代入反比例函数 y=mx，
∴m=−1×4=−4．
（2） 解方程组 y=−2x+2,y=−4x,
解得：x=−1,y=4 或 x=2,y=−2,
∴ 该双曲线与直线 y=−2x+2 另一个交点 B 的坐标为 2,−2．
21. （1） 连接 AA1，然后过 C 点作 AA1 的平行线且 A1A=C1C．
同理找到点 B1．
（2） 画图如下：
（3） B 经过（1），（2）变换的路径为 BB1+B1B2 的长．
BB1=32+32=32，
B1B2 的长为 90π2180=2π2．
点 B 所走的路径总长 为 32+2π2．
22. （1） P奇=36=12；
（2） 12345611,11,21,31,41,51,622,12,22,32,42,52,633,13,23,33,43,53,644,14,24,34,44,54,655,15,25,35,45,55,666,16,26,36,46,56,6
由此可见，共有 36 种等可能结果，其中摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的结果有 18 种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有 18 种．
∴ P甲=1836=12,P乙=1836=12．
∴ 这个游戏对甲乙两人是公平的．
23. （1） 将 A4,0，B1,0 代入抛物线解析式中得：−12×16+4b+c=0,−12+b+c=0,
解得：b=52,c=−2.
则抛物线的解析式是 y=−12x2+52x−2．
（2） 在 y=−12x2+52x−2 中令 x=0，则 y=−2，
则点 C 的坐标是 0,−2，
y=−12x2+52x−2=−12x−522+98，
则抛物线的顶点坐标是 52,98．
（3） 当 y14．
24. （1） ∵DE为⊙C 的直径，
∴∠DBE=90∘．
又 ∵∠ABC=90∘，
∴∠DBE+∠DBC=90∘，∠CBE+∠DBC=90∘，
∴∠ABD=∠CBE．
又 ∵CB=CE，
∴∠CBE=∠E，
∴∠ABD=∠E．
又 ∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB．
（2） 由（1）知，△ABD∽△AEB，
∴BDBE=ABAE．
∵ABBC=43，
∴ 设 AB=4x，则 CE=CB=3x．
在 Rt△ABC 中，AB=5x，
∴AE=AC+CE=5x+3x=8x，BDBE=ABAE=4x8x=12．
在 Rt△DBE 中，
∴tanE=BDBE=12．
（3） 解法一：在 Rt△ABC 中，12AC⋅BG=12AB⋅BG 即 12⋅5x⋅BG=12⋅4x⋅3x，解得 BG=125x．
∵AF 是 ∠BAC 的平分线，
∴BFFE=ABAE=4x8x=12．
如图1，过 B 作 BG⊥AE 于 G，FH⊥AE 于 H，
∴FH∥BG，
∴FHBG=EFBE=23，
∴FH=23BG=23×125x=85x．
又 ∵tanE=12，
∴EH=2FH=165x，AM=AE−EM=245x．
在 Rt△AHF 中，
∴AH2+HF2=AF2 即 24x52+8x52=22，解得 x=108．
∴⊙C 的半径是 3x=3108．
【解析】解法二：如图2
过点 A 作 EB 延长线的垂线，垂足为点 G．
∵AF 平分 ∠BAC，
∴∠1=∠2．
又 ∵CB=CE，
∴∠3=∠E．
在 △BAE 中，有 ∠1+∠2+∠3+∠E=180∘−90∘=90∘，
∴∠4=∠2+∠E=45∘，
∴△GAF 为等腰直角三角形
由（2）可知，AE=8x，tanE=12，
∴AG=55AE=855x，
∴AF=2AG=855x=2，
∴x=108，
∴⊙C 的半径是 3x=3108．
解法三：
如图3，作 BH⊥AE 于点 H，NG⊥AE 于点 G，FM⊥AE 于点 M，
设 BN=a，
∵AF 是 ∠BAC 的平分线，
∴NG=BN=a，
∴CG=34a，NC=54a，
∴BC=94a，
∴BH=95a，
∴AB=3a，AC=154a，
∴AG=3a，
∴tan∠NAC=NGAG=13，
∴sin∠NAC=1010，
∴ 在 Rt△AFM 中，FM=AF⋅sin∠NAC=2×1010=105，AM=3105，
∴ 在 Rt△EFM 中，EM=FMtanE=2105，
∴AE=10．
在 Rt△DBE 中，
∵BH=95a，
∴EH=185a，DH=910a，
∴DE=92a，
∴DC=94a，
∴AD=32a，
又 ∵AE+DE=AE，
∴32a+92a=10，
∴a=106，
∴DC=94a=3108．
25. ∵OE⊥弦CD 于点 F，CD 为 8 米，EF 为 2 米，
∴EO 垂直平分 CD，DF=4 m，FO=DO−2m，
在 Rt△DFO 中，DO2=FO2+DF2，则 DO2=DO−22+42，
解得：DO=5 m；
答：CD 所在 ⊙O 的半径 DO 为 5 m．
26. （1） 成立．理由如下：
∵ △ABC 和 △ADE 为等边三角形，
∴ AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60∘，
∵ ∠BAE=∠BAC−∠EAC=60∘−∠EAC，
∠DAC=∠DAE−∠EAC=60∘−∠EAC，
∴ ∠BAE=∠DAC，
在 △DAC 和 △EAB 中，
AD=AE,∠BAE=∠DAC,AB=AC,
∴ △DAC≌△EAB，
∴ CD=BE．
（2） △AMN 是等边三角形．理由如下：
由（1）同理可知 △ABE≌△ACD，
∴ ∠ABE=∠ACD，
∵ M，N 分别是 BE，CD 的中点，
∴ BM=12BE=12CD=CN，
在 △ABM 和 △ACN 中，
CN=BM,∠ACN=∠ABM,AB=AC,
∴ △ABM≌△ACN．
∴ AM=AN，∠MAB=∠NAC．
∴ ∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60∘，
∴ △AMN 是等边三角形．
设 AD=a，则 AB=2a．
∵ AD=AE=DE，AB=AC，
∴ CE=DE=a．
∵ △ADE 为等边三角形，
∴ ∠ADE=60∘，∠DEC=180∘−∠AED=180∘−60∘=120∘，
∴ ∠EDC=∠ECD=30∘，
∴ ∠ADC=180∘−60∘−30∘=90∘，
∴ 在 Rt△ADC 中，AD=a，∠ACD=30∘，
∴ CD=3a．
∵ N 为 DC 中点，
∴ DN=32a，
∴ AN=DN2+AD2=32a2+a2=72a．
∵ △ADE，△ABC，△AMN 为等边三角形，
∴ △ADE，△ABC，△AMN 两两相似，
∴ S△ADE:S△ABC:S△AMN=a2:2a2:72a2=1:4:74=4:16:7．
27. （1） 如图 1，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：
AC=BC2−AB2=52−32=4，
由平移性质可得 MN∥CD，
∵ 在平行四边形中，AB∥CD，
∴ AB∥MN，
∵ PQ∥MN，
∴ PQ∥AB，
∴ APCP=BQCQ，
∴ CP+APCP=CQ+BQCQ，
即 CPCA=CQCB，
即 4−t4=t5，
解得 t=209．
（2） 如图 2，作 PF⊥BC 于点 F，AE⊥BC 于点 E，
由 S△ABC=12AB×AC=12AE×BC 可得 12×3×4=12×5AE，
∴ AE=125，
则由勾股定理得：CE=AC2−AE2=42−1252=165，
∵ PF⊥BC，AE⊥BC，
∴ AE∥PF，
∴ ∠AEC=∠PFC=90∘，∠EAC=∠FPC，
∴ △CPF∽△CAE，
∴ CPCA=CFCE=PFAE，
即 4−t4=CF165=PF125．
解得：PF=12−3t5，CF=16−4t5，
∵ PM∥BC，
∴ 点 M 到 BC 的距离为 PF=12−3t5，
∴ △QCM 的面积 y=12CQ×PF=12×t×12−3t5=−310t2+65t．
（3） ∵ PM∥BC，
∴ S△PQC=S△MQC，
∵ S△QMC:S四边形ABQP=1:4，
∴ S△MQC:S△ABC=1:5，
则 5−310t2+65t=12×4×3，t2−4t+4=0，
解得：t1=t2=2，
∴ 当 t=2 时，S△QMC:S四边形ABQP=1:4．
（4） 存在．如图 2，
∵ PQ⊥MQ，
∴ ∠MQP=∠PFQ=90∘，
∵ MP∥BC，
∴ ∠MPQ=∠PQF，
∴ △MQP∽△PFQ，
∴ PMPQ=PQFQ，
∴ PQ2=PM×FQ，
即：PF2+FQ2=PM×FQ，
由 CF=16−4t5，
∴ FQ=CF−CQ=16−9t5，
故 12−3t52+16−9t52=5×16−9t5，
整理得 2t2−3t=0，
解得 t1=0（舍），t2=32，
答：当 t=32 时，PQ⊥MQ．