2018年上海市静安区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2018年上海市静安区中考二模数学试卷（期中），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列实数中，有理数是
A. 2B. 12C. 34D. 4

2. 下列方程中，有实数根的是
A. x−1=−xB. x+22−1=0
C. x2+1=0D. x−4+x−3=0

3. 如果 a>b，mbmB. am>bm
C. a+m>b+mD. −a+m>−b+m

4. 如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，EG 平分 ∠BEF，如果 ∠EFG=64∘，那么 ∠EGD 的大小是
A. 122∘B. 124∘C. 120∘D. 126∘

5. 已知两组数据：a1，a2，a3，a4，a5 和 a1−1，a2−1，a3−1，a4−1，a5−1，下列判断中错误的是
A. 平均数不相等，方差相等B. 中位数不相等，标准差相等
C. 平均数相等，标准差不相等D. 中位数不相等，方差相等

6. 下列命题中，假命题是
A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B. 有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形
C. 一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形
D. 有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 2a2⋅a3= ．

8. 分解因式：x−y2+4xy= ．

9. 方程组 x+y=3,y−2x=6 的解是 ．

10. 如果 xx−4 有意义，那么 x 的取值范围是 ．

11. 如果函数 y=−a2−1x（a 为常数）的图象上有两点 1,y1，13,y2，那么函数值 y1 y2．（填“”）

12. 为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有 3000 株此类花卉的园地内，随机抽测了 200 株的高度作为样本，统计结果整理后列表如下：（每组数据可包括最低值，不包括最高值）
高度cm40∼4545∼5050∼5555∼6060∼6565∼70频数334222244336
试估计该园地内此类花卉高度小于 55 厘米且不小于 45 厘米的约为 株．

13. 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取一个数，这个数即是奇数又是素数的概率是 ．

14. 如图，在 △ABC 中，点 G 是重心，过点 G 作 DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．已知 AB=a，CB=b，那么 AE= ．（用向量 a，b 表示）

15. 如图，已知 ⊙O 中，直径 AB 平分弦 CD，且交 CD 于点 E，如果 OE=BE，那么弦 CD 所对的圆心角是 度．

16. 已知正多边形的边长为 a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ．（用含字母 a 的代数式表示）

17. 在平面直角坐标系中，如果对任意一点 a,b，规定两种变换：fa,b=−a,−b，ga,b=b,−a，那么 gf1,−2= ．

18. 等腰 △ABC 中，AB=AC，它的外接圆 ⊙O 半径为 1，如果线段 OB 绕点 O 旋转 90∘ 后可与线段 OC 重合，那么 ∠ABC 的余切值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：18+−ct45∘2018+2−3+π−30−sin30∘−1．

20. 解方程：x+4x+1+51−x=6xx2−1．

21. 已知：如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，AC，DB 交于点 H．DE 平分 ∠ADB，交 AC 于点 E．连接 BE 并延长，交边 AD 于点 F．
（1）求证：DC=EC；
（2）求 △EAF 的面积．

22. 今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为 10 元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 18 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少?（销售利润 = 销售价 − 成本价）

23. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，DB 交于点 E，点 F 在 BC 的延长线上，连接 EF，DF，且 ∠DEF=∠ADC．
（1）求证：EFBF=ABDB；
（2）如果 BD2=2AD⋅DF，求证：平行四边形 ABCD 是矩形．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B8,0 和点 C9,−3．抛物线 y=ax2−8ax+c（a，c 是常数，a≠0）经过点 B，C，且与 x 轴的另一交点为点 A．对称轴上有一点 M，满足 MA=MC．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求四边形 ABCM 的面积；
（3）如果坐标系内有一点 D，满足四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AD∥BC，求点 D 的坐标．

25. 如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AB=6，BC=9，cs∠ABC=13．对角线 AC，BD 交于点 O．动点 P 在边 AB 上，⊙P 经过点 B，交线段 PA 于点 E．设 BP=x．
（1）求 AC 的长；
（2）设 ⊙O 的半径为 y，当 ⊙P 与 ⊙O 外切时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果 AC 是 ⊙O 的直径，⊙O 经过点 E，求 ⊙O 与 ⊙P 的圆心距 OP 的长．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C
4. A
5. C
6. B
第二部分
7. 4a5
8. x+y2
9. x=−1,y=4
10. x>4
11. >
12. 960
13. 13
14. 23a−23b
15. 120
16. 32a
17. 2,1
18. 2±1
第三部分
19. 原式=32+−12018+3−2+1−12−1=32+1+3−2+1−2=22+3.
20.
x+4x−1−5x+1=6x,x2+3x−4−5x−5−6x=0,x2−8x−9=0,x1=−1,x2=9.
检验：当 x=−1 时，x+1x−1=0，
当 x=9 时，x+1x−1≠0．
∴ 原方程的解是 x=9．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴DC=BC=BA=AD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90∘，AH=DH=CH=BH，AC⊥BD，
∴∠ADH=∠HDC=∠DCH=∠DAE=45∘．
又 ∵DE 平分 ∠ADB，
∴∠ADE=∠EDH，
∵∠DAE+∠ADE=∠DEC，∠EDH+∠HDC=∠EDC，
∴∠EDC=∠DEC，
∴DC=EC．
（2） ∵ 正方形 ABCD，
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴S△AEFS△CEB=AEEC2，
∵AB=BC=DC=EC=1，AC=2，
∴AE=2−1，
在 Rt△BHC 中，BH=22BC=22，
∴ 在 △BEC 中，BH⊥EC，S△BEC=12×1×22=24，
∴S△AEF24=2−12，
∴S△AEF=24×3−22=32−44．
22. （1） 设 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx+bk≠0，
把 10,40，18,24 代入得：10k+b=40,18k+b=24,
解得，k=−2,b=60.
∴y 与 x 之间的函数关系式 y=−2x+6010≤x≤18．
（2） 由题意得
x−10−2x+60=150.x2−40x+375=0.
解得
x1=15,x2=25不合题意,舍去.
答：该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 15 元．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180∘，
又 ∵∠BEF+∠DEF=180∘，
∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF，
∵∠DEF=∠ADC，
∴∠BAD=∠BEF，
∵AB∥DC，
∴∠EBF=∠ADB，
∴△ADB∽△EBF，
∴EFBF=ABDB．
（2） ∵△ADB∽△EBF，
∴ADBD=BEBF，
在平行四边形 ABCD 中，BE=ED=12BD，
∴AD⋅BF=BD⋅BE=12BD2，
∴BD2=2AD⋅BF，
又 ∵BD2=2AD⋅DF，
∴BF=DF，△DBF 是等腰三角形，
∵BE=DE，
∴FE⊥BD，即 ∠DEF=90∘，
∴∠ADC=∠DEF=90∘，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形．
24. （1） 由题意得：抛物线对称轴 x=−−8a2a，即 x=4．
点 B8,0 关于对称轴的对称点为 A0,0，
∴c=0，
将 C9,−3 代入 y=ax2−8ax，得 a=−13，
∴ 抛物线的表达式：y=−13x2+83x．
（2） ∵ 点 M 在对称轴上，
∴ 可设 M4,y，
又 ∵MA=MC，即 MA2=MC2，
∴42+y2=52+y+32，
解得 y=−3，
∴M4,−3，
∵MC∥AB 且 MC≠AB，
∴ 四边形 ABCM 为梯形，AB=8，MC=5，AB 边上的高 h=∣yM∣=3，
∴S=12AB+MC×MH=12×8+5×3=392．
（3） 将点 B8,0 和点 C9,−3 代入 yBC=kx+b 可得 8k+b=0,9k+b=−3,
解得 k=−3,b=24,
由题意得，
∵AD∥BC，kBC=−3，
∴kAD=−3，yAD=−3x，
又 ∵AD 过 0,0，DC=AB=8，
设 Dx,−3x，x−92+−3x+32=82，
解得 x1=1（不合题意，舍去），x2=135，
∴y=−3x=−395，
∴ 点 D 的坐标 135,−395．
25. （1） 如图（1），过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，
且 cs∠ABC=13，AB=6，
那么 BH=AB⋅cs∠ABC=6×13=2，
BC=9，HC=9−2=7，
AH=62−22=42，
AC=AH2+HC2=32+49=9．
（2） 如图（2），过点 O 作 OI⊥AB 于点 I，连接 PO，
AC=BC=9，AO=4.5，
∴∠OAB=∠ABC，
∴ 在 Rt△AIO 中，cs∠IAO=cs∠ABC=AIAO=13，
∴AI=1.5，IO=22AI=32，
∴PI=AB−BP−AI=6−x−1.5=92−x，
∴ 在 Rt△PIO 中，
OP2=PI2+OI2=322+92−x2=18+x2−9x+814=x2−9x+1534,
∵⊙P 与 ⊙O 外切，
∴OP=x2−9x+1534=x+y，
∴y=x2−9x+1534−x=124x2−36x+153−x，
∵ 动点 P 在边 AB 上，⊙P 经过点 B，交线段 PA 于点 E，
∴ 定义域：0OI，
∴ 交点 E 存在两种不同的位置，OE=OA=92．
①当 E 与点 A 不重合时，AE 是 ⊙O 的弦，OI 是弦心距，
∵AI=1.5，AE=3，
∴ 点 E 是 AB 中点，BE=12AB=3，BP=PE=32，PI=3，IO=32，
OP=PI2+IO2=32+322=27=33．
②当 E 与点 A 重合时，点 P 是 AB 中点，点 O 是 AC 中点，OP=12BC=92，
∴OP=33或92．