2018年河北省唐山市滦州市中考数学二模试卷

这是一份2018年河北省唐山市滦州市中考数学二模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）气温2℃比气温﹣18℃高（ ）
A．16℃B．20℃C．﹣16℃D．﹣20℃
2．（3分）第五次全国人口普查结果显示，我国总人口约为1 300 000 000人，用科学记数法表示这个数正确的是（ ）
A．13×108B．1.3×109C．0.13×1010D．13×109
3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a•a＝2aB．（2a）3＝6a3C．a+2a＝3a2D．a6÷a4＝a2
4．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
5．（3分）下列运算结果为x﹣1的是（ ）
A．1﹣B．•
C．÷D．
6．（3分）下列多边形中，内角和是外角和的两倍的是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
7．（3分）某商店售出一件商品的利润为a元，利润率为20%，则此商品的进价为（ ）
A．（1+20%）aB．C．20%aD．
8．（3分）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是（ ）
A．75米B．25米C．100米D．120米
9．（3分）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）一矩形纸片按图中（1）、（2）所示的方式对折两次后，再按（3）中的虚线裁剪，则（4）中的纸片展开铺平后的图形是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2分）小明原有300元，如图记录了他今天所有支出，其中饼干支出的金额被涂黑．若每包饼干的售价为13元，则小明可能剩下多少元？（ ）
A．4B．14C．24D．34
12．（2分）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
13．（2分）如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB＝BC＝3CD，若A、D两点表示的数分别为﹣5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为BC的点N，则该数轴的原点为（ ）
A．点EB．点BC．点MD．点N
14．（2分）如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
15．（2分）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当﹣1＜x＜2时，y＜0
D．当x＞时，y随x的增大而增大
二．填空题（本大题共3个小题，共10分，17、18题每题3分，19题每空2分）
17．（3分）若|a|＝3﹣1，则a＝ ．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，sinA＝，E是DC上的一点，且BE＝BC，则DE的长为 ．
19．（4分）如图所示的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0），则A的坐标为： ．若在无滑动的情况下，将这个正六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点 ．
三．解答题（本大题共6个小题，共68分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）在一节数学课上，刘老师请同学心里想一个非零的有理数，然后把这个数按照下面的程序进行计算后，刘老师立刻说出计算结果．
（1）小明同学心里想的数是8，列出了下面的算式，请你计算出最后的结果：[（8+2）2﹣（8﹣2）2]×（﹣25）÷8；
（2）小明又试了几个数进行计算，发现结果都相等，于是小明把心里想的这个数记作a（a≠0），并按照程序通过计算进行验证，请你写出这个验证过程．
21．（9分）某班同学响应“阳光体育运动”号召，利用课外活动积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定点投投篮中任选一项进行了训练，训练前后都进行了测试，现将项目选择情况及训练后篮球定点投篮进球数进行整理，作出如下统计图表．
请你根据图表中的信息回答下列问题：
（1）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ，该班共有同学 人；
（2）训练后篮球定点投篮测试进球的众数是 ，中位数是 ；
（3）求训练后篮球定点投篮人均进球数为多少个？
（4）根据测试资料，参加篮球定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了25%，求参加训练之前的人均进球数．
22．（9分）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：x2﹣7x+10＝0．
a＝1，b＝﹣7，c＝10．
∵b2﹣4ac＝9＞0，……………①
∴x＝＝．……………②
∴x1＝5，x2＝2．……………③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．……………④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．……………⑤
（1）涵涵的作业错误的步骤是 （填序号），错误的原因是 ．
（2）探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
①m＝2时，求△ABC的周长；
②当△ABC为等边三角形时，求m的值．
23．（9分）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．
（3）若△ABF的外心是线段AB的中点，请直接写出四边形ABEC的形状，不必说明理由．
24．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，其中A（1，1），B（3，1），D（1，3）．反比例函数的图象经过对角线BD的中点M，与BC，CD的边分别交于点P、Q．
（1）直接写出点M，C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）线段PQ与BD是否平行？并说明理由．
25．（11分）某公司准备销售甲、乙两种材料中的一种，设年销售量为x（单位：吨）（x≤6），若销售甲种材料，每吨成本为10万元，每吨售价y（单位：万元）与x的函数关系是：y＝﹣x+30，设年利润为W甲（单位：万元）（年利润＝销售额﹣成本）；若销售乙种材料销售利润S与x的函数关系是：S＝﹣2x2+20x，同时每吨可获返利a万元（1≤a≤10），设年利润为W乙（单位：万元）（年利润＝销售利润+返利）．
（1）当x＝4时，W甲＝ ；
（2）当x＝4，a＝3时，W乙＝ ；
（3）求W甲与x的函数关系式，并求出x为何值时W甲最大，最大值是多少？
（4）当x＝5时，公司想要获得更多的年利润，通过计算说明应选择销售哪种材料？
拓展应用：
现公司决定销售甲种材料，并通过广告宣传提高销售，若一次性投入m（万元）（m＞0）的广告费，则年销售量可提高m吨（提高后的销售量可突破6吨），此时的年利润为R（单位：万元），当m的值分别为4，8，10时，年利润的最大值分别记为R4、R8、R10，直接写出它们的大小关系： ．
26．（12分）如图所示，点A为半圆O的直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作α；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：
探究：（1）若R＝2，m＝1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是 ；
如图2，当α＝ 时，半圆O'与射线AB相切；
（2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由．
（3）发现：（3）如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了csα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；（用含有R、m的代数式表示）
（4）拓展：如图5，若R＝m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是90°＜α≤120°，并求出在这个旋转过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示）．
2018年河北省唐山市滦州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）气温2℃比气温﹣18℃高（ ）
A．16℃B．20℃C．﹣16℃D．﹣20℃
【分析】用2℃减去﹣18℃，然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：2﹣（﹣18），
＝2+18，
＝20（℃）．
故选：B．
2．（3分）第五次全国人口普查结果显示，我国总人口约为1 300 000 000人，用科学记数法表示这个数正确的是（ ）
A．13×108B．1.3×109C．0.13×1010D．13×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数，当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：1 300 000 000＝1.3×109．
故选：B．
3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a•a＝2aB．（2a）3＝6a3C．a+2a＝3a2D．a6÷a4＝a2
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据积的乘方，可判断B；根据合并同类项，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、积的乘方等于乘方的积，故B错误；
C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
4．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠3所在三角形其余两角的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠3的度数．
【解答】解：如图所示：∵l1∥l2，∠2＝65°，
∴∠6＝65°，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠4＝55°，
在△ABC中，∠6＝65°，∠4＝55°，
∴∠3＝180°﹣65°﹣55°＝60°．
故选：C．
5．（3分）下列运算结果为x﹣1的是（ ）
A．1﹣B．•
C．÷D．
【分析】根据分式的基本性质和运算法则分别计算即可判断．
【解答】解：A、1﹣＝，故此选项错误；
B、原式＝•＝x﹣1，故此选项正确；
C、原式＝•（x﹣1）＝，故此选项错误；
D、原式＝＝x+1，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）下列多边形中，内角和是外角和的两倍的是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及多边形的外角和等于360°列方程求出边数，从而得解．
【解答】解：设多边形边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6，
所以，这个多边形是六边形．
故选：C．
7．（3分）某商店售出一件商品的利润为a元，利润率为20%，则此商品的进价为（ ）
A．（1+20%）aB．C．20%aD．
【分析】根据进价＝利润÷利润率列式即可．
【解答】解：依题意得：．
故选：D．
8．（3分）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是（ ）
A．75米B．25米C．100米D．120米
【分析】先可证明△ADB∽△EDC，然后依据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°．
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB∽△EDC．
∴，即．
解得：AB＝100米．
故选：C．
9．（3分）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为与点数3相差2的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为点数3相差2的有2种情况，
∴掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为点数3相差2的概率是：＝．
故选：B．
10．（3分）一矩形纸片按图中（1）、（2）所示的方式对折两次后，再按（3）中的虚线裁剪，则（4）中的纸片展开铺平后的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】此题需动手操作，仔细观察可知，剪去的部分应该是两个独立的M形，据此作答．
【解答】解：仔细观察可知，剪去的部分应该是两个独立的M形，故打开以后的形状是D．
故选：D．
11．（2分）小明原有300元，如图记录了他今天所有支出，其中饼干支出的金额被涂黑．若每包饼干的售价为13元，则小明可能剩下多少元？（ ）
A．4B．14C．24D．34
【分析】根据设小明买了x包饼干，则剩下的钱为300﹣（50+90+120+13x）元，再分别分析得出可能剩下的钱数．
【解答】解：设小明买了x包饼干，则剩下的钱为300﹣（50+90+120+13x）元，
整理后为（40﹣13x）元，
当x＝1，40﹣13x＝27，
当x＝2，40﹣13x＝14，
当x＝3，40﹣13x＝1；
故选：B．
12．（2分）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故选：A．
13．（2分）如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB＝BC＝3CD，若A、D两点表示的数分别为﹣5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为BC的点N，则该数轴的原点为（ ）
A．点EB．点BC．点MD．点N
【分析】根据A、D两点在数轴上所表示的数，求得AD的长度，然后根据2AB＝BC＝3CD，求得AB、BC，CD的长度，从而找到E，M，N所表示的数．
【解答】解：如图所示：
∵2AB＝BC＝3CD，
∴设CD＝x，则BC＝3x，AB＝1.5x，
∵A、D两点表示的数分别为﹣5和6，
∴x+3x+1.5x＝11，
解得：x＝2，
故CD＝2，BC＝6，AB＝3，
∵AC的中点为E，BD的中点为M，
∴AE＝EC＝4.5，BM＝MD＝4，
则E点对应的数字是﹣0.5，M对应的数字为：2，
∵BC之间距点B的距离为BC的点N，
∴BN＝BC＝2，
故AN＝5，则N正好是原点．
故选：D．
14．（2分）如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【分析】先在图1中，利用平行线间的距离处处相等，判断出OD＝OE＝OF，再由裁剪判断出OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，即可得出OD'＝OE'＝OF'即可．
【解答】解：如图1，
过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F
∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）
如图2，
过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'，
由裁剪知，OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，
∴OD'＝OE'＝OF'，
∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，
∴点O是△ABC的内心，
故选：C．
15．（2分）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当﹣1＜x＜2时，y＜0
D．当x＞时，y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；
根据图形直接判断B；
根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，进而判断C；
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，从而判断D．
【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x＝，正确，故B选项不符合题意；
C、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，正确，故C选项不符合题意．
D、因为a＞0，抛物线开口向上，对称轴为x＝，所以当x＞时，y随x的增大而增大，而当x＜时，y随x的增大而减小，错误，故D选项符合题意；
故选：D．
二．填空题（本大题共3个小题，共10分，17、18题每题3分，19题每空2分）
17．（3分）若|a|＝3﹣1，则a＝ ± ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合绝对值的性质得出答案．
【解答】解：∵|a|＝3﹣1＝，
∴a＝±．
故答案为：±．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，sinA＝，E是DC上的一点，且BE＝BC，则DE的长为 2 ．
【分析】作BF⊥CD于F．先由平行四边形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝5，sinC＝sinA＝，再解直角△BCF，由sinC＝＝，求出BF＝BC＝4，利用勾股定理得到CF＝＝3，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CE＝2CF＝6，那么DE＝CD﹣CE＝2．
【解答】解：如图，作BF⊥CD于F．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，sinA＝，
∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝5，sinC＝sinA＝，
在直角△BCF中，∵∠BFC＝90°，
∴sinC＝＝，
∴BF＝BC＝4，
∴CF＝＝3．
∵BE＝BC，BF⊥CD于F，
∴CE＝2CF＝6，
∴DE＝CD﹣CE＝8﹣6＝2．
故答案为2．
19．（4分）如图所示的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0），则A的坐标为： (1,) ．若在无滑动的情况下，将这个正六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点 ．
【分析】先连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六边形的性质得出A′的坐标，再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论．
【解答】解：如图所示：连接AC,
则AC⊥x轴，
∵C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0），
∴AB＝BC＝CD＝1,
∵∠B＝120°,
∴∠BAC＝∠ACB＝30°,
∴AC＝2×＝,
∴A(1,),
当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A′F′G＝30°，
∴A′G＝A′F′＝，同理可得HD＝，
∴A′D＝2，
∵D（2，0），
∴A′（2，2），OD＝2，
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，
∴从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动43个单位长度，
∵＝7…1，
∴恰好滚动7周多1个，
∴会过点（45，2）的是点B，
故答案为：(1,),B．
三．解答题（本大题共6个小题，共68分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）在一节数学课上，刘老师请同学心里想一个非零的有理数，然后把这个数按照下面的程序进行计算后，刘老师立刻说出计算结果．
（1）小明同学心里想的数是8，列出了下面的算式，请你计算出最后的结果：[（8+2）2﹣（8﹣2）2]×（﹣25）÷8；
（2）小明又试了几个数进行计算，发现结果都相等，于是小明把心里想的这个数记作a（a≠0），并按照程序通过计算进行验证，请你写出这个验证过程．
【分析】（1）先计算括号中的乘方运算，再计算减法运算，最后算乘除运算即可得到结果；
（2）设这个数为a，根据题意列出关系式，去括号整理即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝（100﹣36）×（﹣25）÷8＝64×（﹣25）÷8＝﹣200；
（2）根据题意得：[（a+2）2﹣（a﹣2）2]×（﹣25）÷a＝8a×（﹣25）÷a＝﹣200．
21．（9分）某班同学响应“阳光体育运动”号召，利用课外活动积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定点投投篮中任选一项进行了训练，训练前后都进行了测试，现将项目选择情况及训练后篮球定点投篮进球数进行整理，作出如下统计图表．
请你根据图表中的信息回答下列问题：
（1）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 10% ，该班共有同学 40 人；
（2）训练后篮球定点投篮测试进球的众数是 4 ，中位数是 5 ；
（3）求训练后篮球定点投篮人均进球数为多少个？
（4）根据测试资料，参加篮球定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了25%，求参加训练之前的人均进球数．
【分析】（1）根据各组频率之和为1，即可求出长跑训练的人数占全班人数的百分比，求出选择“篮球定点投篮”的学生人数，即可求出全班人数；
（2）根据中位数、众数的意义求解即可；
（3）利用平均数的计算方法进行计算即可；
（4）列式计算即可．
【解答】解：（1）1﹣60%﹣20%﹣10%＝10%，
（2+1+4+7+8+2）÷60%＝40（人），
故答案为：10%，40；
（2）篮球定点投篮进球数出现最多的是4个，共出现8次，因此众数是4个，
将24人篮球定点投篮进球数从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是5个，因此中位数是5个，
故答案为：4，5；
（3）＝5（个），
答：训练后篮球定点投篮人均进球数为5个；
（4）5÷（1+25%）＝4（个），
答：参加训练之前的人均进球数为4个．
22．（9分）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：x2﹣7x+10＝0．
a＝1，b＝﹣7，c＝10．
∵b2﹣4ac＝9＞0，……………①
∴x＝＝．……………②
∴x1＝5，x2＝2．……………③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．……………④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．……………⑤
（1）涵涵的作业错误的步骤是 ⑤ （填序号），错误的原因是 2，2，5不能构成三角形 ．
（2）探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
①m＝2时，求△ABC的周长；
②当△ABC为等边三角形时，求m的值．
【分析】（1）根据三角形的三边关系判断；
（2）①把m的值代入方程，解方程得到x1＝，x2＝，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算；
②根据一元二次方程根的判别式计算．
【解答】解：（1）涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形，
故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形；
（2）①当m＝2时，方程为x2﹣2x+＝0，
∴x1＝，x2＝，
当为腰时，+＜，
∴、、不能构成三角形；
当为腰时，等腰三角形的三边为、、，
此时△ABC的周长为++＝，
答：当m＝2时，△ABC的周长为；
②若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝0，
∴m1＝m2＝1，
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．
23．（9分）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．
（3）若△ABF的外心是线段AB的中点，请直接写出四边形ABEC的形状，不必说明理由．
【分析】（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB＝DC，进而判断出∠ABF＝∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA＝FE＝FB＝FC，AE＝BC，得证；
（3）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行推理．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABF＝∠ECF，
∵EC＝DC，
∴AB＝EC，
在△ABF和△ECF中，
，
∴△ABF≌△ECF（AAS）．
（2）由（1）知，AB＝EC，AB∥EC，则四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
又∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴平行四边形ABEC是矩形；
（3）四边形ABEC是菱形，理由如下：
∵△ABF的外心是线段AB的中点，
∴△ABF是直角三角形，且∠AFB＝90°，即AE⊥BC．
又由（2）知，四边形ABEC是平行四边形．
∴四边形ABEC是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
24．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，其中A（1，1），B（3，1），D（1，3）．反比例函数的图象经过对角线BD的中点M，与BC，CD的边分别交于点P、Q．
（1）直接写出点M，C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）线段PQ与BD是否平行？并说明理由．
【分析】（1）直接根据中点坐标公式即可求出点M的坐标；再根据点B与点C的横坐标相同，点C与点D的纵坐标相同即可求出C点坐标；
（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，由已知B（3，1），D（1，3），再把B、D两点的坐标代入即可求出k、b的值，进而得出结论；
（3）先根据反比例函数y＝过点M（2，2）可求出m的值，由此可求出点P、Q两点的坐标，故可得出CP＝CQ＝，即∠CPQ＝45°，再由直线BD是正方形ABCD的对角线可知∠CBD＝45°，故∠CPQ＝∠CBD，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵点M是线段B、D的中点，B（3，1），D（1，3），
∴点M的横坐标为：＝2，点M的纵坐标为：＝2，
∴点M的坐标为（2，2），
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点C的横坐标相同，点C与点D的纵坐标相同即可求出C点坐标；
∴点C的坐标为（3，3）；
（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵B（3，1），D（1，3）在直线BD上，
∴，解得．
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4；
（3）PQ∥BD．理由如下：
∵反比例函数的图象经过M（2，2），
∴，解得m＝4．
∴反比例函数的解析式为．
∵反比例函数的图象与BC交于点P，
∴点P的横坐标为3，当x＝3时，．
∴点P的坐标为（3，）．
同理点Q的坐标为（，3）．
∴CP＝CQ＝．
∴∠CPQ＝45°．
又∵∠CBD＝45°，
∴∠CPQ＝∠CBD．
∴PQ∥BD．
25．（11分）某公司准备销售甲、乙两种材料中的一种，设年销售量为x（单位：吨）（x≤6），若销售甲种材料，每吨成本为10万元，每吨售价y（单位：万元）与x的函数关系是：y＝﹣x+30，设年利润为W甲（单位：万元）（年利润＝销售额﹣成本）；若销售乙种材料销售利润S与x的函数关系是：S＝﹣2x2+20x，同时每吨可获返利a万元（1≤a≤10），设年利润为W乙（单位：万元）（年利润＝销售利润+返利）．
（1）当x＝4时，W甲＝ 64 ；
（2）当x＝4，a＝3时，W乙＝ 60 ；
（3）求W甲与x的函数关系式，并求出x为何值时W甲最大，最大值是多少？
（4）当x＝5时，公司想要获得更多的年利润，通过计算说明应选择销售哪种材料？
拓展应用：
现公司决定销售甲种材料，并通过广告宣传提高销售，若一次性投入m（万元）（m＞0）的广告费，则年销售量可提高m吨（提高后的销售量可突破6吨），此时的年利润为R（单位：万元），当m的值分别为4，8，10时，年利润的最大值分别记为R4、R8、R10，直接写出它们的大小关系： R4＜R8＜R10 ．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）代入数据计算即可；
（3）由题意得到W甲＝x（﹣x+30）﹣10x＝﹣x2+20x；根据二次函数的性质即可得到结论；
（4）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）W甲＝（﹣4+30﹣10）×4＝64；
（2）W乙＝S+4a＝﹣2×42+20×4+4×3＝60；
故答案为：64，60；
（3）由题意得：W甲＝x（﹣x+30）﹣10x＝﹣x2+20x；
所以W甲与x的函数关系式为：W甲＝﹣x2+20x；
∵W甲＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，
∵W甲是x的二次函数，a＝﹣1＜0，
∴当x≤6时，W甲随x的增大而增大，
∴当x＝6时，W甲最大，最大值＝﹣62+20×6＝84；
（4）由题意可得：W乙＝﹣2x2+20x+ax＝﹣2x2+（20+a）x．
当x＝5时，W甲＝75，W乙＝50+5a，
当75＞50+5a，即a＜5时，W甲＞W，所以当1≤a＜5时，选择销售甲种材料；
当75＝50+5a，即a＝5时，W甲＝W乙，所以当a＝5时，销售甲、乙均可；
当75＜50+5a，即a＞5时，W甲＝W乙，所以当＜a≤10时，选择销售乙种材料；
拓展应用：∵R＝（﹣x+30﹣10）（m+x）﹣m＝﹣x2+（20﹣m）x+4m，
∵m的值分别为4，8，10，
R4的最大值＝，R8的最大值＝113，R10＝，
∴R4＜R8＜R10．
故答案为：R4＜R8＜R10．
26．（12分）如图所示，点A为半圆O的直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作α；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：
探究：（1）若R＝2，m＝1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是 +1 ；
如图2，当α＝ 60° 时，半圆O'与射线AB相切；
（2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由．
（3）发现：（3）如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了csα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；（用含有R、m的代数式表示）
（4）拓展：如图5，若R＝m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是90°＜α≤120°，并求出在这个旋转过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示）．
【分析】（1）过点O′作O′E⊥AB于点E，过点M作MF⊥O′E于点F，则四边形AMFE为矩形，EF＝AM＝1，结论可求；设切点为F，连接O′F，过点O′作O′E⊥OA与点E，则四边形AFO′E为矩形，在Rt△O′ME中，csα＝，α＝60°；
（2）设切点为点P，连接O′P，过点M作MQ⊥OP于点Q，则四边形AMQP为矩形；在Rt△MO′Q中，利用边角关系即可求解；
（3）设切点为点P，连接O′P，过点M作MQ⊥OP于点Q，则四边形AMQP为矩形；在Rt△MO′Q中，利用边角关系即可求解；
（4）当半圆与AB相切时，半圆与AB有唯一公共点，此时α＝90°，自此开始半圆与AB有两个交点，当N′落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，由上可知在这个旋转过程中，当N′落在AB上时，阴影部分（弓形）的面积最大；利用S弓形＝S扇形O′AN′﹣S△AO′N′即可求解．
【解答】解：（1）过点O′作O′E⊥AB于点E，过点M作MF⊥O′E于点F，如图1，
∵O′E⊥AB，MF⊥O′E，
∴∠AEF＝∠MFE＝90°．
∵∠A＝90°，
∴四边形AEFM为矩形．
∴FE＝AM＝1．
∵α＝30°，
∴∠O′MF＝60°．
在Rt△MO′F中，
∵sin∠FMO′＝，
∴O′F＝O′M×＝．
∴O′E＝O′F+FE＝+1．
即圆心O′到射线AB的距离是+1．
故答案为：+1．
设切点为F，连接O′F，过点O′作O′E⊥OA与点E，如图2，
∵圆O′于AB相切于点F，
∴O′F⊥AB．
∵O′E⊥OA，AB⊥MN，
∴四边形AFO′E为矩形．
∴AE＝O′F＝2．
∴EM＝AE﹣AM＝1．
在Rt△O′ME中，
∵csα＝，
∴α＝60°．
故答案为：60°．
（2）设切点为点P，连接O′P，过点M作MQ⊥OP于点Q，如图3，
∵圆O′与AB相切于点P，
∴O′P⊥AB．
∵MQ⊥OP，AB⊥MN，
∴四边形AMQP为矩形．
∴PQ＝AM＝1．
∵α＝30°，
∴∠QMO′＝60°．
在Rt△MO′Q中，
∵sin∠QMO′＝，
∴O′Q＝O′M×sin60°＝R．
∵O′P＝R，
∴R+1＝R．
解得：R＝4+2．
（3）设切点为点P，连接O′P，过点M作MQ⊥OP于点Q，如图4，
∵圆O′与AB相切于点P，
∴O′P⊥AB．
∵MQ⊥OP，AB⊥MN，
∴四边形AMQP为矩形．
∴PQ＝AM＝m．
∴O′Q＝O′P﹣PQ＝R﹣m，
∵O′P⊥AB，MN⊥AB，
∴O′P∥MN，
∴∠QO′M＝α．
在Rt△MO′Q中，
∵cs∠QO′M＝，
∴csα＝．
∴csα与R、m两个量的关系为：csα＝．
（4）若R＝m，当半圆与AB相切时，半圆与AB有唯一公共点，此时α＝90°，自此开始半圆与AB有两个交点，
当N′落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，此时MN′＝2AM，
在Rt△AMN′中，
∵∠AMN′＝60°，
∴∠NMN′＝α＝120°．
∴当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是90°＜α≤120°，
由上可以看出，在这个旋转过程中，当N′落在AB上时，阴影部分（弓形）的面积最大．如下图，
连接O′A，过O′作O′C⊥AB于点C，则O′C＝AM＝m．
∵O′M＝O′A＝m，∠AMN′＝60°，
∴∠AO′M＝60°．
∴∠AO′N′＝120°．
在Rt△AMN′中，
AN′＝．
∴S弓形＝S扇形O′AN′﹣S△AO′N′＝＝．
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日期：2021/8/14 11:29:05；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298进球数（个）
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