2018-2019学年广东省广州市天河区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广东省广州市天河区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图图案中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 若反比例函数 y=kx 的图象经过点 −5,−3，则该反比例函数的图象在
A. 第一、三象限B. 第一、四象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限

3. 将二次函数 y=2x2 的图象向左平移 1 个单位，则平移后的函数解析式为
A. y=2x2−1B. y=2x2+1C. y=2x−12D. y=2x+12

4. 下列说法正确的是
A. 13 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
B. “抛一枚硬币正面朝上概率是 0.5”表示每抛硬币 2 次有 1 次出现正面朝上
C. 如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生
D. 从 1，2，3，4，5，6 中任取一个数是奇数的可能性要大于偶数的可能性

5. 在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标为 3,4，半径为 5，那么 y 轴与 ⊙P 的位置关系是
A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都不是

6. 一元二次方程 x2+mx+n=0 的两根为 −1 和 3，则 m 的值是
A. −3B. 3C. −2D. 2

7. 要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排 30 场比赛，设邀请 x 个球队参加比赛，根据题意可列方程为
A. xx−1=30B. xx+1=30C. xx−12=30D. xx+12=30

8. 已知圆的半径是 23，则该圆的内接正六边形的面积是
A. 33B. 93C. 183D. 363

9. 如图，正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2=k2x 的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为 2，当 y1>y2 时，x 取值范围是
A. x<−2 或 x>2B. x<−2 或 0C. −22

10. 如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，在下列说法中正确的是
① ac>0；
②方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=−1，x2=3；
③ a+b+c<0；
④当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大．
A. ①③B. ②④C. ①②④D. ②③④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 在一个不透明的口袋中，装有 4 个红球 3 个白球和 1 个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ．

12. 已知点 Px+2y,−3 和点 Q4,y 关于原点对称，则 x+y= ．

13. 一个圆锥的母线长为 5，高为 4，则这个圆锥的侧面积是 ．

14. 直线 PA，PB 是 ⊙O 的两条切线，A，B 分别为切点且 ∠APB=60∘，若 ⊙O 的半径为 2，则切线长 PA= ．

15. 如图，点 M 是函数 y=3x 与 y=kx 的图象在第一象限内的交点，OM=4，则 k 的值为 ．

16. 已知 4 是关于 x 的方程 x2−3mx+4m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰 △ABC 的两条边长，则 △ABC 的周长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解下列方程：
（1）x2−6x=0．
（2）xx−2=2−x．

18. 如图，⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB=50∘，求 ∠ADC 的度数．

19. 如图，在边长均为 1 的正方形网格纸上有一个 △ABC，顶点 A，B，C 及点 O 均在格点上请按要求完成以下操作或运算：
（1）将 △ABC 绕点 O 旋转 90∘，得到 △A1B1C1；
（2）求点 B 旋转到点 B1 的路径长（结果保留 π）．

20. 某体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行一分钟跳绳的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分组频数频率第一组0≤x<12030.15第二组120≤x<1608a第三组160≤x<20070.35第四组200≤x<240b0.1
（1）频数分布表中 a= ，b= ，并将统计图补充完整．
（2）如果该校九年级共有学生 360 人，估计跳绳能够一分钟完成 160 或 160 次以上的学生有多少人?
（3）已知第一组中有两个甲班学生，第四组中只有一个甲班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈测试体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少?

21. 如图的反比例函数图象经过点 A2,5．
（1）求该反比例函数的解析式．
（2）过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为 B，在直线 AB 右侧的反比例函数图象上取一点 C，若 △ABC 的面积为 20，求点 C 的坐标．

22. 已知二次函数 y=ax2+bx−3 的图象经过点 −1,0，3,0．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）在直角坐标中描点，并画出该函数图象．
x⋯ ⋯y⋯ ⋯

（3）根据图象回答：当函数值 y<0 时，求 x 的取值范围．

23. 小红准备实验操作：把一根长为 20cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 13cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）要使这两个正方形的面积之和最小，小红该怎么剪?

24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 M 的坐标为 0,2，以 M 为圆心，以 4 为半径的圆与 x 轴相交于点 B，C，与 y 轴正半轴相交于点 A，过 A 作 AE∥BC，点 D 为弦 BC 上一点，AE=BD，连接 AD，EC．
（1）求 B，C 两点的坐标．
（2）求证：AD=CE．
（3）若点 P 是弧 BAC 上一动点（P 点与 A，B 点不重合），过点 P 的 ⊙M 的切线 PG 交 x 轴于点 G，若 △BPG 为直角三角形，试求出所有符合条件的点 P 的坐标．

25. 如图，直线 y=x−3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B 、点 C，经过 B，C 两点的抛物线 y=−x2+mx+n 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P．
（1）求 3m+n 的值．
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使以 C，P，Q 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，求出有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线 y=x+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求 b 的值．
答案
第一部分
1. B
2. A【解析】∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 −5,−3，
∴k=−5×−3=15>0，
∴ 该反比例函数的图象在第一、三象限．
3. D【解析】抛物线 y=2x2 的顶点坐标为 0,0，把 0,0 先向左平移 1 个单位所得对应点的坐标为 −1,0，所以平移后的抛物线解析式为 y=2x+12．
4. A【解析】A．13 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，正确；
B．“抛一枚硬币正面朝上概率是 0.5”表示每抛硬币 2 次可能有 1 次出现正面朝上，此选项错误；
C．如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它发生的可能性小，此选项错误；
D．从 1，2，3，4，5，6 中任取一个数是奇数的可能性等于偶数的可能性，此选项错误．
5. C
【解析】∵ ⊙P 的圆心坐标为 3,4，
∴ ⊙P 到 y 轴的距离 d 为 3，
∵ d=3 ∴ y 轴与 ⊙P 相交．
6. C【解析】根据题意得 −1+3=−m，
∴m=−2．
7. A
8. C【解析】由题意可知中心角为 60∘，正六边形由六个边长为 23 的等边三角形构成，可求出每个等边三角形的面积为 33．
∴ 正六边形的面积为 183．
9. D【解析】由正比例函数和反比例函数图象的对称性可知点 B 与点 A 关于原点中心对称，
所以点 B 的横坐标为 −2，当 y1>y2 时，正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方，
由图易得 x 的取值范围为 −22．
10. D
【解析】①由图可知：a>0，c<0，
∴ac<0，故①错误；
②由抛物线与 x 轴的交点的横坐标为 −1 与 3，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=−1，x2=3，故②正确；
③由图可知：x=1 时，y<0，
∴a+b+c<0，故③正确；
④由图象可知：对称轴为：x=−1+32=1，
∴x>1 时，y 随着 x 的增大而增大，故④正确．
第二部分
11. 38
【解析】在一个不透明的口袋中，装有 4 个红球 3 个白球和 1 个绿球，它们除颜色外都相同，
∴ 从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 34+3+1=38．
12. −7
【解析】∵ 点 Px+2y,−3 和点 Q4,y 关于原点对称，
∴x+2y=−4,y=3, 解得：x=−10,y=3, 故 x+y=−7．
13. 15π
【解析】圆锥的底面半径是：52−42=3，
圆锥的底面周长是：2×3π=6π，
则 12×6π×5=15π．
14. 23
【解析】连接 OA，OP，如图．
∵ 直线 PA，PB 是 ⊙O 的两条切线，
∴OA⊥PA，OP 平分 ∠APB，
∴∠APO=12∠APB=12×60∘=30∘，
在 Rt△AOP 中，AP=3OP=23．
15. 43
【解析】设点 M 的坐标为 a,3a，则 a2+3a2=42，
解得 a1=2，a2=−2（不合题意，舍去），
故点 M 的坐标为 2,23，
则 k=2×23=43．
16. 10
【解析】把 x=4 代入方程得 x2−3mx+4m=0，解得 m=2，
则原方程为 x2−6x+8=0，
解得 x1=2，x2=4，
∵ 这个方程的两个根恰好是等腰 △ABC 的两条边长，
①当 △ABC 的腰为 4，底边为 2，则 △ABC 的周长为 4+4+2=10；
②当 △ABC 的腰为 2，底边为 4 时，不能构成三角形．
综上所述，该三角形的周长的 10．
第三部分
17. （1）
x2−6x=0.xx−6=0.∴x=0 或 x−6=0.∴x1=0,x2=6.
（2）
xx−2+x−2=0.x+1x−2=0.∴x+1=0 或 x−2=0.∴x1=−1,x2=2.
18. ∵⊙O 中，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∴∠ADC=12∠AOB=12×50∘=25∘．
19. （1） 若 △ABC 绕点 O 顺时针旋转 90∘，可得 △A1B1C1，如图所示：
若 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘，可得 △A1B1C1，如图所示：
（2） 若 △ABC 绕点 O 顺时针旋转 90∘，点 B 旋转到点 B1 的路径长为 90×π×32180=322π；
若 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘，同理可得点 B 旋转到点 B1 的路径长为 322π．
20. （1） 0.4；2
【解析】a=1−0.15−0.35−0.1=0.4，
∵ 总人数为：3÷0.15=20（人），
∴b=20×0.1=2（人）．
（2） 根据题意得：360×0.35+0.1=162（人），
答：跳绳能够一分钟完成 160 或 160 次以上的学生有 162 人．
（3） 根据题意画树状图如下：
∵ 共有 6 种等可能的结果，所选两人正好都是甲班同学的有 2 种情况，
∴ 所选两人正好都是甲班学生的概率是：26=13．
21. （1） 设反比例函数的解析式为 y=kx，且过 A2,5，
∴k=2×5=10．
∴ 反比例函数的解析式为 y=10x．
（2） 设点 Cm,10m，
∵△ABC 的面积为 20，
∴20=12×5×m−2，
∴m=10，
∴ 点 C10,1．
22. （1） ∵ 二次函数 y=ax2+bx−3 的图象经过点 −1,0，3,0，
a×−12+b×−1−3=0,a×32+b×3−3=0,
解得，a=1,b=−2,
∴ 此二次函数的解析式为 y=x2−2x−3．
（2） ∵y=x2−2x−3 .
∴ 当 x=−1 时，y=0，
当 x=0 时，y=−3，
当 x=1 时，y=−4，
当 x=2 时，y=−3，
当 x=3 时，y=0，
故答案为：−1,0，0,−3，1,−4，2,−3，3,0．
函数图象如下图所示：
（3） 由图象可得，
当函数值 y<0 时，x 的取值范围是 −123. （1） 设其中一段长为 xcm，则另一段长为 20−xcm，
x42+20−x42=13.
解得，
x1=8,x2=12.∴
当 x=8 时，20−x=12，
当 x=12 时，20−x=8，
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是 8cm，12cm．
（2） 设其中一段长为 acm，则另一段长为 20−acm，两个正方形的面积之和为 Scm2，
S=a42+20−a42=a−102+1008，
∴ 当 a=10 时，S 取得最小值，此时 S=12.5，
答：要使这两个正方形的面积之和最小，小红剪成两段铁丝的长度都是 10cm．
24. （1） 连接 MB，MC，如图一所示，
∵ 点 M 的坐标为 0,2，以 M 为圆心，以 4 为半径的圆与 x 轴相交于点 B，C，
∴MB=MC=4，OM=2，
∵∠MOB=∠MOC=90∘，
∴OB=OC=BM2−OB2=42−22=23，
∴ 点 B 的坐标为 −23,0，点 C 的坐标为 23,0．
（2） 作 AF∥EC 交 x 轴于点 F，如图一所示．
∵AE∥BC，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形，
∴AE=FC，AF=EC，
∵AE=BD，
∴BD=CF，
又 ∵OB=OC，
∴OD=OF，
在 △AOD 和 △AOF 中，
OD=OF,∠AOD=∠AOF,AO=AO,
∴△AOD≌△AOFSAS，
∴AD=AF，
∴AD=EC，即 AD=CE．
（3） 当 △BP1G 是直角三角形时，如图二所示，
∵MA=MP1=4，点 M 的坐标为 0,2，
∴ 点 P1 的坐标为 −4,2，
当 △BP2G 是直角三角形时，如图二所示，
∵MA=MP2=4，点 M 的坐标为 0,2，
∴ 点 P2 的坐标为 4,2，
当 △BP3G 是直角三角形时，如图三所示，
∵OB=23，OM=2，
∴tan∠MBO=OMBO=223=33，
∴∠MBO=30∘，
∴∠MBP3=60∘，
∵BM=MP3，
∴△BMP3 是等边三角形，
∴BP3=4，
∴ 点 P3 的坐标为 −23,4，
当 △BP4G 是直角三角形时，如图三所示，
∵BP4=8，∠P4BG=30∘ 时，
∴ 点 P4 的纵坐标是：8×sin30∘=8×12=4，
横坐标是：−23+8×cs30∘=−23+8×32=−23+43=23，
∴ 点 P4 的坐标为 23,4，
由上可得，若 △BPG 为直角三角形，所有符合条件的点 P 的坐标是 −4,2，4,2，−23,4，23,4．
25. （1） 直线 y=x−3，
令 y=0，则 x=3，
令 x=0，则 y=−3，
故点 B，C 的坐标分别为 3,0，0,−3，
将点 B，C 的坐标分别代入抛物线表达式得：n=−3,0=−9+3m−n,
解得：m=4,n=−3,
则抛物线的表达式为：y=−x2+4x−3，则点 A 坐标为 1,0，
顶点 P 的坐标为 2,1，3m+n=12−3=9．
（2） ①当 CP=CQ 时，
C 点纵坐标为 −3，PQ 中点的纵坐标相同为 −3，
故此时 Q 点坐标为 2,−7；
②当 CP=PQ 时，
同理可得：点 Q 的坐标为 2,1−25 或 2,1+25；
同理可得：过该中点与 CP 垂直的直线方程为 y=−12x−12，
当 x=2 时，y=−32，即点 Q 的坐标为 2,−32；
③当 CQ=PQ 时，
同理可得：点 Q 的坐标为 2,−32，
故：点 Q 的坐标为 2,1−25 或 2,1+25 或 2,−32 或 2−7．
（3） 图象翻折后的点 P 对应点 Pʹ 的坐标为 2,−1，
①在如图所示的位置时，
直线 y=x+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时 C，Pʹ，B 三点共线，b=−3．
②当直线 y=x+b 与翻折后的图象只有一个交点时，
此时，直线 y=x+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
即 x2−4x+3=x+b，Δ=52−43−b=0，
解得：b=−134，
即：b=−3或−134．