2018-2019学年重庆市沙坪坝区重庆第一中学八下期末数学试卷

这是一份2018-2019学年重庆市沙坪坝区重庆第一中学八下期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −2 的绝对值是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 下列窗花图案中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 函数 y=1x+1 中，自变量 x 的取值范围是
A. x>−1B. x<−1C. x≠−1D. x≠0

4. 下列式子因式分解正确的是
A. x2+2x+2=x+12+1B. 2x+42=4x2+16x+16
C. x2−x+6=x+3x−2D. x2−1=x+1x−1

5. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，若 AEAC=14，则 S△ADES△ABC 的值为
A. 13B. 14C. 19D. 116

6. 下列命题是真命题的是
A. 平行四边形的对角线互相平分且相等
B. 任意多边形的外角和均为 360∘
C. 邻边相等的四边形是菱形
D. 两个相似比为 1:2 的三角形对应边上的高之比为 1:4

7. 估算 28−18+1 在哪两个整数之间
A. 0 和 1B. 1 和 2C. 2 和 3D. 3 和 4

8. 根据以下程序，当输入 x=−2 时，输出结果为
A. −5B. −2C. 0D. 3

9. 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产 x 台机器，则可列方程为
A. 600x=450x+50B. 600x=450x−50C. 600x+50=450xD. 600x−50=450x

10. 如图，反比例函数 y=kx（k≠0，x>0）图象经过正方形 ABCD 的顶点 A，边 BC 在 x 轴的正半轴上，连接 OA，若 BC=2OB，AD=4，则 k 的值为
A. 2B. 4C. 6D. 8

11. 如果关于 x 的分式方程 ax+1−3=1−xx+1 有负数解，且关于 y 的不等式组 2a−y≤−y−4,3y+42A. −2B. 0C. 1D. 3

12. 在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=210，点 E 在 BC 边上，连接 DE，将 △DEC 沿 DE 翻折，得到 △DECʹ，CʹE 交 AD 于点 F，连接 ACʹ．若点 F 为 AD 的中点，则 ACʹ 的长度为
A. 13B. 22C. 23D. 10+1

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算：π−30−−12−2= ．

14. 若 yx+y=12．则 xy= ．

15. 反比例函数 y=6x 图象上有两个点 x1,y1，x2,y2，其中 0
16. 在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 F 为 BC 中点，过点 F 作 FE⊥BC 于点 F 交 BD 于点 E，连接 CE，若 ∠BDC=34∘，则 ∠ECA= ∘．

17. 某日，王艳骑自行车到位于家正东方向的演赛厅听音乐会．王艳离家 5 分钟后自行车出现故障而且发现没有带钱包，王艳立即打电话通知在家看报纸的爸爸骑自行车赶来送钱包（王艳打电话和爸爸准备出门的时间忽略不计），同时王艳以原来一半的速度推着自行车继续走向演奏厅．爸爸接到电话后，立刻出发追赶王艳，追上王艳的同时，王艳坐上出租车并以爸爸速度的 2 倍赶往演奏厅（王艳打车和爸爸将钱包给王艳的时间忽略不计），同时爸爸立刻掉头以原速赶到位于家正西方 3900 米的公司上班，最后王艳比爸爸早到达目地的．在整个过程中，王艳和爸爸保持匀速行驶．如图是王艳与爸爸之间的距离 y（米）与王艳出发时间 x（分钟）之间的函数图象，则王艳到达演奏厅时，爸爸距离公司 米．

18. 古语说：“春眠不觉晓”，每到初春时分，想必有不少人变得嗜睡，而且睡醒后精神不佳．我们可以在饮食方面进行防治，比如以下食物可防治春困：香椿、大蒜、韭菜、山药、麦片．春天即将来临时，某商人抓住商机，购进甲、乙、丙三种麦片，已知销售每袋甲种麦片的利润率为 10%，每袋乙种麦片的利润率为 20%，每袋丙种麦片的利润率为 30%，当售出的甲、乙、丙三种麦片的袋数之比为 1:3:1 时，商人得到的总利润率为 22%；当售出的甲、乙、丙三种变片的袋数之比为 3:2:1 时，商人得到的总利润率为 20%．那么当售出的甲、乙、丙三种麦片的袋数之比为 2:3:4 时，这个商人得到的总利润率为 （用百分号表最终结果）．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 解方程：
（1）xx−7−17−x=2；
（2）2x2−2x−1=0．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AE⊥CD 于点 F，交 CB 于点 E，且 ∠EAB=∠DCB．
（1）求 ∠B 的度数：
（2）求证：BC=3CE．

21. 近年，教育部多次明确表示，今后中小学生参加体育活动情况、学生体质健康状况和运动技能等级纳入初中、高中学业水平考试，纳入学生综合素质评价体系．为更好掌握学生体育水平，制定合适的学生体育课内容，某初级中学对本校初一，初二两个年级的学生进行了体育水平检测．为了解情况，现从两个年级抽样调查了部分学生的检测成绩，过程如下：
【收集数据】从初一、初二年级分别随机抽取了 20 名学生的水平检测分数，数据如下：
初一年级88584490718895637090 81928484953190857685初二年级75828585768769936384 90856485919668975788
【整理数据】按如下分段整理样本数据：
分段年级0≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100初一年级a137b初二年级14285
【分析数据】对样本数据边行如下统计：
统计量年级平均数中位数众数方差初一年级78c90284.6初二年级8185d126.4
【得出结论】
（1）根据统计，表格中 a，b，c，d 的值分别是 ， ， ， ．
（2）若该校初一、初二年级的学生人数分别为 800 人和 1000 人，则估计在这次考试中，初一、初二成绩 90 分以上（含 90 分）的人数共有 人．
（3）根据以上数据，你认为“ ”（填“初一“或“初二”）学生的体育整体水平较高．请说明理由（一条理由即可）

22. 在平面直角坐标系中，直线 l1:y=x+5 与反比例函数 y=kxk≠0,x>0 图象交于点 A1,n；另一条直线 l2:y=−2x+b 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y=kxk≠0,x>0 图象交于点 C 和点 D12,m，连接 OC，OD．
（1）求反比例函数解析式和点 C 的坐标；
（2）求 △OCD 的面积．

23. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道有关于自然数的题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何?”就是说：一个数被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 2，求这个数．《孙子算经》的解决方法大体是这样的先求被 3 除余 2，同时能被 5，7 都整除的数，最小为 140．再求被 5 除余 3．回时能被 3，7 都整除的数，最小为 63．最后求被 7 除余 2，同时能被 3，5 都整除的数，最小为 30．于是数 140+63+30=233．就是一个所求的数．那么它减去或加上 3，5，7 的最小公倍数 105 的倍数，比如 233−105=128，233+105=388⋯ 也是符合要求的数，所以符合要求的数有无限个，最小的是 23．我们定义，一个自然数，若满足被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 5 除余 3，则称这个数是“魅力数”．
（1）判断 43 是否是“魅力数”?请说明理由；
（2）求出不大于 100 的所有的“魅力数”

24. 毎年 6 月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在 5 月份就售出每本 8 元的 A 种品牌同学录 90 本，每本 10 元的 B 种品牌同学录 175 本．
（1）某班班长帮班上同学代买 A 种品牌和 B 种品牌同学录共 27 本，共花费 246 元，请问班长代买 A 种品牌和 B 种品牌同学录各多少本?
（2）该文具店在 6 月份决定将 A 种品牌同学录每本降价 3 元后销售，B 种品牌同学录每本降价 a%a>0 后销售．于是，6 月份该文具店 A 种品牌同学录的销量比 5 月份多了 149a%，B 种品牌同学录的销量比 5 月份多了 a+20%，且 6 月份 A，B 两种品牌的同学录的销售总额达到了 2550 元，求 a 的值．

25. 在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，过点 B 作 BE⊥BD 于点 B 交 DA 的延长线于点 E，过点 B 作 BG⊥CD 于点 G．
（1）如图 1，若 ∠C=60∘，∠BDC=75∘，BD=62，求 AE 的长度；
（2）如图 2，点 F 为 AB 边上一点，连接 EF，过点 F 作 FH⊥FE 于点 F 交 GB 的延长线于点 H，在 △ABE 的异侧，以 BE 为斜边作 Rt△BEQ，其中 ∠Q=90∘，若 ∠QEB=∠BDC，EF=FH，求证：BF+BH=BQ．

26. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l:y=x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 在 x 轴的正半轴上，且 OC=2OB．
（1）点 F 是直线 BC 上一动点，点 M 是直线 AB 上一动点，点 H 为 x 轴上一动点，点 N 为 x 轴上另一动点（不与 H 点重合），连接 OF，FH，FM，FN 和 MN，当 OF+FH 取最小值时，求 △FMN 周长的最小值；
（2）如图 2，将 △AOB 绕着点 B 逆时针旋转 90∘ 得到 △AʹOʹB，其中点 A 对应点为 Aʹ，点 O 对应点为 Oʹ，连接 COʹ，将 △BCOʹ 沿着直线 BC 平移，记平移过程中 △BCOʹ 为 △BʹCʹOʺ，其中点 B 对应点为 Bʹ，点 C 对应点为 Cʹ，点 Oʹ 对应点为 Oʺ，直线 CʹOʺ 与 x 轴交于点 P，在平移过程中，是否存在点 P，使得 △OʺPC 为等腰三角形?若存在请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】−2 的绝对值是 2，即 ∣−2∣=2．
2. A【解析】A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
3. C【解析】根据题意得 x+1≠0，解得 x≠−1．
4. D【解析】分解因式正确的为 x2−1=x+1x−1．
5. D
【解析】DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=AEAC2=142=116．
6. B【解析】A．平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，故错误，是假命题；
B．任意多边形的外角和均为 360∘，正确，是真命题；
C．邻边相等的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
D．两个相似比为 1:2 的三角形对应边上的高之比为 1:2，故错误，是假命题．
7. C【解析】原式=42−32+1=2+1.
∵1<2<4，
∴1<2<2，即 2<2+1<3，
则 28−18+1 在 2 和 3 两个整数之间．
8. B【解析】当 x=−2 时，−22−3=1；
当 x=1 时，12−3=−2；
∵−2<1，
∴ 当输入 x=−2 时，输出结果为 −2．
9. C【解析】由题意知原计划每天生产 x 台，则现在每天生产 x+50 台．
原来生产 450 台用时为 450x 天，现在生产 600 台用时为 600x+50 天，所以可列方程 600x+50=450x．
10. D
【解析】∵ 正方形 ABCD，AD=4，
∴AB=AD=4=BC，
∵BC=2OB，
∴OB=2，
∴A2,4 代入 y=kx 得：k=8．
11. A【解析】由关于 y 的不等式组 2a−y≤−y−4,3y+42 ∵ 该不等式组解集无解，
∴2a+4≥−2，即 a≥−3．
又 ∵ax+1−3=1−xx+1，得 x=a−42，
而关于 x 的分式方程 ax+1−3=1−xx+1 有负数解，
∴a−4<0 且 a−42≠−1．
∴a<4 且 a≠2．
于是 −3≤a<4，且取 a≠2 的整数，
∴a=−3,−2,−1,0,1,3．
则符合条件的所有整数 a 的和为 −2．
12. A【解析】如图，过点 Cʹ 作 CʹH⊥AD 于点 H，
∵ 点 F 为 AD 的中点，AD=BC=210，
∴AF=DF=10，
∵ 将 △DEC 沿 DE 翻折，
∴CD=CʹD=3，∠C=∠ECʹD=90∘，
在 Rt△DCʹF 中，CʹF=DF2−CʹD2=1，
∵S△CʹDF=12×DF×CʹH=12×CʹF×CʹD，
∴10×CʹH=1×3，
∴CʹH=31010，
∴FH=CʹF2−CʹH2=1010，
∴AH=AF+FH=111010，
在 Rt△ACʹH 中，ACʹ=AH2+CʹH2=13．
第二部分
13. −3
【解析】原式=1−−22=1−4=−3．
14. 1
【解析】∵yx+y=12，
∴2y=x+y，
故 y=x，
则 xy=1．
15. 0【解析】反比例函数 y=6x 图象在一、三象限，
x1,y1，x2,y2 在反比例函数 y=6x 图象上，且 0因此 x1,y1，x2,y2 在第一象限，
∵ 反比例函数在第一象限 y 随 x 的增大而减小，
∴016. 22
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，∠BDC=∠DBC=34∘．
∠BCA=∠DCO=90∘−34∘=56∘．
∵EF 垂直平分 BC，
∴∠ECF=∠DBC=34∘．
∴∠ECA=56∘−34∘=22∘．
17. 3400
【解析】设王艳骑自行车的速度为 x m/s，
则爸爸的速度为：5x+5×12x÷5=32x（m/s），
由函数图象可知，公司距离演奏厅的距离为 9400 米，
∵ 公司位于家正西方 3900 米，
∴ 家与演奏厅的距离为：9400−3900=5500（米），
根据题意得，5x+5×12x+503−10×32x⋅2=5500，
解得，x=200（m/s），
∴ 爸爸的速度为：32x=300（m/s），
∴ 王艳到达演奏厅时，爸爸距离公司的距离为：5×300+3900−503−10×300=3400（m）．
18. 25%
【解析】设甲、乙、丙三种麦片的进价分别为 a，b，c，丙麦片售出袋数为 cx，
由题意得：10%ax+3×20%bx+30%cxax+3bx+cx=22%,3×10%ax+2×20%bx+30%cx3ax+2bx+cx=20%, 解得：b=2a,c=3a,
∴2×10%ax+3×20%bx+4×30%cx2ax+3bx+4cx=0.2a+1.2a+3.6a2a+6a+12a=520=25%．
第三部分
19. （1） 方程两边都乘以 x−7 得：
x+1=2x−7.
解得：
x=15.
检验：当 x=15 时，
x−7≠0.∴x=15
是原方程的解，
即原方程的解是 x=15．
（2）
2x2−2x−1=0.b2−4ac=−22−4×2×−1=12.x=2±122×2.x1=1+32,x2=1−32.
20. （1） ∵AE⊥CD，
∴∠AFC=∠ACB=90∘，
∴∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠ECF=90∘，
∴∠ECF=∠CAF，
∵∠EAD=∠DCB，
∴∠CAD=2∠DCB，
∵CD 是斜边 AB 上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
∴∠CAB=2∠B，
∵∠B+∠CAB=90∘，
∴∠B=30∘．
（2） ∵∠B=∠BAE=∠CAE=30∘，
∴AE=BE，CE=12AE，
∴BC=3CE．
21. （1） 3；6；84.5；85
【解析】由统计表中的数据可知，a=3，b=6，c=84+852=84.5，d=85．
（2） 490
【解析】初一成绩 90 分以上（含 90 分）的人数共有：800×620=240（人），
初二成绩 90 分以上（含 90 分）的人数共有 1000×520=250（人），
240+250=490（人）．
（3） “初二”学生的体育整体水平较高，
原因是：初二年级的平均数大于初一年级的平均数．
22. （1） ∵ 点 A1,n 在直线 l1:y=x+5 的图象上，
∴n=6．
∴ 点 A1,6 代入 y=kx，得 k=16，
∴ 反比例函数 y=6x，当 x=12 时，y=12，
∴ 点 D12,12 代入直线 l2:y=−2x+b，得 b=13，
∴ 直线 l2:y=−2x+13．
由题意得：y=6x,y=−2x+13, 解得：x1=12,y1=12, x2=6,y2=1,
∴ 点 C6,1．
答：反比例函数解析式 y=6x，点 C 的坐标为 6,1．
（2） 直线 l2:y=−2x+13，与 x 轴的交点 E132,0，与 y 轴的交点 B0,13，
∴S△OCD=S△BOE−S△BOD−S△OCE=12×13×132−12×13×12−12×132×1=1434.
答：△OCD 的面积为 1434．
23. （1） 43 不是“魅力数”．理由如下：
∵43=14×3+1，
∴43 被 3 除余 1，不余 2，
∴ 根据“魅力数”的定义知，43 不是“魅力数”．
（2） 先求被 1 除余 1，同时能被 3，5 都整除的数，最小为 15．
再求被 3 除余 2．回时能被 2，5 都整除的数，最小为 20．
最后求被 5 除余 3，同时能被 2，3 都整除的数，最小为 18．
∴ 数 15+20+18=53 是“魅力数”，
∵2，3，5 的最小公倍数为 30，
∴53−30=23 也是“魅力数”，53+30=83 也是“魅力数”，
故不大于 100 的所有的“魅力数”有 23，53，83 三个数．
24. （1） 设班长代买 A 种品牌同学录 x 本，B 种品牌同学录 y 本．
依题意，得：
x+y=27,8x+10y=246.
解得：
x=12,y=15.
答：班长代买 A 种品牌同学录 12 本，B 种品牌同学录 15 本．
（2） 依题意，得：
8−3×901+149a%+101−a%×1751+a+20%=2550.
整理，得：
a2−20a=0.
解得：
a1=20,a2=0舍去.
答：a 的值为 20．
25. （1） 如图 1，过点 D 作 DR⊥BC 于 R，
∵ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∵∠C=60∘，∠BDC=75∘，
∴∠CBD=180∘−∠C+∠BDC=45∘，
∴∠ADB=∠CBD=45∘，
∵BE⊥BD，
∴∠DBE=90∘，
∴∠E=∠BDE=45∘，
∴DE=2BD=12，
∵DR⊥BC，
∴∠BRD=∠CRD=90∘，
∴∠BDR=∠CBD=45∘，DR=BR=BD⋅sin∠CBD=62sin45∘=6，
∵∠C=60∘，
∴∠CDR=90∘−60∘=30∘，
∴CR=23，CD=43，
∴AD=BC=DR+CR=6+23，
∴AE=DE−AD=12−6+23=6−23．
（2） 如图 2，过点 E 作 ET⊥AB 交 BA 的延长线于 T，则 ∠T=90∘，
∵ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠QEB=∠BDC，
∴∠QEB=∠ABD，
∵BG⊥CD，BE⊥BD，FH⊥FE，
∴∠BGC=∠ABG=∠DBE=∠EFH=∠Q=90∘，
∴∠EBT+∠BET=∠EBT+∠ABD=∠EFT+∠BFH=∠EFT+∠FET=90∘，
∴∠BET=∠ABD=∠QEB，∠BFH=∠FET，
∵BE=BE，EF=FH，
∴△BEQ≌△BETAAS，△BFH≌△TEFAAS，
∴BQ=BT，BH=FT，
∵BF+FT=BT，
∴BF+BH=BQ．
26. （1） ∵ 直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴ 当 x=0 时，y=2；当 y=0 时，x=−2，
∴ 点 A−2,0，点 B0,2．
∴OB=2．
∵OC=2OB，
∴OC=4．
∴ 点 C4,0．
设直线 BC 解析式为 y=kx+2，且过点 C4,0．
∴0=4k+2．
∴k=−12．
∴ 直线 BC 解析式为 y=−12x+2．
如图，作点 O 关于直线 BC 的对称点 Oʹ85,165，
过点 Oʹ 作 OʹH⊥OC 于点 F，交 BC 于点 H，此时 OF+FH 的值最小．
∴ 点 F 的横坐标为 85．
∴ 点 F85,65．
作点 F 关于直线 OC 的对称点 Fʹ85,−65，
作点 F 关于直线 AB 的对称点 Fʺ−45,185，
连接 FʹFʺ 交直线 AB 于点 M，交直线 OC 于点 N，此时 △FMN 周长有最小值，
∴△FMN 周长的最小值=85+452+185+652=1255.
（2） 满足条件的点 P 为 8+22,0 或 163,0 或 5,0．
【解析】∵ 将 △AOB 绕着点 B 逆时针旋转 90∘ 得到 △AʹOʹB，
∴Oʹ 点坐标 2,2．
设直线 OʹC 的解析式为 y=mx+b．
∴2=2m+b,0=4m+b.
∴m=−1,b=4.
∴ 直线 OʹC 的解析式为 y=−x+4．
如图，过点 Oʹ 作 OʹE⊥OC．
∴OE=2，OʹE=2．
∴EC=OʹE=2．
∴∠OʹCE=45∘．
∵ 将 △BCOʹ 沿着直线 BC 平移，
∴OʺOʹ∥BC，OʹC∥OʺCʹ．
∴ 设 OʹOʺ 的解析式为 y=−12x+n，且过 2,2．
∴2=−12×2+n．
∴n=3．
∴ 直线 OʹOʺ 的解析式为 y=−12x+3．
若 COʺ=CP，
∵OʹC∥OʺCʹ，
∴∠OʹCE=∠OʺPC=45∘．
∵COʺ=CP，
∴∠COʺP=∠OʺPC=45∘．
∴∠OʺCP=90∘．
∴ 点 Oʺ 的横坐标为 4．
∴ 当 x=4 时，y=−12×4+3=1．
∴ 点 Oʺ4,1．
∴COʺ=1=CP．
∴ 点 P5,0．
若 COʺ=OʺP，如图，过点 Oʺ 作 OʺN⊥CP 于 N．
∵OʹC∥OʺCʹ，
∴∠OʹCE=∠OʺPC=45∘．
∵COʺ=OʺP，
∴∠OʺCP=∠CPOʺ=45∘．
∴∠COʺP=90∘，且 COʺ=OʺP，OʺN⊥CP．
∴CN=PN=OʺN=12CP．
设 CP=a，
∴CN=PN=OʺN=12CP=12a．
∴ 点 Oʺ4+12a,12a，且直线 OʹOʺ 的解析式为 y=−12x+3．
∴12a=−124+12a+3．
∴a=43．
∴CP=43．
∴ 点 P163,0．
若 CP=OʺP，如图，过点 Oʺ 作 OʺN⊥CP 于 N．
∵OʹC∥OʺCʹ，
∴∠OʹCE=∠OʺPM=45∘．
∴∠OʺPN=∠OʺPM=45∘，且 OʺN⊥CP．
∴∠NPOʺ=∠POʺN=45∘．
∴PN=OʺN．
∴OʺP=2PN=CP．
设 PN=b，则 OʺN=b，CP=POʺ=2b．
∴ 点 Oʺ 坐标 4+2b+b,−b，且直线 OʹOʺ 的解析式为 y=−12x+3．
∴−b=−12×4+2b+b+3．
∴b=22+2．
∴CP=4+22．
∴ 点 P 坐标 8+22,0．
综上所述：满足条件的点 P 为 8+22,0 或 163,0 或 5,0．