2019-2020学年山东青岛崂山区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年山东青岛崂山区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下图是一个几何体的三视图，则这个几何体是
A. 长方体B. 球体C. 圆锥体D. 圆柱体

2. 在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有 60 个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在 25% 和 45%，盒子中白色球的个数可能是
A. 24 个B. 18 个C. 16 个D. 6 个

3. 今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件 200 元调至 72 元，设平均毎次的降价百分率为 x，则得方程
A. 2001−x=72×2B. 2001−x%2=72
C. 2001−x2=72D. 200x2=72

4. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F，已知 DEEF=32，则 ABAC 的值为
A. 32B. 23C. 35D. 25

5. 直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形外接圆半径是
A. 8 或 6B. 10 或 8C. 10D. 8

6. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为点 E，AE=5，且 EO=2BE，则 OA 的长为
A. 5B. 25C. 35D. 151313

7. 如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 13，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 12，则 C 点坐标为
A. 6,4B. 6,2C. 4,4D. 8,4

8. 已知反比例函数 y=abx 的图象如图所示，则二次函数 y=ax2−2x 和一次函数 y=bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算 sin260∘+cs60∘⋅2−1 ．

10. 小莉身高 1.50 m，在阳光下的影子长为 1.20 m，在同一时刻站在阳光下，小林的影子长比小莉长 0.2 m，则小林的身高为 m．

11. 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上四个点，连接 OA，OC，过 A 作 AE⊥OC 交圆周于点、 E，连接 OE，若 ∠ABC=140∘，则 ∠OEA 的度数为 ．

12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 边上的点，AE=3BE，连接 AC，DE 相交于 O，则 S△AOE:S△ACD= ．

13. 如图，已知反比例函数 y=kxk>0 的图象经过 Rt△OAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边 AB 相交于点 C，若 △OBC 的面积为 8，则 k 的值为 ．

14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，BD 为 AC 边上的中线，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接 BG，DF．若 AG=26，BG=10，则 CF 的长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 已知：△ABC．
求作：菱形 DBEC，使菱形的顶点 D 落在 AC 边上．
结论：

16. 解方程．
（1）解方程：x2−5x+1=0（配方法）．
（2）已知二次函数：y=mx2−12x+18 与 x 轴只有一个交点，求此交点坐标．

17. 在学习“轴对称现象”内容时，老师让同学们寻找身边的轴对称图形．小明利用手中的一副三角尺和一个量角器（如图所示）进行探究．
（1）小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是 （取三件中任意一件的可能性相同）．
（2）小明发现在 A，B 两把三角尺中各选一个角拼在一起（无重叠无缝隙）会得到一个更大的角，若每个角选取的可能性相同、请用画树状图或列表的方法说明拼成的角是钝角的概率是多少．

18. 一位橄榄球选手掷球时，橄榄球从出手开始行进的高度 ym 与水平距离 xm 之间的关系如图所示，已知橄榄球在距离原点 6 m 时，达到最大高度 7 m，橄榄球在距离原点 13 米处落地，请根据所给条件解决下面问题：
（1）求出 y 与 x 之间函数关系式．
（2）求运动员出手时橄榄球的高度．

19. 如图，山顶有一塔 AB．塔高 33 m，计划在塔的正下方沿直线 CD 开通穿山隧道 EF．从与 E 点相距 80 m 的 C 处测得 A，B 的仰角分别为 27∘，22∘，从与 F 点相距 50 m 的 D 处测得 A 的仰角为 45∘．求隧道 EF 的长度．（参考数据：tan22∘≈0.40，tan27∘≈0.51．）

20. 阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题．
公元前 3 世纪，古希腊学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂．
（1）【问题解决】
若工人师傅欲用撬棍动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为 1500 N 和 0.4 m．
（1）动力 FN 与动力臂 lm 有怎样的函数关系?当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头需要多大的力?
（2）若想使动力 FN 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?
（2）【数学思考】
请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力．

21. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，连接对角线 AC，过点 D 作 DE∥AC 与 BC 的延长线交于点 E，连接 AE 交 DC 于 F．
（1）求证：BC=CE．
（2）连接 BF，若 ∠DAF=∠FBE，且 AD=2CF，求证：四边形 ABCD 是正方形．

22. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为 52 米，宽为 28 米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为 640 平方米．
（1）求通道的宽是多少米?
（2）该停车场共有车位 64 个，据调查分析，当每个车位的月租金为 200 元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨 10 元，就会少租出 1 个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为 14400 元?

23. 问题提出：
如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
1．每次只能移动 1 个金属片；
2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针，最少移动多少次?
问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．
探究一：当 n=1 时，只需把金属片从 1 号针移到 3 号针，用符号 1,3 表示，共移动了 1 次．
探究二：当 n=2 时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用 2 号针作为“中间针”，移动的顺序是：
1．把第 1 个金属片从 1 号针移到 2 号针：
2．把第 2 个金属片从 1 号针移到 3 号针；
3．把第 1 个金属片从 2 号针移到 3 号针，
用符号表示为：1,21,32,3 共移动了 3 次．
探究三：当 n=3 时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为 n=2 的情形，移动的顺序是：
1．把上面两个金属片从 1 号针移到 2 号针；
2．把第 3 个金属片从 1 号针移到 3 号针；
3．把上面两个金属片从 2 号针移到 3 号针．，
其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为：1,31,23,2；1,3；2,12,31,3 共移动了 7 次．
（1）探究四：请仿照前面步骤进行解答：
当 n=4 时，把上面 3 个金属片作为一个整体，移动的顺序是： ．
（2）探究五：根据上面的规律你可以发现当 n=5 时，需要移动 ．
（3）探究六：把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针，最少移动 次．
（4）探究七：如果我们把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针，最少移动的次数记为 an，当 n≥2 时如果我们把 n−1 个金属片从 1 号针移到 3 号针，最少移动的次数记为 an−1，那么 an 与 an−1 的关系是 an= ．

24. 已知，如图 1，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC=6 cm，BC=8 cm，AB=10 cm，如图 2，点 G 从点 B 出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s，过点 G 作 GH⊥BC 交 AB 于点 H；将平行四边形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，△DEF 从图 1 的位置与点 G 同时出发，沿射线 BC 方向匀速运动，速度为 2 cm/s，当点 G 停止运动时，△DEF 也停止运动．设运动时间为 t0（1）当 t 为何值时，点 F 在线段 GD 的垂直平分线上?
（2）设四边形 AHGD 的面积为 Scm2，试确定 S 与 t 的函数关系式．
（3）当 t 为何值时，S 有最大值?
（4）连接 EG，试求当 AG 平分 ∠BAC 时，四边形 EGFD 与四边形 AHGE 面积之比．
答案
第一部分
1. D【解析】主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，
∴ 这个几何体为圆柱．
2. B【解析】绿球：60×25%=15（个）．
黑球：60×45%=27（个）．
∴ 白球：60−15−27=18（个）．
∴ 故选B．
3. C【解析】每次降价百分率为 x，
则第一次为 2001−x，
第二次为 2001−x2，
∴2001−x2=72．
故选：C．
4. C【解析】由平行线分线段成比例定理可得：
DEEF=ABBC=32，
∴ABAC=ABAB+BC=33+2=35，
故答案选C．
5. B
【解析】应分为两种情况讨论：
①当 16 为斜边时，此时外接圆直径为 8；
②当 16 和 12 为直角三角形直角边时，
根据勾股定理可知：162+122=202，
此时斜边长为 20，
故外接圆半径为 10．
故选B．
6. C【解析】由题意得：四边形 ABCD 为矩形，
∴OA=OB，
设 BE=x，则 EO=2BE=2x，
∴OB=OA=BE+OE=3x，
在 Rt△AEO 中，AE2+OE2=OA2，
∴25+4x2=9x2，
解得 x1=5，x2=−5（舍），
∴OA=3x=35．
故选C．
7. A【解析】∵ 正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 1:3，
∴AD:BG=1:3，
∵BG=12，
∴AD=BC=4，
∵AD∥BG ，
∴△OAD∽△OBG，
∴OA:OB=1:3，
解得：OA=2，
∴OB=6，
∴C 点坐标为：6,4．
故选：A．
8. C【解析】∵ 当 x=0 时， y=ax2−2x=0 ，即抛物线 y=ax2−2x 经过原点，故A错误；
∵ 反比例函数 y=abx 的图象在第一、三象限，
∴ab>0 ，即 a ， b 同号，
当 a<0 时，抛物线 y=ax2−2x 的对称轴 x=1a<0 ，对称轴在 y 轴左边，故D错误；
当 a>0 时， b>0 ，直线 y=bx+a 经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．
故选：C．
第二部分
9. 1
【解析】sin260∘+cs60∘⋅2−1=322+12×12=34+14=1.
10. 1.75
【解析】设小林身高为 x，
则 +0.2，
∴x=1.75．
故答案为：1.75．
11. 10∘
【解析】∵A，B，C，D 是 ⊙O 上四个点，
∴ 四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180∘，
∵∠ABC=140∘，
∴∠D=180∘−140∘=40∘，
∴∠AOC=2∠D=80∘，
∵AE⊥OC，
∴AC=CE，
∴∠AOC=∠COE=80∘，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=160∘，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OEA=12180∘−∠AOE=12×180∘−160∘=10∘．
12. 9:28
【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB=CD，AE∥CD，
∴△AOE∽△COD，
∴AOOC=AECD．
∵AE=3BE，
∴AECD=34，
∴AOOC=34．
且 S△AOES△COD=AECD2=916，
∵△AOD 和 △COD 以 AO，CO 为底时，高是相同的．
∴S△AODS△DOC=AOOC=34，
设 S△AOB=9S，
则 S△COD=16S，S△AOD=12S，
S△ACD=S△AOD+S△COD=28S．
∴S△AOB:S△ACD=9S:28S=9:28．
13. 163
【解析】过 D 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 E 点，
∵△ODE 的面积和 △OAC 的面积相等，
∴△OBC 的面积和四边形 DEAB 的面积相等且为 4．
设 D 点的横坐标为 x，纵坐标就为 kx，
∵D 为 OB 的中点，
∴EA=x，AB=2kx．
∴ 面积 DEAB 为：12kx+2kx⋅x=8，
∴k=163．
故答案为：163．
14. 12
【解析】∵AG∥BD，BD=FG，
∴ 四边形 BGFD 是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又 ∵ 点 D 是 AC 中点，
∴BD=DF=12AC，
∴ 四边形 BGFD 是菱形，
∴GF=BG=10，则 AF=26−10=16，AC=2×10=20，
∵ 在 Rt△ACF 中，∠CFA=90∘，
∴AF2+CF2=AC2，即 162+CF2=202，得：CF=12．
第三部分
15. 作图步骤如下：
分别以 B，C 为圆心，任意长度为半径画圆，
取两圆相交时的交点 M，N，
连接 M，N 交 BC 于 O 点，交 AC 于 D 点，
以 O 为圆心，OD 长度为半径画圆交 MN 于 E 点，
连接 BE，CE，
则四边形 DBEC 为菱形，如图．
16. （1）
x2−5x+1=0.x2−5x+522=−1+522.x−522=254−44=214.∴x−52=±212.∴x1=212+52=5+212.x2=−212+52=5−212.∴
原方程解为：
x1=5+212,x2=5−212.
（2） 与 x 轴只有 1 个交点，
∴Δ=b2−4ac=−122−4m×18=144−72m=0，
∴m=2，
∴y=2x2−12x+18=2x2−6x+9=2x−32，
∴y=0 时，2x−32=0，
∴x−3=0，
∴x=3．
∴ 交点为 3,0．
17. （1） 23
（2） 设角为 90∘，60∘，45∘，30∘ 分别为 A1，A2，B，C1，C2，D，
画树状图如图所示：
一共有 18 种结果，每种结果出现的可能性是相同的，
而其中可以拼成的这个角是钝角的结果有 12 种，
∴ 这个角是钝角的概率是 1218=23．
18. （1） 设橄榄球运动高度和水平距离满足的解析式为：y=ax−h2+k．
由题意可得：函数顶点坐标为 6,7，与 x 轴交点坐标为 13,0．
将 13,0 代入 y=ax−62+7 中得：49a+7=0，解得 a=−17．
∴ 解析式为 y=−17x−62+7．
（2） 令 x=0，y=−17×36+7=137．
答：运动员出手时高度为 137 m．
19. 如图，延长 AB 交 CD 于点 H，则 AH⊥CD．
在 Rt△ACH 中，∠ACH=27∘，
∵tan27∘=AHCH，
∴AH=CH⋅tan27∘．
在 Rt△BCH 中，∠BCH=22∘，
∵tan22∘=BHCH，
∴BH=CH⋅tan22∘，
∵AB=AH−BH，
∴CH⋅tan27∘−CH⋅tan22∘=33．
∴CH≈300．
∴AH=CH⋅tan27∘≈153．
在 Rt△ADH 中，∠D=45∘，
∵tan45∘=AHHD，
∴HD=AH=153．
∴EF=CD−CE−FD=CH+HD−CE−FD=300+153−80−50=323.
因此，隧道 EF 的长度约为 323 m．
20. （1） （1）根据“杠杆定律”有 FL=1500×0.4，
∴ 函数的解析式为 F=600L，
当 L=1.5 时，F=6001.5=400，
因此，撬动石头需要 400 N 的力．
（2）由（1）知 FL=600，
∴ 函数解析式可以表示为：l=600F，
当 F=400×12=200 时，l=600200=3，3−1.5=1.5m，
因此若用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 米．
（2） ∵ 撬棍工作原理遵循“杠杆定律”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，
设其为 k，则动力 F 与动力臂 L 的函数关系式为 F=kL，
根据反比例函数的性质可知，动力 F 随动力臂 l 的增大而减小，
∴ 动力臂越长越省力．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE∥AC，
∴ 四边形 ACED 是平行四边形，
∴AD=CE，
∴BC=CE．
（2） ∵ 四边形 ACED 是平行四边形，
∴AD∥CE，DF=FC=12DC，
∴∠DAF=∠FEB，
∵∠DAF=∠FBE，
∴∠FEB=∠FBE，
∴FB=FE，
∵BC=CE，
∴∠FCB=90∘，
∴ 平行四边形 ABCD 为矩形，
∵AD=2CF，CF=12DC，
∴AD=DC，
∴ 矩形 ABCD 为正方形．
即四边形 ABCD 为正方形．
22. （1） 如图．
设通道宽是 x m，则铺起砖部分矩形长 52−2xm，宽 28−2xm，
故
S=52−2x28−2x=640.
解得
x=34舍,x=6 m.
故通道宽 6 m．
（2） 设每个车位月租金上涨 m 元，
则单位月租金为 200+m 元，可租出 64−m10 个车位，
则
200+m64−m10=14400.
解得
m=400 或 40.
即当每个车位的月租金上涨 400 元或 40 元时，总租金为 14400 元．
23. （1） 1,3，1,2，3,2，1,3，2,1，2,3，1,3，1,2，3,2，3,1，2,1，3,2，1,3，1,2，3,2
【解析】n=4 时，把上面 3 个金属片作为一个整体：
1．把上面三个金属片从 1 号针移到 2 号针；
2．把第 4 个金属片从 1 号针移到 3 号针；
3．把上面三个金属片从 2 号针移到 3 号针其中 1 和 3 都需借助中间针；
当把上面三个金属片从 1 号移到 2 号需把前面两个金属片移到 3 号 1,3，
另一个金属片移到 2 号 1,2，再将两个金属移到 2 号 3,2，
而把前面 2 个金属片移到 3 号，
需 1 个移到 2 号 1,2，1 个移到 3 号 1,3，再将 2 号移到 3 号 2,3，
当把上面三个金属片从 2 号针移到 3 号针需把前面 2 个金属片移到 1 号 2,1，
另一个移到 3 号 2,3，再将 2 个移到 3 号 1,3，
而把前 2 个移到 1 号，一个移 1 号 2,1，一个移 3 号 2,3，再将 3 号移 1 号 3,1，
∴ 移动顺序为：1,3，1,2，3,2，1,3，2,1，2,3，1,3，1,2，3,2，3,1，2,1，3,2，1,3，1,2，3,2．
（2） 31
【解析】∵n=1 时，移动 1 次，
n=2 时，移动 3 次 =22−1，
n=3 时，移动 7 次 =23−1，
n=4 时，移动 15 次 24−1，
n=5 时，移动 25−1=31．
（3） 2n−1
（4） 2n−1
【解析】an=2n−1，an−1=2n−1−1，
∴an−an−1=2n−2n−1=2n−1．
24. （1） ∵ 点 F 在线段 GD 的垂直平分线上，
∴FG=FD．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DF=10，
∴FG=10．
∵BG=t，AE=CF=2t，
∴BF=BC+CF=8+2t
=BG+FG=10+t，
∴8+2t=10+t，
∴t=1．
（2） 连接 AG．
S四边形AHGD=S△AHG+S△ADG=12HG⋅CG+12AD⋅AC.
∵tan∠B=HGBG=ACBC=68=34，
∴HG=34t，CG=BC−BG=8−t，AD=AE+DE=2t+8，
∴S四边形AHGD=S△AHG+S△ADG=12×34t×8−t+12×2t+8×6=3t−38t2+6t+24=−38t2+9t+24.
∴S=−38t2+9t+240 （3） ∵S=−38t2+9t+240 ∴S 关于 t 的二次函数对称轴为 t=−92×−38=12，
∴ 当 0 ∴ 当 t=8 时，S 取得最大值为 72．
（4） ∵AG 平分 ∠BAC，
∴S△ABGS△ACG=ABAC=BGCG=106=53，
∴BG=58BC=58×8=5，CG=3，
∴AE=CF=10，FG=CG+CF=13，
∴HG=34BG=154，
∴S四边形EGFD=12DE+FG×EF=12×8+13×6=63,
S四边形AHGE=S△AHG+S△AEG=12HG×CG+12×AE×AC=12×154×3+12×10×6=458+30=2858,
∴S四边形EGFDS四边形AHGE=504285，
∴ 四边形 EGFD 与四边形 AHGE 面积之比为 504:285．