2019年浙江省温州市乐清市七校联考中考数学一模试卷

这是一份2019年浙江省温州市乐清市七校联考中考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在 −12，π，3，−2 这四个数中，最小的数是
A. −12B. πC. 3D. −2

2. 如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是
A. B.
C. D.

3. 计算 3x2+2x2 的结果
A. 5B. 5x2C. 5x4D. 6x2

4. 七一华源中学读书兴趣小组有 10 名成员，他们每星期课外阅读的时间情况如表．根据表中信息，求出该兴趣小组成员每个星期阅读时间的中位数和众数分别是
读书时间4小时5小时6小时7小时人数1342
A. 3，4B. 5，6C. 6，6D. 4，4

5. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，tanB=
A. 34B. 35C. 43D. 45

6. 不等式组 3x−1>−4,2x≤x+2 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

7. 从长度分别为 1，3，5，7 的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为
A. 12B. 13C. 14D. 15

8. 已知，如图等边三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 边上的点，且 AD=BE，AE 与 CD 交于点 F．AG⊥CD 于 G，则 AGAF 的值是
A. \（\sqrt 3\mathbin{：}2\）B. \（\sqrt 3\mathbin{：}3\）C. \（\sqrt 2\mathbin{：}2\）D. \（1\mathbin{：}2\）

9. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为 G，H，设 AG=x，图中阴影部分面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是
A. y=33x2B. y=43x2C. y=8x2D. y=9x2

10. 如图，在直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A1,−1，B−1,−1，C−1,1，D1,1．曲线 AA1A2A3⋯ 叫做“正方形的渐开线”，其中 AA1，A1A2，A2A3，A3A4，⋯ 的圆心依次是 B，C，D，A 循环，则点 A18 的坐标是
A. −35,1B. −37,1C. 39,−1D. −37,−1

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：x2−6x+9= ．

12. 已知圆锥的底面半径是 3 cm，母线长是 5 cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留 π）

13. 甲超市为了促销一种单价为 m 元的商品，在四月份连续两次都降价 20% 后，该商品现单价是 元．

14. 如图，把菱形 ABCD 沿折痕 AH 翻折，使 B 点落在 BC 延长线上的点 E 处，连接 DE，若 ∠B=30∘，则 ∠CDE= ∘．

15. 如图，在 △OAB 中，AO=AB，S△AOB=36，反比例函数 y=4xx>0 的图象与 OA 交于点 C，点 D 是函数 y=kxx>0 的图象一点，且 CD∥x 轴，若 ∠ADC=90∘，则 k 的值是 ．

16. 如图 1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图 2，是其衣架侧面示意图．MN 为衣架的墙体固定端，A 为固定支点，B 为滑动支点，四边形 DFGI 和四边形 EIJH 是菱形，且 AF=BF=CH=DF=EH．点 B 在 AN 上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点 A 和点 C 间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为 42 cm．当点 B 向点 A 移动 8 cm 时，外延长度为 90 cm．如图 3，当外延长度为 120 cm 时，则 BD 和 GE 的间距 PQ 长为 cm．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 解答：
（1）计算：16+−12−1+3cs30∘．
（2）化简：x+2x−2−x−42．

18. 如图，△ABC 为直角三角形，∠B=90∘，AC 边上取一点 D，使 CD=AB，分别过点 C 作 CE⊥BC，过 D 作 DE⊥AC，CE，DE 相交于 E．连接 AE．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若 ∠AED=20∘，∠ACE 的度数．

19. 为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m 的值是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有 2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取 2 名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的概率．

20. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，小正方形的顶点叫做格点，A，B 是网格中的两个格点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图：
（1）如图①，请在网格中找出格点 P，Q，连接 AP，BQ，使得 AP∥BQ，并且满足 APBQ=23；
（2）如图②，请在线段 AB 上找出点 P，使得 APBP=23．

21. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，以 AC 为直径作 ⊙O，D 为 ⊙O 上一点，连接 AD，BD，CD，OB，且 BD=AB．
（1）求证：OB∥CD；
（2）若 D 为弧 AC 的中点，求 tan∠BDC．

22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B 和点 C3,0，且图象过 D2,3，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点，过点 P 作 y 轴平行线分别交抛物线和 x 轴于点 E，F，连接 AE，过点 F 作 FG∥AE 交 AD 的延长线于点 G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 tanG=34，求点 E 的坐标；
（3）当 △AFG 是直角三角形时，求 DG 的长度．

23. 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中 a 的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润?最大利润是多少?
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了 10 元，但销售价格保持不变．商场购进了餐桌和餐椅共 200 张，应怎样安排成套销售的销售量（至少 10 套以上），使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同?请求出进货方案和销售方案．

24. 已知点 P 为 ∠MAN 边 AM 上一动点，⊙P 切 AN 于点 C，与 AM 交于点 D（点 D 在点 P 的右侧），作 DF⊥AN 于 F，交 ⊙O 于点 E．
（1）连接 PE，求证：PC 平分 ∠APE；
（2）若 DE=2EF，求 ∠A 的度数；
（3）点 B 为射线 AN 上一点，且 AB=8，射线 BD 交 ⊙P 于点 Q，sin∠A=13．在 P 点运动过程中，是否存在某个位置，使得 △DQE 为等腰三角形?若存在，求出此时 AP 的长；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】∵−12=12<−2=2，
∴−12>−2，则 π>3>−12>−2，
故最小的数是：−2．
2. A
3. B【解析】3x2+2x2=3+2x2=5x2.
4. C【解析】把这些数从小到大排列为：4，5，5，5，6，6，6，6，7，7，最中间两个数的平均数是：6+62=6 小时，则该兴趣小组成员每个星期阅读时间的中位数是 6 小时，
∵6 小时出现了 4 次，出现的次数最多，
∴ 该兴趣小组成员每个星期阅读时间的众数是 6 小时．
5. A
【解析】如图所示：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，
∴tanB=ACBC=34．
6. D【解析】由（1）得，x>−1，
由（2）得，x≤2，
故原不等式组的解集为：−17. C
8. A【解析】在 △CAD 与 △ABE 中，
AC=AB，∠CAD=∠ABE=60∘，AD=BE，
∴△CAD≌△ABE．
∴∠ACD=∠BAE．
∵∠BAE+∠CAE=60∘，
∴∠ACD+∠CAE=60∘．
∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60∘．
在直角 △AFG 中，
∵sin∠AFG=AGAF，
∴AGAF=32．
9. C【解析】设正方形的边长为 2a，
∴BC=2a，BE=a，
∵E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵EG⊥AF，FH⊥CE，
∴ 四边形 EHFG 是矩形，
∵∠AEG+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90∘，
∴∠AEG=∠BCE，
∴tan∠AEG=tan∠BCE，
∴AGEG=BEBC，
∴EG=2x，
∴ 由勾股定理可知：AE=5x，
∴AB=BC=25x，
∴CE=5x，
易证：△AEG≌△CFH，
∴AG=CH，
∴EH=EC−CH=4x，
∴y=EG⋅EH=8x2．
10. B
【解析】从图中可以看出 A1 的坐标是 −1,−3，
A2 的坐标是 −5,1，
A3 的坐标是 1,7，
A4 的坐标是 9,−1，
18÷4=4⋯2，
∴ 点 A18 的坐标是 A2 的坐标循环后的点．
依次循环，则 A18 的坐标在 y 轴上的是 1，
x 轴上的坐标是可以用 n=−1+2n（n 为自然数）表示．
那么 A18 实际上是当 n=18 时的数，
∴−1+2×18=−37．
A18 的坐标是 −37,1．
第二部分
11. x−32
【解析】x2−6x+9=x−32．
12. 15π
【解析】底面圆的半径为 3 cm，则底面周长 =6π cm，
侧面面积 =12×6π×5=15π cm2．
13. 0.64m
【解析】由题意，可得第一次降价后的价格为 1−20%m 元，
则第二次降价后的价格为 1−20%⋅1−20%m=0.64m 元．
14. 45
【解析】由题意可得 AB=AE，∠B=∠BEA=30∘，四边形 ABCD 为菱形，
∴∠B=∠ADC=30∘，AB=AD，
又 ∵∠B=∠BEA=30∘，
∴∠BAE=120∘，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A=180∘，即 ∠DAE=30∘，
又 ∵AB=AE，AB=AD，
∴AE=AD，即三角形 ADE 为等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=75∘，
∵∠ADC=30∘，
∴∠CDE=45∘．
15. 12
【解析】过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，延长 AD，交 x 轴于点 F，连接 OD，如图所示．
∵AO=AB，CD∥x 轴，∠ADC=90∘，
∴AF⊥OB，
∴S△AOF=12S△AOB=18．
∵ 反比例函数 y=kxx>0 的图象与 OA 交于点 C，点 D 是函数 y=kxx>0 的图象一点，
∴S△OCE=2，S△ODF=12k，
∵CE⊥x 轴，AF⊥x 轴，CD∥x 轴，
∴△OCE∽△OAF，
∴CEAF2=S△COES△AOF=218=19，
∵DF=CE，
∴DFAF=13，
∴S△ODFS△OAF=DFAF=12k18=13，
∴k=12．
16. 24
【解析】如图，作 FK⊥AB 于 K．
设 AB=2x cm，由题意，FK=7 cm，
当 AB=2x−8cm 时，FK=15 cm．
则有 AF2=x2+72=x−42+152，
∴x=24cm，
∴AF=72+242=25cm；
如图，当 OF=20 时，
在 Rt△DFO 中，OD=252−202=15cm，
∵PQ⊥GI，
∴12⋅FI⋅DG=DF⋅PQ，
∴PQ=12×40×3025=24cm．
第三部分
17. （1） 16+−12−1+3cs30∘=4−2+3×32=2+1.5=3.5.
（2） x+2x−2−x−42=x2−4−x2+8x−16=8x−20.
18. （1） ∵∠B=90∘，
∴∠BAC+∠ACB=90∘，
∵CE⊥BC，
∴∠DCE+∠ACB=90∘，
∴∠BAC=∠DCE，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=90∘，
∴∠B=∠CDE，
在 △ABC 和 △CDE 中，
∠BAC=∠DCE,CD=AB,∠B=∠CDE,
∴△ABC≌△CDEASA．
（2） ∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90∘，
∴∠DAE=90∘−∠AED=90∘−20∘=70∘，
∵△ABC≌△CDE，
∴AC=CE，
∴∠ACE=180∘−2∠CAE=180∘−70∘×2=40∘．
19. （1） 50；30%
（2） 50×20%=10（人），50×10%=5（人），如图所示：
（3） ∵ 选修书法的男同学有 5−2=3（名），
∴ 选修书法的 5 名同学中，有 3 名男同学，2 名女同学，
男1男2男3女1女2男1男2,男1男3,男1女1,男1女2,男1男2男1,男2男3,男2女1,男2女2,男2男3男1,男3男2,男3女1,男3女2,男3女1男1,女1男2,女1男3,女1女2,女1女2男1,女2男2,女2男3,女2女1,女2
所有等可能的情况有 20 种，其中抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的情况有 12 种，
则 P一男一女=1220=35．
20. （1） 线段 PA，BQ 如图所示（答案不唯一）．
（2） 取格点 E，F，连接 EF 交 AB 于点 P，点 P 即为所求．
21. （1） 连接 OD，延长 BO 交 AD 于点 E．
∵AO=OD，AB=BD，OB=OB，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠ABO=∠DBO，
∴∠AEB=90∘，
∵AC 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADC=90∘，
∴∠AEB=∠ADC，
∴OB∥CD．
（2） ∵D 为弧 AC 的中点，
∴∠DOC=∠DOA=90∘，∠DCO=∠DAO=45∘，AD=CD，
∵∠ACB=90∘，
∴OD∥BC，
∵OB∥CD，
∴ 四边形 ODCB 平行四边形，
∴OB=CD，∠BDC=∠DBE，
∴ 设 OE=x，则 DE=x，OD=2x，CD=2x，
∴BE=x+2x=3x，
∴tan∠BDC=tan∠DBE=13．
22. （1） 将 C3,0，D2,3 代入得 9a+3b+3=0,4a+2b+3=3,
解得 a=−1,b=2.
∴ 抛物线解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） 设点 Fm,0，则 Pm,3，Em,−m2+2m+3，
∵FG∥AE，
∴∠G=∠EAP，
AP=m，EP=−m2+2m，
在 Rt△AEP 中，tan∠EAP=EPAP=−m2+2mm=34，
∴m=54，
∴E54,6316．
（3） 若 △AFG 为直角三角形，则 ∠PAF+∠PGF=90∘．
设点 Fm,0，则 Pm,3，Em,−m2+2m+3，
∵AE∥FG，
∴∠EAP=∠G，
∴∠EAP+∠FAP=90∘，
∵△APE∽△FPA，
∴APFP=EPAP，则 m3=−m2+2mm，解得 m=32 或 0（舍去）；
∵APPG=EPPF，则 mPG=−m2+2m3，解得 PG=6．
∴DG=PG−PD=6−12=112．
23. （1） 根据题意，得：
600a=160a−110.
解得：
a=150.
经检验 a=150 符合实际且有意义．
（2） 设购进的餐桌为 x 张，则餐椅为 5x+20 张，
x+5x+20≤200.
解得：
x≤30.
设利润为为 w 元，则：
w=500×12x+270×12x+705x+20−2x−150x−405x+20=245x+600.
当 x=30 时，w最大值=7950．
（3） 设成套销售 n 套，零售桌子 y 张，零售椅子 z 张，
由题意得：
140n+110y+20z=7950,n+y+4n+z=200.
化简得：
14n+11y+2z=795,5n+y+z=200.∴4n+9y=395
，
则 y=395−4n9=43+8−4n9，
又 n≥10，
∴n=11,y=39,z=106, n=20,y=35,z=65, n=29,y=31,z=24.
24. （1） ∵AN 切 ⊙O 于点 C，
∴PC⊥AN，
∵DF⊥AN，
∴PC∥DF，
∴∠APC=∠PDE，∠EPC=∠PED，
∵PD=PE，
∴∠PED=∠PDE，
∴∠APC=∠EPC，
即 PC 平分 ∠APE．
（2） 如图 1 所示，作 PH⊥DE 于 H，
∵PD=PE，
∴DH=HE=EF=12HF=12PC=12PD，
∴sin∠DPH=12，
∴∠DPH=30∘，
∵PH∥AF，
∴∠PAC=∠DPH=30∘．
（3） ① 当 DQ=QE 时，如图 2 所示，
连接 PQ，可证得 PQ∥AB，
∴∠PDQ=∠DQP=∠DBA，
∵AD=AB=8，
设 PC=r，AP=3r，
则 AD=4r，4r=8，r=2，AP=3r=6，
② 当 DE=QE 时，如图 3 所示，
记 ⊙P 与 AD 的另一交点为 K，连接 KE，
则 ∠QDE=∠EQD=∠DKE=∠DAF，
在 Rt△ADF 中，DF=13AD=43r，AF=22DF=823r，
在 Rt△DBF 中，BF=122DF=23r，AB=AF−BF=723r=8，
r=1227，AP=3r=3627．
③ 当 DQ=DE 时，如图 4，连接 QK，连接 QE 交 AD 于 I，作 QG⊥KE 于点 G，
则 ∠GQE=∠IKE=∠A，
在 Rt△QGE 中，设 GE=2x，
则 QE=3GE=6x，IE=3x，QG=22GE=42x，
则 KG=KE−EG=7x，tan∠QKG=OGKG=427x=427，
∵∠BDF=∠QKE，
∴tan∠BDF=tan∠QKE，BF=427DF=16221r，AB=AF+BF=823r+16221r=8，r=726，AP=3r=722．
综上所述：AP 的长为 6 或 3627 或 722．