2020年上海市虹口区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市虹口区中考一模数学试卷（期末），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 若 csα=12，则锐角 α 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 BC=2，tanB=2，那么 AC=
A. 1B. 4C. 5D. 25

3. 抛物线 y=3x+12+1 的顶点所在象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

4. 已知抛物线 y=x2 经过 A−2,y1，B1,y2 两点，在下列关系式中，正确的是
A. y1>0>y2B. y2>0>y1C. y1>y2>0D. y2>y1>0

5. 已知 a，b 和 c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定 a∥b 的是
A. a=bB. a∥c，b∥c
C. a+b=0D. a+b=2c，a−b=3c

6. 如图，点 D 是 △ABC 的边 BC 上一点，∠BAD=∠C，AC=2AD，如果 △ACD 的面积为 15，那么 △ABD 的面积为
A. 15B. 10C. 7.5D. 5

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 a:b=2:3，且 a+b=10，那么 a= ．

8. 如果向量 a，b，x 满足关系式 2b−3a+x=0，那么用向量 a，b 表示向量 x= ．

9. 如果抛物线 y=1−ax2+1 的开口向下，那么 a 的取值范围是 ．

10. 沿着 x 轴正方向看，抛物线 y=−x−12 在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）．

11. 如果函数 y=m+1xm2−m+2 是二次函数，那么 m= ．

12. 如图，抛物线的对称轴为直线 x=1，点 P，Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，点 P 在点 Q 的右侧，如果点 P 的坐标为 4,0，那么点 Q 的坐标为 ．

13. 如图，点 A2,m 在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 α，如果 tanα=32．那么 m= ．

14. 已知 △ABC∽△A1B1C1，顶点 A，B，C 分别与 A1，B1，C1 对应，AC=12，A1C1=8，△ABC 的高 AD 为 6，那么 △A1B1C1 的高 A1D1 长为 ．

15. 如图，在梯形 AEFB 中，AB∥EF，AB=6，EF=10，点 C，D 分别在边 AE，BF 上且 CD∥AB，如果 AC=3CE，那么 CD= ．

16. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是 49，直角三角形中较小锐角 θ 的正切为 512，那么大正方形的面积是 ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=1，BC=2，点 D 为边 AB 上一动点，正方形 DEFG 的顶点 E，F 都在边 BC 上，连接 BG，tan∠DGB= ．

18. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，sinC=45，AB=9，AD=6，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，连接 EF，将 △BEF 沿着 EF 所在直线翻折，使 BF 的对应线段 BʹF 经过顶点 A，BʹF 交对角线 BD 于点 P，当 BʹF⊥AB 时，AP 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：4sin30∘ct30∘−tan45∘−tan260∘．

20. 在平面直角坐标系中，将抛物线 C1:y=x2−2x 向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位得到新抛物线 C2．
（1）求新抛物线 C2 的表达式；
（2）如图，将 △OAB 沿 x 轴向左平移得到 △OʹAʹBʹ，点 A0,5 的对应点 Aʹ 落在平移后的新抛物线 C2 上，求点 B 与其对应点 Bʹ 的距离．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，点 G 是 Rt△ABC 的重心，连接 BG 并延长交 AC 于点 D，过点 G 作 GE⊥BC 交边 BC 于点 E．
（1）如果 AC=a，AB=b，用 a，b 表示向量 BG；
（2）当 AB=12 时，求 GE 的长．

22. 某次台风来袭时，一棵笔直大树树干 AB（假定树干 AB 垂直于水平地面）被刮倾斜 7∘（即 ∠BABʹ=7∘）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面 D 处，测得 ∠CDA=37∘，AD=5 米，求这棵大树 AB 的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cs37=0.8，tan37≈0.75）

23. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 是边 BC 的中点，连接 AD．过点 C 作 CE⊥AD 于点 E，连接 BE．
（1）求证：BD2=DE⋅AD；
（2）如果 ∠ABC=∠DCE，求证：BD⋅CE=BE⋅DE．

24. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A−1,0，B 两点，与 y 轴交于点 C0,3，点 P 在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为 23．
（1）求抛物线的表达式以及点 P 的坐标；
（2）当三角形中一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍时，我们称 α 为此三角形的“特征角”．
①当 D 在射线 AP 上，如果 ∠DAB 为 △ABD 的特征角，求点 D 的坐标；
②点 E 为第一象限内抛物线上一点，点 F 在 x 轴上，CE⊥EF，如果 ∠CEF 为 △ECF 的特征角，求点 E 的坐标．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=4，sin∠ABC=35，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，过点 B 作 BE⊥AD 分别交射线 AD，AC 于点 E，F，连接 DF，过点 A 作 AG∥BD，交直线 BE 于点 G．
（1）当点 D 在 BC 的延长线上时，如果 CD=2，求 tan∠FBC；
（2）当点 D 在 BC 的延长线上时，设 AG=x，S△DAF=y，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写函数的定义域）；
（3）如果 AG=8，求 DE 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】∵csα=12，
∴α=60∘．
2. B【解析】如图，
在 Rt∠ACB 中，
∵∠C=90∘，
∴tanB=ACBC=2，
∴AC2=2，
∴AC=4．
3. B【解析】∵ 抛物线 y=3x+12+1，
∴ 该抛物线的顶点是 −1,1，在第二象限．
4. C【解析】∵ 抛物线 y=x2，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为 y 轴，
∴A−2,y1 关于 y 轴对称点的坐标为 2,y1．
又 ∵00．
5. A
【解析】A．该等式只能表示两 a，b 的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；
B．由 a∥c，b∥c 可以判定 a∥b，故本选项不符合题意．
C．由 a+b=0 可以判定 a，b 的方向相反，可以判定 a∥b，故本选项不符合题意．
D．由 a+b=2c，a−b=3c 得到 a=52c，b=−12c，则 a，b 的方向相反，可以判定 a∥b，故本选项不符合题意．
6. D【解析】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC=2AD，
∴S△BADS△BCA=ADAC2=14，
∴S△BADS△ACD=13，
∵△ACD 的面积为 15，
∴△ABD 的面积 13×15=5．
第二部分
7. 4
【解析】设 a=2k，b=3k，
∵a+b=10，
∴2k+3k=10，解得：k=2．
∴a=2k=2×2=4．
8. 23b−a
【解析】∵2b−3a+x=0，
∴2b−3a−3x=0，
∴3x=2b−3a，
∴x=23b−a．
9. a>1
【解析】∵ 抛物线 y=1−ax2+1 的开口向下，
∴1−a1，故答案为：a>1．
10. 右
【解析】因为抛物线 y=−x−12，
所以该抛物线的对称轴为 x=1，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，
所以在对称轴右侧的部分是下降的，
故答案为：右．
11. 2
【解析】∵ 函数 y=m+1xm2−m+2 是二次函数，
∴m2−m=2，
m−2m+1=0，
解得：m1=2，m2=−1，
∵m+1≠0，
∴m≠−1，
故 m=2．
12. −2,0
【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，点 P 的坐标为 4,0，
∴ 点 Q 的横坐标为 1×2−4=−2，
∴ 点 Q 的坐标为 −2,0．
13. 3
【解析】如图，作 AE⊥x 轴于 E．
∵A2,m，
∴OE=2，AE=m，
∵tanα=AEOE=32，
∴m2=32，
∴m=3．
14. 4
【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，AC=12，A1C1=8，
∴ 相似比为：128=32，
∵△ABC 的高 AD 为 6，
∴△A1B1C1 的高 A1D1 长为：6×23=4．
15. 9
【解析】如图，连接 BE 交 CD 于点 M．
∵AC=3CE，
∴CEAC=13，
∵AB∥EF，CD∥AB，
∴AB∥CD∥EF，
∴DFBD=CEAC=13，
∴CEAE=14，BDBF=34，
∵CM∥AB，
∴△ECM∽△EAB，
∴CMAB=CEAE，即 CM6=14，
∴CM=32，
∵MD∥EF，
∴△BMD∽△BEF，
∴MDEF=BDBF，即 MD10=34，
∴MD=152，
∴CD=CM+MD=32+152=9．
16. 169
【解析】由题意知，小正方形的边长为 7．
设直角三角形中较小边长为 a，较长的边为 b，
则 tanθ=短边:长边=a:b=5:12．
∴b=125a. ⋯⋯①
又 ∵b=a+7. ⋯⋯②
联立 ①②，得 a=5，b=12．
∴ 大正方形的面积是 a2+b2=25+144=169．
17. 13
【解析】如图，DE 与 BG 交于点 O，
∵ 正方形 DEFG，
∴∠DEB=∠EDG=∠GFB=90∘，GF=DE=EF，
∴△BDE∽△ABC，
∴DEBE=ACBC=12，
∴GFBF=13，
∵∠DOG=∠EOB，
∴△DOG∽△EOB∽△FGB，
∴DODG=EOEB=GFBF=13，
∴tan∠DGB=13．
18. 247
【解析】如图，
∵FBʹ⊥AB，
∴∠BAF=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形，
∴∠ABC=∠C，
∴sin∠ABC=sin∠C=AFBF=45，
设 AF=4k，BF=5k，则 AB=9=3k，
∴k=3，
∴AF=12，BF=15，
∵AD∥BF，
∴△APD∽△FPB，
∴PAPF=ADBF=615=25，
∴PA=27AF=247，
故答案为 247．
第三部分
19. 原式=4×123−1−32=3−2．
20. （1） 由抛物线 C1:y=x2−2x=x−12−1 知，将其向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位得到新抛物线 C2 的表达式是：y=x−1+22−1−3，即 y=x+12−4．
（2） 由平移的性质知，点 A 与点 Aʹ 的纵坐标相等，
所以将 y=5 代入抛物线 C2，得 x+12−4=5，则 x=−4 或 x=2（舍去），
所以 AAʹ=4，
根据平移的性质知：BBʹ=AAʹ=4，
即点 B 与其对应点 Bʹ 的距离为 4 个单位．
21. （1） ∵BD=BA+AD，
∵ 点 G 是 Rt△ABC 的重心，
∴AD=12AC，
∵AC=a，AB=b，
∴AD=12a，
∴BD=−b+12a，
∴BG=23BD=23−b+12a=−23b+13a．
（2） 过点 D 作 DF⊥BC．
∵GE∥DF，
∴GEDF=23，
∵DF∥AB，D 是 AC 的中点，
∴DF=12AB，
∵AB=12，
∴DF=6，
∴GE=4．
22. 过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，
则 ∠AEC=∠AED=90∘．
∵ 在 Rt△AED 中，∠ADC=37∘，
∴cs37∘=DEAD=DE5=0.8，
∴DE=4，
∵sin37∘=AEAD=AE5=0.6，
∴AE=3．
在 Rt△AEC 中，
∵∠CAE=90∘−∠ACE=90∘−60∘=30∘，
∴CE=33AE=3，
∴AC=2CE=23，
∴AB=AC+CE+ED=23+3+4=33+4（米）．
答：这棵大树 AB 原来的高度是 33+4 米．
23. （1） 如图 1 中，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=∠ACD=90∘，
∵∠CDE=∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CDAD=DECD，
∴CD2=DE⋅DA，
∵DB=CD，
∴BD2=DE⋅DA．
（2） 如图 2 中，
∵BD2=DE⋅DA，
∴BDDE=DABD，
∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠DEB=∠ABC，
∵∠ABD=∠ECD，
∴∠BED=∠BCE，
∵∠EBD=∠CBE，
∴△EBD∽△CBE，
∴BDBE=DECE，
∴BD⋅CE=BE⋅DE．
24. （1） 抛物线 y=−x2+bx+c 与 y 轴交于点 C0,3，则 c=3．
将点 A 的坐标代入抛物线表达式并解得 b=2，
故抛物线的表达式为 y=−x2+2x+3，点 P1,23．
（2） ①由点 A，P 的坐标知，∠PAB=60∘．
直线 AP 的表达式为 y=3x+1. ⋯⋯①
当 α=60∘，∠DBA=β=12α=30∘ 时，△ABD 为直角三角形，
由面积公式得：yD×AB=AD⋅BD，即 yD×4=2×23，解得：yD=3，
点 D 在 AP 上，故点 D0,3；
当 ∠ADB=β 时，则 ∠ABD=90∘，故点 D3,43．
综上，点 D 的坐标为 0,3 或 3,43．
② ∠CEF 为 △ECF 的特征角，则 △CEF 为等腰直角三角形．
过点 E 分别作 x 轴、 y 轴的垂线交于点 M，N，
则 △CNE≌△EMFAAS，则 EN=EM，
即 x=y，x=y=−x2+2x+3，解得：x=1+132．
故点 E1+132,1+132．
25. （1） ∵∠ACB=90∘，BC=4，sin∠ABC=35，
∴ 设 AC=3x，AB=5x，
∴3x2+16=5x2，
∴x=1，即 AC=3，
∵BE⊥AD，
∴∠AEF=90∘，
∵∠AFE=∠CFB，
∴∠DAC=∠FBC，
∴tan∠FBC=tan∠DAC=DCAC=23．
（2） ∵AG∥BD，
∴∠AGF=∠CBF，
∴tan∠AGF=tan∠CBF，
∴AFAG=CFBC，AGBC=AFCF，
∴x4=3−CFCF，
∴CF=124+x．
∴AF=3−CF=3−124+x=3x4+x．
∵∠EAF=∠CBF，
∴CDAC=CFBC，
∴CD=94+x，
∴S△DAF=12AF⋅CD=12×3x4+x×94+x=27x24+x2．
（3） ①当点 D 在 BC 的延长线上时，如图 1．
∵AG=8，BC=4，AG∥BD，
∴AGBC=AFCF=21，
∴AF=2CF，
∵AC=3，
∴AF=2，CF=1，
∴tan∠AGE=tan∠CBF=CFBC=14，
∴AEGE=14，
设 AE=x，GE=4x，
∴x2+16x2=82，解得 x=81717，即 AE=81717．
同理 tan∠DAC=tan∠CBF，
∴DCAC=14，
∴DC=34，
∴AD=AC2+DC2=32+342=3417．
∴DE=AD−AE=3417−81717=191768；
②当点 D 在 BC 的边上时，如图 2．
∵AG∥BD，AG=8，BC=4，
∴AGBC=AFCF=84=21．
∴AF=6，
∵∠EAF=∠CBF=∠ABC，
∴cs∠EAF=cs∠ABC，
∴6AE=54，
∴AE=245，同理 ACAD=BCAB，
∴3AD=45，
∴AD=154．
∴DE=AE−AD=245−154=2120．
综合以上可得 DE 的长为 191768 或 2120．