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2022年广东省深圳市龙华区中考数学二模试卷
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这是一份2022年广东省深圳市龙华区中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市龙华区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）现实生活中经常用正数和负数来表示具有相反意义的量．如果收入80元记作+80元，那么﹣20元表示（ ）
A．支出80元 B．收入80元 C．支出20元 D．收入20元
2．（3分）在厦门举办的金砖国家领导人第九次会晤和新兴市场国家与发展中国家对话会上，有一套瓷器餐具“先生瓷•海上明珠”令人瞩目．如图是餐具“先生瓷•海上明珠”中的一个瓷碗．关于这个瓷碗的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．（3分）根据统计，某奥林匹克旗舰店销售额从2月初开始猛增，在开幕式2月4日当天达到最高值，达到1160万元．其中数据1160万用科学记数法表示为（ ）
A．0.116×104万 B．1.16×103万
C．11.6×102万 D．116×10万
4．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a3 B．a6÷a2＝a4
C．（a3）2＝a6 D．（a+b）2＝a2+b2
5．（3分）如图，∠1＝∠2＝58°，根据尺规作图痕迹，可得∠ADB的度数是（ ）
A．58° B．60° C．61° D．122°
6．（3分）4月8日起，深圳“分级、分区、分批”有序推进各级各类学校（园）返校复课．学校要求学生每日测量体温．某同学连续14天的体温情况如表所示，则该同学这14天的体温数据的众数和中位数分别是（ ）
体温（℃）
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
天数（天）
1
4
3
3
2
1
A．36.3和36.4 B．36.3和36.45
C．36.3和36.5 D．36.7和36.3
7．（3分）某城市在旧城改造过程中，需要整修一段全长3000m的道路．为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成任务，若设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．平行四边形是中心对称图形
C．绝对值相等的两个数相等
D．抛物线y＝x2﹣2x与坐标轴有3个不同的交点
9．（3分）如图，一次函数y＝2x+3的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（ ）
A．（，2） B．（﹣1，1）
C．（，2）或（﹣1，1） D．不存在
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM，MC，BD．下列结论中：
①DM⊥MC；②；③当DM＝DA时，△DMN≌△CBN；④当∠DNM＝45°时，tan∠A．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）
11．（3分）分解因式：3﹣3x2＝ ．
12．（3分）一道单项选择题有A、B、C、D四个备选答案，当你不会做的时候，从中随机地选一个答案，你答对的概率为 ．
13．（3分）如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为 cm．
[参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]
14．（3分）如图，点A是反比例函数y（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分。）
16．（5分）计算：．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．
18．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某学校组织了“冬奥知识知多少”竞赛活动，并随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，共分为六个等级：A+，A，B+，B，C+，C，并绘制了如下不完整的统计图．
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数为 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“A等级”所在扇形的圆心角是 °；
（4）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对冬奥知识的了解程度为“A+和A等级”的学生约有 人．
19．（8分）如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝2∠EAC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
20．（8分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，0）．
（1）b＝ （用含a的代数式表示）；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴的另一交点为B，且AB＝3．求a的值；
（3）在（2）的条件下，当a为整数时，记抛物线的顶点为M．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线OM上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线的解析式．
22．（10分）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，当∠BEF＝25°，则∠FEA'＝ °．
【特例探究】如图2，连接DF，当点A'恰好落在DF上时，求证：AE＝2A'F．
【深入探究】如图3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
【拓展探究】如图4，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
2022年广东省深圳市龙华区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）现实生活中经常用正数和负数来表示具有相反意义的量．如果收入80元记作+80元，那么﹣20元表示（ ）
A．支出80元 B．收入80元 C．支出20元 D．收入20元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量即可得出答案．
【解答】解：﹣20元表示支出20元．
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）在厦门举办的金砖国家领导人第九次会晤和新兴市场国家与发展中国家对话会上，有一套瓷器餐具“先生瓷•海上明珠”令人瞩目．如图是餐具“先生瓷•海上明珠”中的一个瓷碗．关于这个瓷碗的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【解答】解：这个瓷碗的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3．（3分）根据统计，某奥林匹克旗舰店销售额从2月初开始猛增，在开幕式2月4日当天达到最高值，达到1160万元．其中数据1160万用科学记数法表示为（ ）
A．0.116×104万 B．1.16×103万
C．11.6×102万 D．116×10万
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1160万＝1.16×103万．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a3 B．a6÷a2＝a4
C．（a3）2＝a6 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故本选项不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故本选项不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）如图，∠1＝∠2＝58°，根据尺规作图痕迹，可得∠ADB的度数是（ ）
A．58° B．60° C．61° D．122°
【分析】根据作图过程可得AD是∠BAC的平分线，根据∠1＝∠2＝58°，可得AC∥BD，进而可以解决问题．
【解答】解：根据作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠1＝∠2＝58°，
∴AC∥BD，
∴∠ADB＝∠CAD，
∵∠1＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣58°＝122°，
∴∠ADB＝∠CADBAC＝61°，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
6．（3分）4月8日起，深圳“分级、分区、分批”有序推进各级各类学校（园）返校复课．学校要求学生每日测量体温．某同学连续14天的体温情况如表所示，则该同学这14天的体温数据的众数和中位数分别是（ ）
体温（℃）
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
天数（天）
1
4
3
3
2
1
A．36.3和36.4 B．36.3和36.45
C．36.3和36.5 D．36.7和36.3
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解即可．
【解答】解：出现次数最多的数36.3℃，
所以这组数据的众数为36.3℃，
这组数据的中位数是第7、8个数据的平均数，
所以这组数据的中位数为36.4（℃）．
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的定义．
7．（3分）某城市在旧城改造过程中，需要整修一段全长3000m的道路．为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成任务，若设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】关系式为：原计划用的时间﹣实际用的时间＝10，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意可列方程为：，
故选：D．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程；得到关于工作时间的关系式是解决本题的关键．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．平行四边形是中心对称图形
C．绝对值相等的两个数相等
D．抛物线y＝x2﹣2x与坐标轴有3个不同的交点
【分析】分别根据对顶角的定义，中心对称图形的定义，绝对值的性质已经二次函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．相等的角不一定是对顶角，故本选项不合题意；
B．平行四边形是中心对称图形，说法正确，故本选项符合题意；
C．绝对值相等的两个数不一定相等，如1和﹣1，故本选项不合题意；
D．抛物线y＝x2﹣2x与坐标轴有2个不同的交点，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，对顶角的定义，二次函数的性质以及绝对值的性质，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．
9．（3分）如图，一次函数y＝2x+3的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（ ）
A．（，2） B．（﹣1，1）
C．（，2）或（﹣1，1） D．不存在
【分析】设P（m，2m+3），根据矩形OCPD的面积列方程，即可求出点P的坐标．
【解答】解：设P（m，2m+3），
根据题意，得矩形OCPD的面积：（﹣m）（2m+3）＝1，
解方程，得m＝﹣1或m，
∴P点坐标（﹣1，1）或（，2），
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM，MC，BD．下列结论中：
①DM⊥MC；②；③当DM＝DA时，△DMN≌△CBN；④当∠DNM＝45°时，tan∠A．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】延长CM交DA的延长线于点E，如图，利用平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，再证明△AEM≌△BCM得到AE＝BC，ME＝MC，则DE＝DC＝AB，根据等腰三角形的性质得到DM⊥MC，则可对①进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由BM∥CD得到2，利用三角形面积公式，设△BMN的面积为S，则S△DNM＝2S，S△CDN＝2S△DNM＝4S，所以S△DBM＝3S，而S△ADM＝S△DBM＝3S，则可对②进行判断；当DM＝DA时，△ADM为等边三角形，则可计算出∠MDB＝30°，∠BCN＝30°，然后利用“AAS”可判断△DMN≌△CBN，则可对③进行判断；当∠DNM＝45°时，过D点作DF⊥AM于F，MH⊥CD于H，如图，利用△DMN为等腰直角三角形可设MN＝DM＝x，则CN＝2MN＝2x，利用勾股定理计算出CDx，则ADx，利用面积法计算出MHx，则DF＝MHx，接着利用勾股定理计算出AFx，所以tan∠DAF，于是可对④进行判断．
【解答】解：延长CM交DA的延长线于点E，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠E＝∠BCM，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM，
在△AEM和△BCM中，
，
∴△AEM≌△BCM（AAS），
∴AE＝BC，ME＝MC，
∵AB＝2AD，
∴DE＝DC＝AB，
∴DM⊥MC．所以①正确；
∵BM∥CD，
∴2，
设△BMN的面积为S，则S△DNM＝2S，
∴S△CDN＝2S△DNM＝4S，
∴S△DBM＝S△DNM+S△BMN＝2S+S＝3S，
而AM＝BM，
∴S△ADM＝S△DBM＝3S，
∴；所以②正确；
当DM＝DA时，
∴DA＝AM＝DM＝BC，
∴△ADM为等边三角形，
∴∠DAM＝∠DMA＝60°，
∴∠DMB＝120°，∠MBC＝120°，
∴∠MDB＝30°，∠BCN＝30°，
在△DMN和△CBN中，
，
∴△DMN≌△CBN（AAS），所以③正确；
当∠DNM＝45°时，过D点作DF⊥AM于F，MH⊥CD于H，如图，
∵∠DMN＝90°，
∴△DMN为等腰直角三角形，
设MN＝DM＝x，
∴CN＝2MN＝2x，
在Rt△DMC中，CDx，
∴ADCDx，
∵MH•CDDM•CM，
∴MHx，
∵AB∥CD，
∴DF＝MHx，
在Rt△ADF中，AFx，
∴tan∠DAF，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．也考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）
11．（3分）分解因式：3﹣3x2＝ 3（1+x）（1﹣x） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：3﹣3x2
＝3（1﹣3x2）
＝3（1+x）（1﹣x），
故答案为：3（1+x）（1﹣x）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．（3分）一道单项选择题有A、B、C、D四个备选答案，当你不会做的时候，从中随机地选一个答案，你答对的概率为 ．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：共有4种等可能结果，其中正确的答案只有1种，
所以答对的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（3分）如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为 6.4 cm．
[参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝32.7°，BC＝10cm，
∴AC＝BC•tan32.7°≈10×0.64＝6.4（cm），
∴肿瘤在皮下的深度AC约为6.4cm，
故答案为：6.4．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（3分）如图，点A是反比例函数y（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】连接OA，根据，△BCD的面积为2，即可求得△COD的面积为4，通过证得△ABD∽△COD，求得S△ABD＝1，进一步求得S△AOD＝2，得到S△AOB＝3，根据k的几何意义，可得|k|＝3，根据图象可知k＜0，即可求出k的值．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵，△BCD的面积为2，
∴△COD的面积为4，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥OC，
∴△ABD∽△COD，
∴（）2，
∴S△ABD＝1，
∵，
∴S△AOD＝2，
∴S△AOB＝3，
∵S△ABO|k|，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
根据图象可知，k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形的面积，反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为 32 ．
【分析】延长AO交BC于点E，延长CB到F使BF＝BC，则BD是△CFO′的中位线，BDFO′，点F、A、O′在同一条直线上时，FO′最长，此时BD的值最大，求出FO′的值，即可求出BD的最大值．
【解答】解：如图，延长AO交BC于点E，延长CB到F使BF＝BC，
∵BF＝BC，点D为线段CO′的中点，
∴BD是△CFO′的中位线，
∴BDFO′，
∵将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，
∴点O′在以A为圆心、AO为半径的圆上运动，
当点F、A、O′在同一条直线上时，FO′最长，此时BD的值最大，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，
∴BE＝ECBC＝8，AE⊥BC，
∴AE6，
∴AO＝AO′AE＝4，
∵BF＝BC＝16，
∴FE＝FB+BE＝16+8＝24，
∴AF6，
∴FO′＝FA+AO′＝64，
∴BDFO′（64）＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握三角形的重心的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，性质的性质，勾股定理，适当添加辅助线和辅助圆是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共55分。）
16．（5分）计算：．
【分析】先求出零指数幂、负整数指数幂，算术平方根，将特殊角三角函数值代入，再合并即可．
【解答】解：原式＝1﹣4+33
＝﹣3．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂，算术平方根，特殊角三角函数值等相关知识．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．
【分析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
•
，
当x＝1时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某学校组织了“冬奥知识知多少”竞赛活动，并随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，共分为六个等级：A+，A，B+，B，C+，C，并绘制了如下不完整的统计图．
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数为 200 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“A等级”所在扇形的圆心角是 129.6 °；
（4）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对冬奥知识的了解程度为“A+和A等级”的学生约有 1800 人．
【分析】（1）由B等级的人数和其所占的百分比即可求出本次调查抽取的学生人数；
（2）由B+等级所占的百分比求出B+等级的人数，即可补全条形统计图；
（3）由A等级所占的百分比即可得扇形统计图中“A等级”所在扇形的圆心角；
（4）由“A+和A等级”所占的百分比乘以该校学生总数即可求解．
【解答】解：（1）本次抽样的学生人数为24÷12%＝200（人），
故答案为：200；
（2）B+等级的人数为：200×20%＝40（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）扇形统计图中“A等级”所在扇形的圆心角是360°129.6°，
故答案为：129.6；
（4）估计该校学生对冬奥知识的了解程度为“A+和A等级”的学生约有：30001800（人）
故答案为：1800．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19．（8分）如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝2∠EAC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
【分析】（1）由切线的性质得到∠COE+∠C＝90°，再证得∠D＝∠COE，进而得到∠D+∠C＝90°，即可证得AD是⊙O的切线；
（2）根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵OA＝OE，
∴∠EAC＝∠AEO，
∵∠COE＝∠EAC+∠AEO＝2∠EAC，
∵∠D＝2∠EAC，
∴∠D＝∠COE，
∵⊙O与CD相切于点E，
∴∠OEC＝90°，
∴∠COE+∠C＝90°，
∴∠D+∠C＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠D＝90°，
∴DA⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得，∠BOE＝∠D＝60°，
∴∠C＝30°，
∴OC＝2OE＝2×4＝8，
在Rt△OCE中，
CE4，
∴阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形OBEOE•CE8．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，扇形的面积公式，圆周角定理，证得∠D＝∠COE是解决问题的关键．
20．（8分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
【分析】（1）设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，由题意：某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由题意：两种笔记本的总利润不少于2348元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，
由题意得：，
解得：，
答：购进了A种笔记本150本，购进了b种笔记本200本；
（2）由题意得：20m+25m+（150﹣m）×20×0.7+（200﹣m）×15﹣4800≥2348，
解得：m≥128，
答：m的最小值为128．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，0）．
（1）b＝ 2a+1 （用含a的代数式表示）；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴的另一交点为B，且AB＝3．求a的值；
（3）在（2）的条件下，当a为整数时，记抛物线的顶点为M．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线OM上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线的解析式．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线的解析式便可得结果；
（2）求出B点的所有坐标，再将A、B点坐标代入抛物线的解析式列出方程组解答便可；
（3）根据题意求得原抛物线的解析式及顶点M的坐标，再用待定系数法求出OM的解析式，设出新抛物线的解析式，代入原点坐标便可求得结果．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+2，得4a﹣2b+2＝0，
∴b＝2a+1，
故答案为：2a+1；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣2，0），B两点，且AB＝3，
∴B（﹣5，0）或（1，0），
当B点坐标为（﹣5，0）时，有，
解得，
当B点坐标为（1，0）时，有，
解得，
综上，a或﹣1；
（3）在（2）的条件下，当a为整数时，则a＝﹣1，b＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x）2，
∴顶点M（，），
设直线OM的解析式为：y＝mx，则m，
解得m，
∴直线OM的解析式为：yx，
∵平移后的抛物线的顶点在直线OM上，
∴可设新抛物线的顶点M′的坐标为（t，t），
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣t）2t，
∵平移后的抛物线恰好经过原点，
∴0＝﹣t2t，
解得t＝0或，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2或y＝﹣（x）2．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，当∠BEF＝25°，则∠FEA'＝ 25 °．
【特例探究】如图2，连接DF，当点A'恰好落在DF上时，求证：AE＝2A'F．
【深入探究】如图3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
【拓展探究】如图4，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
【分析】【问题背景】：由余角的性质和折叠的性质可求解；
【特例探究】：由“AAS“可证△BEF≌△A'EF，可得BE＝A'E＝AE，A'F＝BF，由锐角三角函数可求解；
【深入探究】：由“AAS“可证△BEF≌△A'EF，可得BE＝A'E＝AE，A'F＝BF，由锐角三角函数可求解；
【拓展探究】：设AE＝a＝A'E＝A'H＝EH＝EN，BN＝b，可得AB＝2a+b＝AD＝A'D，通过证明△DEA'∽△EFH，可得，可求解．
【解答】【问题背景】：解：∵EF⊥DE，∠BEF＝25°，
∴∠AED＝65°，
∵将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，
∴∠AED＝∠A'ED＝65°，
∴∠FEA'＝25°，
故答案为：25；
【特例探究】：证明：∵将△ADE沿直线DE折叠后，当点A'恰好落在DF上时，
∴AE＝A'E，∠A＝∠DA'E＝90°，
∴∠B＝∠EA'F＝90°，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠DEA'+∠FEA'，
∴∠BEF＝∠FEA'，
又∵EF＝EF，
∴△BEF≌△A'EF（AAS），
∴BE＝A'E＝AE，A'F＝BF，
∴AEAD，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠AED+∠ADE，
∴∠BEF＝∠ADE，
∴tan∠ADE＝tan∠BEF，
∴BE＝2BF，
∴AE＝2A'F；
【深入探究】：∵将△ADE沿直线DE折叠后，当点A'恰好落在DF上时，
∴AE＝A'E，∠A＝∠DA'E＝90°，
∴∠B＝∠EA'F＝90°，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠DEA'+∠FEA'，
∴∠BEF＝∠FEA'，
又∵EF＝EF，
∴△BEF≌△A'EF（AAS），
∴BE＝A'E＝AEAB，A'F＝BF，
∵AD＝mAB，
∴AEAD，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠AED+∠ADE，
∴∠BEF＝∠ADE，
∴tan∠ADE＝tan∠BEF，
∴BE＝2mBF，
∴AE＝2mA'F；
【拓展探究】：如图4，在BE上截取BF＝BN，连接NF，在A'F上截取FH＝FN，连接EH，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝AD，∠A＝120°，
∵∠B＝60°，BF＝BN，
∴△BNF是等边三角形，
∴BN＝BF＝NF，∠B＝∠BFN＝∠BNF＝60°，
∴∠ENF＝120°，
设∠BEF＝x，
∵∠DEF＝∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠BFE＝120°﹣x，∠AED＝60﹣x，
∴∠NFE＝60°﹣x，
∵∠DEB＝∠A+∠ADE＝∠DEF+∠BEF，
∴∠ADE＝∠BEF＝x，
∵将△ADE沿直线DE折叠后，当点A'恰好落在DF上时，
∴AE＝A'E，∠A＝∠DA'E＝120°，∠ADE＝∠A'DE＝x，∠DEA＝∠DEA'＝60﹣x，
∴∠EFA'＝60﹣x，
∴∠EFN＝∠EFH，
又∵EF＝EF，FN＝FH，
∴△EFH≌△EFN（SAS），
∴EN＝EH，∠BEF＝∠FEH＝x，
∵∠BEF+∠AED＝60°，
∴∠FEH+∠DEA'＝60°，
∴∠A'EH＝60°，
又∵∠EA'H＝180°﹣∠EA'D＝60°，
∴△A'EH是等边三角形，
∴A'E＝EH＝A'H，
∴设AE＝a＝A'E＝A'H＝EH＝EN，BN＝b，
∴AB＝2a+b＝AD＝A'D，
∵∠A'DE＝∠FEH＝x，∠EFH＝∠DEA'＝60°﹣x，
∴△DEA'∽△EFH，
∴，
∴，
∴ab+b，（负值舍去），
∴AEb+b，A'F＝a+b＝2bb，
∴A'FAE．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．
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2022年广东省深圳市龙华区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）现实生活中经常用正数和负数来表示具有相反意义的量．如果收入80元记作+80元，那么﹣20元表示（ ）
A．支出80元 B．收入80元 C．支出20元 D．收入20元
2．（3分）在厦门举办的金砖国家领导人第九次会晤和新兴市场国家与发展中国家对话会上，有一套瓷器餐具“先生瓷•海上明珠”令人瞩目．如图是餐具“先生瓷•海上明珠”中的一个瓷碗．关于这个瓷碗的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．（3分）根据统计，某奥林匹克旗舰店销售额从2月初开始猛增，在开幕式2月4日当天达到最高值，达到1160万元．其中数据1160万用科学记数法表示为（ ）
A．0.116×104万 B．1.16×103万
C．11.6×102万 D．116×10万
4．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a3 B．a6÷a2＝a4
C．（a3）2＝a6 D．（a+b）2＝a2+b2
5．（3分）如图，∠1＝∠2＝58°，根据尺规作图痕迹，可得∠ADB的度数是（ ）
A．58° B．60° C．61° D．122°
6．（3分）4月8日起，深圳“分级、分区、分批”有序推进各级各类学校（园）返校复课．学校要求学生每日测量体温．某同学连续14天的体温情况如表所示，则该同学这14天的体温数据的众数和中位数分别是（ ）
体温（℃）
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
天数（天）
1
4
3
3
2
1
A．36.3和36.4 B．36.3和36.45
C．36.3和36.5 D．36.7和36.3
7．（3分）某城市在旧城改造过程中，需要整修一段全长3000m的道路．为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成任务，若设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．平行四边形是中心对称图形
C．绝对值相等的两个数相等
D．抛物线y＝x2﹣2x与坐标轴有3个不同的交点
9．（3分）如图，一次函数y＝2x+3的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（ ）
A．（，2） B．（﹣1，1）
C．（，2）或（﹣1，1） D．不存在
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM，MC，BD．下列结论中：
①DM⊥MC；②；③当DM＝DA时，△DMN≌△CBN；④当∠DNM＝45°时，tan∠A．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）
11．（3分）分解因式：3﹣3x2＝ ．
12．（3分）一道单项选择题有A、B、C、D四个备选答案，当你不会做的时候，从中随机地选一个答案，你答对的概率为 ．
13．（3分）如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为 cm．
[参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]
14．（3分）如图，点A是反比例函数y（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分。）
16．（5分）计算：．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．
18．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某学校组织了“冬奥知识知多少”竞赛活动，并随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，共分为六个等级：A+，A，B+，B，C+，C，并绘制了如下不完整的统计图．
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数为 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“A等级”所在扇形的圆心角是 °；
（4）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对冬奥知识的了解程度为“A+和A等级”的学生约有 人．
19．（8分）如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝2∠EAC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
20．（8分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，0）．
（1）b＝ （用含a的代数式表示）；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴的另一交点为B，且AB＝3．求a的值；
（3）在（2）的条件下，当a为整数时，记抛物线的顶点为M．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线OM上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线的解析式．
22．（10分）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，当∠BEF＝25°，则∠FEA'＝ °．
【特例探究】如图2，连接DF，当点A'恰好落在DF上时，求证：AE＝2A'F．
【深入探究】如图3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
【拓展探究】如图4，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
2022年广东省深圳市龙华区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）现实生活中经常用正数和负数来表示具有相反意义的量．如果收入80元记作+80元，那么﹣20元表示（ ）
A．支出80元 B．收入80元 C．支出20元 D．收入20元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量即可得出答案．
【解答】解：﹣20元表示支出20元．
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）在厦门举办的金砖国家领导人第九次会晤和新兴市场国家与发展中国家对话会上，有一套瓷器餐具“先生瓷•海上明珠”令人瞩目．如图是餐具“先生瓷•海上明珠”中的一个瓷碗．关于这个瓷碗的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【解答】解：这个瓷碗的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3．（3分）根据统计，某奥林匹克旗舰店销售额从2月初开始猛增，在开幕式2月4日当天达到最高值，达到1160万元．其中数据1160万用科学记数法表示为（ ）
A．0.116×104万 B．1.16×103万
C．11.6×102万 D．116×10万
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1160万＝1.16×103万．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a3 B．a6÷a2＝a4
C．（a3）2＝a6 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故本选项不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故本选项不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）如图，∠1＝∠2＝58°，根据尺规作图痕迹，可得∠ADB的度数是（ ）
A．58° B．60° C．61° D．122°
【分析】根据作图过程可得AD是∠BAC的平分线，根据∠1＝∠2＝58°，可得AC∥BD，进而可以解决问题．
【解答】解：根据作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠1＝∠2＝58°，
∴AC∥BD，
∴∠ADB＝∠CAD，
∵∠1＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣58°＝122°，
∴∠ADB＝∠CADBAC＝61°，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
6．（3分）4月8日起，深圳“分级、分区、分批”有序推进各级各类学校（园）返校复课．学校要求学生每日测量体温．某同学连续14天的体温情况如表所示，则该同学这14天的体温数据的众数和中位数分别是（ ）
体温（℃）
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
天数（天）
1
4
3
3
2
1
A．36.3和36.4 B．36.3和36.45
C．36.3和36.5 D．36.7和36.3
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解即可．
【解答】解：出现次数最多的数36.3℃，
所以这组数据的众数为36.3℃，
这组数据的中位数是第7、8个数据的平均数，
所以这组数据的中位数为36.4（℃）．
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的定义．
7．（3分）某城市在旧城改造过程中，需要整修一段全长3000m的道路．为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成任务，若设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】关系式为：原计划用的时间﹣实际用的时间＝10，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意可列方程为：，
故选：D．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程；得到关于工作时间的关系式是解决本题的关键．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．平行四边形是中心对称图形
C．绝对值相等的两个数相等
D．抛物线y＝x2﹣2x与坐标轴有3个不同的交点
【分析】分别根据对顶角的定义，中心对称图形的定义，绝对值的性质已经二次函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．相等的角不一定是对顶角，故本选项不合题意；
B．平行四边形是中心对称图形，说法正确，故本选项符合题意；
C．绝对值相等的两个数不一定相等，如1和﹣1，故本选项不合题意；
D．抛物线y＝x2﹣2x与坐标轴有2个不同的交点，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，对顶角的定义，二次函数的性质以及绝对值的性质，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．
9．（3分）如图，一次函数y＝2x+3的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（ ）
A．（，2） B．（﹣1，1）
C．（，2）或（﹣1，1） D．不存在
【分析】设P（m，2m+3），根据矩形OCPD的面积列方程，即可求出点P的坐标．
【解答】解：设P（m，2m+3），
根据题意，得矩形OCPD的面积：（﹣m）（2m+3）＝1，
解方程，得m＝﹣1或m，
∴P点坐标（﹣1，1）或（，2），
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM，MC，BD．下列结论中：
①DM⊥MC；②；③当DM＝DA时，△DMN≌△CBN；④当∠DNM＝45°时，tan∠A．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】延长CM交DA的延长线于点E，如图，利用平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，再证明△AEM≌△BCM得到AE＝BC，ME＝MC，则DE＝DC＝AB，根据等腰三角形的性质得到DM⊥MC，则可对①进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由BM∥CD得到2，利用三角形面积公式，设△BMN的面积为S，则S△DNM＝2S，S△CDN＝2S△DNM＝4S，所以S△DBM＝3S，而S△ADM＝S△DBM＝3S，则可对②进行判断；当DM＝DA时，△ADM为等边三角形，则可计算出∠MDB＝30°，∠BCN＝30°，然后利用“AAS”可判断△DMN≌△CBN，则可对③进行判断；当∠DNM＝45°时，过D点作DF⊥AM于F，MH⊥CD于H，如图，利用△DMN为等腰直角三角形可设MN＝DM＝x，则CN＝2MN＝2x，利用勾股定理计算出CDx，则ADx，利用面积法计算出MHx，则DF＝MHx，接着利用勾股定理计算出AFx，所以tan∠DAF，于是可对④进行判断．
【解答】解：延长CM交DA的延长线于点E，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠E＝∠BCM，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM，
在△AEM和△BCM中，
，
∴△AEM≌△BCM（AAS），
∴AE＝BC，ME＝MC，
∵AB＝2AD，
∴DE＝DC＝AB，
∴DM⊥MC．所以①正确；
∵BM∥CD，
∴2，
设△BMN的面积为S，则S△DNM＝2S，
∴S△CDN＝2S△DNM＝4S，
∴S△DBM＝S△DNM+S△BMN＝2S+S＝3S，
而AM＝BM，
∴S△ADM＝S△DBM＝3S，
∴；所以②正确；
当DM＝DA时，
∴DA＝AM＝DM＝BC，
∴△ADM为等边三角形，
∴∠DAM＝∠DMA＝60°，
∴∠DMB＝120°，∠MBC＝120°，
∴∠MDB＝30°，∠BCN＝30°，
在△DMN和△CBN中，
，
∴△DMN≌△CBN（AAS），所以③正确；
当∠DNM＝45°时，过D点作DF⊥AM于F，MH⊥CD于H，如图，
∵∠DMN＝90°，
∴△DMN为等腰直角三角形，
设MN＝DM＝x，
∴CN＝2MN＝2x，
在Rt△DMC中，CDx，
∴ADCDx，
∵MH•CDDM•CM，
∴MHx，
∵AB∥CD，
∴DF＝MHx，
在Rt△ADF中，AFx，
∴tan∠DAF，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．也考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）
11．（3分）分解因式：3﹣3x2＝ 3（1+x）（1﹣x） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：3﹣3x2
＝3（1﹣3x2）
＝3（1+x）（1﹣x），
故答案为：3（1+x）（1﹣x）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．（3分）一道单项选择题有A、B、C、D四个备选答案，当你不会做的时候，从中随机地选一个答案，你答对的概率为 ．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：共有4种等可能结果，其中正确的答案只有1种，
所以答对的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（3分）如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为 6.4 cm．
[参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝32.7°，BC＝10cm，
∴AC＝BC•tan32.7°≈10×0.64＝6.4（cm），
∴肿瘤在皮下的深度AC约为6.4cm，
故答案为：6.4．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（3分）如图，点A是反比例函数y（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】连接OA，根据，△BCD的面积为2，即可求得△COD的面积为4，通过证得△ABD∽△COD，求得S△ABD＝1，进一步求得S△AOD＝2，得到S△AOB＝3，根据k的几何意义，可得|k|＝3，根据图象可知k＜0，即可求出k的值．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵，△BCD的面积为2，
∴△COD的面积为4，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥OC，
∴△ABD∽△COD，
∴（）2，
∴S△ABD＝1，
∵，
∴S△AOD＝2，
∴S△AOB＝3，
∵S△ABO|k|，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
根据图象可知，k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形的面积，反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为 32 ．
【分析】延长AO交BC于点E，延长CB到F使BF＝BC，则BD是△CFO′的中位线，BDFO′，点F、A、O′在同一条直线上时，FO′最长，此时BD的值最大，求出FO′的值，即可求出BD的最大值．
【解答】解：如图，延长AO交BC于点E，延长CB到F使BF＝BC，
∵BF＝BC，点D为线段CO′的中点，
∴BD是△CFO′的中位线，
∴BDFO′，
∵将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，
∴点O′在以A为圆心、AO为半径的圆上运动，
当点F、A、O′在同一条直线上时，FO′最长，此时BD的值最大，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，
∴BE＝ECBC＝8，AE⊥BC，
∴AE6，
∴AO＝AO′AE＝4，
∵BF＝BC＝16，
∴FE＝FB+BE＝16+8＝24，
∴AF6，
∴FO′＝FA+AO′＝64，
∴BDFO′（64）＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握三角形的重心的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，性质的性质，勾股定理，适当添加辅助线和辅助圆是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共55分。）
16．（5分）计算：．
【分析】先求出零指数幂、负整数指数幂，算术平方根，将特殊角三角函数值代入，再合并即可．
【解答】解：原式＝1﹣4+33
＝﹣3．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂，算术平方根，特殊角三角函数值等相关知识．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．
【分析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
•
，
当x＝1时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某学校组织了“冬奥知识知多少”竞赛活动，并随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，共分为六个等级：A+，A，B+，B，C+，C，并绘制了如下不完整的统计图．
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数为 200 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“A等级”所在扇形的圆心角是 129.6 °；
（4）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对冬奥知识的了解程度为“A+和A等级”的学生约有 1800 人．
【分析】（1）由B等级的人数和其所占的百分比即可求出本次调查抽取的学生人数；
（2）由B+等级所占的百分比求出B+等级的人数，即可补全条形统计图；
（3）由A等级所占的百分比即可得扇形统计图中“A等级”所在扇形的圆心角；
（4）由“A+和A等级”所占的百分比乘以该校学生总数即可求解．
【解答】解：（1）本次抽样的学生人数为24÷12%＝200（人），
故答案为：200；
（2）B+等级的人数为：200×20%＝40（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）扇形统计图中“A等级”所在扇形的圆心角是360°129.6°，
故答案为：129.6；
（4）估计该校学生对冬奥知识的了解程度为“A+和A等级”的学生约有：30001800（人）
故答案为：1800．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19．（8分）如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝2∠EAC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
【分析】（1）由切线的性质得到∠COE+∠C＝90°，再证得∠D＝∠COE，进而得到∠D+∠C＝90°，即可证得AD是⊙O的切线；
（2）根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵OA＝OE，
∴∠EAC＝∠AEO，
∵∠COE＝∠EAC+∠AEO＝2∠EAC，
∵∠D＝2∠EAC，
∴∠D＝∠COE，
∵⊙O与CD相切于点E，
∴∠OEC＝90°，
∴∠COE+∠C＝90°，
∴∠D+∠C＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠D＝90°，
∴DA⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得，∠BOE＝∠D＝60°，
∴∠C＝30°，
∴OC＝2OE＝2×4＝8，
在Rt△OCE中，
CE4，
∴阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形OBEOE•CE8．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，扇形的面积公式，圆周角定理，证得∠D＝∠COE是解决问题的关键．
20．（8分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
【分析】（1）设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，由题意：某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由题意：两种笔记本的总利润不少于2348元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，
由题意得：，
解得：，
答：购进了A种笔记本150本，购进了b种笔记本200本；
（2）由题意得：20m+25m+（150﹣m）×20×0.7+（200﹣m）×15﹣4800≥2348，
解得：m≥128，
答：m的最小值为128．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，0）．
（1）b＝ 2a+1 （用含a的代数式表示）；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴的另一交点为B，且AB＝3．求a的值；
（3）在（2）的条件下，当a为整数时，记抛物线的顶点为M．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线OM上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线的解析式．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线的解析式便可得结果；
（2）求出B点的所有坐标，再将A、B点坐标代入抛物线的解析式列出方程组解答便可；
（3）根据题意求得原抛物线的解析式及顶点M的坐标，再用待定系数法求出OM的解析式，设出新抛物线的解析式，代入原点坐标便可求得结果．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+2，得4a﹣2b+2＝0，
∴b＝2a+1，
故答案为：2a+1；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣2，0），B两点，且AB＝3，
∴B（﹣5，0）或（1，0），
当B点坐标为（﹣5，0）时，有，
解得，
当B点坐标为（1，0）时，有，
解得，
综上，a或﹣1；
（3）在（2）的条件下，当a为整数时，则a＝﹣1，b＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x）2，
∴顶点M（，），
设直线OM的解析式为：y＝mx，则m，
解得m，
∴直线OM的解析式为：yx，
∵平移后的抛物线的顶点在直线OM上，
∴可设新抛物线的顶点M′的坐标为（t，t），
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣t）2t，
∵平移后的抛物线恰好经过原点，
∴0＝﹣t2t，
解得t＝0或，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2或y＝﹣（x）2．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，当∠BEF＝25°，则∠FEA'＝ 25 °．
【特例探究】如图2，连接DF，当点A'恰好落在DF上时，求证：AE＝2A'F．
【深入探究】如图3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
【拓展探究】如图4，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
【分析】【问题背景】：由余角的性质和折叠的性质可求解；
【特例探究】：由“AAS“可证△BEF≌△A'EF，可得BE＝A'E＝AE，A'F＝BF，由锐角三角函数可求解；
【深入探究】：由“AAS“可证△BEF≌△A'EF，可得BE＝A'E＝AE，A'F＝BF，由锐角三角函数可求解；
【拓展探究】：设AE＝a＝A'E＝A'H＝EH＝EN，BN＝b，可得AB＝2a+b＝AD＝A'D，通过证明△DEA'∽△EFH，可得，可求解．
【解答】【问题背景】：解：∵EF⊥DE，∠BEF＝25°，
∴∠AED＝65°，
∵将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，
∴∠AED＝∠A'ED＝65°，
∴∠FEA'＝25°，
故答案为：25；
【特例探究】：证明：∵将△ADE沿直线DE折叠后，当点A'恰好落在DF上时，
∴AE＝A'E，∠A＝∠DA'E＝90°，
∴∠B＝∠EA'F＝90°，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠DEA'+∠FEA'，
∴∠BEF＝∠FEA'，
又∵EF＝EF，
∴△BEF≌△A'EF（AAS），
∴BE＝A'E＝AE，A'F＝BF，
∴AEAD，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠AED+∠ADE，
∴∠BEF＝∠ADE，
∴tan∠ADE＝tan∠BEF，
∴BE＝2BF，
∴AE＝2A'F；
【深入探究】：∵将△ADE沿直线DE折叠后，当点A'恰好落在DF上时，
∴AE＝A'E，∠A＝∠DA'E＝90°，
∴∠B＝∠EA'F＝90°，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠DEA'+∠FEA'，
∴∠BEF＝∠FEA'，
又∵EF＝EF，
∴△BEF≌△A'EF（AAS），
∴BE＝A'E＝AEAB，A'F＝BF，
∵AD＝mAB，
∴AEAD，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠AED+∠ADE，
∴∠BEF＝∠ADE，
∴tan∠ADE＝tan∠BEF，
∴BE＝2mBF，
∴AE＝2mA'F；
【拓展探究】：如图4，在BE上截取BF＝BN，连接NF，在A'F上截取FH＝FN，连接EH，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝AD，∠A＝120°，
∵∠B＝60°，BF＝BN，
∴△BNF是等边三角形，
∴BN＝BF＝NF，∠B＝∠BFN＝∠BNF＝60°，
∴∠ENF＝120°，
设∠BEF＝x，
∵∠DEF＝∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠BFE＝120°﹣x，∠AED＝60﹣x，
∴∠NFE＝60°﹣x，
∵∠DEB＝∠A+∠ADE＝∠DEF+∠BEF，
∴∠ADE＝∠BEF＝x，
∵将△ADE沿直线DE折叠后，当点A'恰好落在DF上时，
∴AE＝A'E，∠A＝∠DA'E＝120°，∠ADE＝∠A'DE＝x，∠DEA＝∠DEA'＝60﹣x，
∴∠EFA'＝60﹣x，
∴∠EFN＝∠EFH，
又∵EF＝EF，FN＝FH，
∴△EFH≌△EFN（SAS），
∴EN＝EH，∠BEF＝∠FEH＝x，
∵∠BEF+∠AED＝60°，
∴∠FEH+∠DEA'＝60°，
∴∠A'EH＝60°，
又∵∠EA'H＝180°﹣∠EA'D＝60°，
∴△A'EH是等边三角形，
∴A'E＝EH＝A'H，
∴设AE＝a＝A'E＝A'H＝EH＝EN，BN＝b，
∴AB＝2a+b＝AD＝A'D，
∵∠A'DE＝∠FEH＝x，∠EFH＝∠DEA'＝60°﹣x，
∴△DEA'∽△EFH，
∴，
∴，
∴ab+b，（负值舍去），
∴AEb+b，A'F＝a+b＝2bb，
∴A'FAE．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．
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