2021年重庆市北碚区西南大学附中中考数学十一模试卷

这是一份2021年重庆市北碚区西南大学附中中考数学十一模试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年重庆市北碚区西南大学附中中考数学十一模试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）如图所示图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列各式正确的是（　　）
A．2a2+3a2＝5a4 B．a2•a＝a3
C．（a2）3＝a5 D．＝a
3．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．了解玉米新品种“农大108”的产量情况适合作抽样调查
B．了解本校八年级（2）班学生业余爱好适合作普查
C．明天的天气一定是晴天是随机事件
D．为了解A市20000名学生的中考成绩，抽查了500名学生的成绩进行统计分析，样本容量是500名
4．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠2 D．x＞﹣1且x≠2
5．（4分）若5y﹣x＝7时，则代数式3﹣2x+10y的值为（　　）
A．17 B．11 C．﹣11 D．10
6．（4分）《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，则它们的面积比为（　　）

A．2：3 B．4：5 C．： D．4：9
8．（4分）圆O半径为5，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O切线，∠CAB＝30°，则BD长（　　）

A．10 B．5 C．5 D．
9．（4分）如图，某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC，某同学从建筑物底端A点出发，沿水平方向向右走12米到达D点，在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°，再经过一段坡比为1：2.4，坡长为6.5米的斜坡DE到达E点（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°，则宣传牌BC的高度为（　　）（参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1米）

A．1.4米 B．3.9米 C．4.0米 D．16.6米
10．（4分）若关于x的二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程＝2+有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
11．（4分）甲、乙两车分别从A地、C地同时向B地匀速行驶（C在AB两地之间），当甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向B地继续行驶，且此刻乙的速度大于甲的速度，到达B地后立即以提高后的速度返回，两车与C地的距离之和y（千米）与甲车行驶的时间t（时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲车的速度是（　　）

A．80km/h B．90km/h C．100km/h D．110km/h
12．（4分）如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），直线OA与双曲线y＝交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y＝交于点C，S△ABC＝10，＝，则k的值为（　　）

A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）据统计从2016年3月至2020年3月，中国网购用户人数从44500万人增加至71000万人，将数据71000用科学记数法表示为 　 　．
14．（4分）计算：|1﹣|+（﹣）﹣1﹣cos30°＝　 　．
15．（4分）小红有3张牌，标号为1，2，5；小白也有3张牌，标号为0，4，5；两人分别随机地取出1张牌，取出的两张牌标号数字之积为偶数的概率是　 　．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，AC＝6，BD＝6；以AD为直径构造⊙O，则阴影部分的面积是 　 　．

17．（4分）如图，△ABC满足∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，取AC的中点D，E为AB上任意一点，连接DE，将△CDE沿DE翻折得到△DGE（点G在直线AB右侧），DG交AE于点F，当S△ACE＝4S△FDE时，AF＝　 　．

18．（4分）春节前一周，重庆市某礼品店卖出毛绒玩具、泡泡相机、灯笼挂件若干，购买毛绒玩具、泡泡相机、灯笼挂件的人数依次增加，而价格依次减少，单价都是整数元．其中有4人购买了毛绒玩具，并且毛绒玩具的单价为34元，泡泡相机的单价是7的倍数，购买灯笼挂件的人数不超过10人，并且购买泡泡相机、灯笼挂件的人数之和与泡泡相机的单价相同．春节期间，礼品店的毛绒玩具、泡泡相机、灯笼挂件的单价分别上涨了6元、4元、3元，人数比春节前一周分别增加了1人、2人、3人，这样春节期间这三种商品的总销售额比春节前一周的总销售额增加了177元，那么春节前一周这三种商品的销售额为　 　元．
三、解答题（本大题8个小题，第19-25题每小题10分，第26题8分，共78分）
19．（10分）计算：
（1）2m（m+n）+（m﹣n）（m+n）；
（2）÷（x﹣2﹣）．
20．（10分）已知，如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线l（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且BE＝AC，BD＝AD，求证：∠ABE＝∠DAC．

21．（10分）为了更好迎接中考体考，某校需要了解八、九年级学生一分钟跳绳情况，现从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：0≤x＜180；B组：180≤x＜190；C组：190≤x＜200；D组：200≤x＜210；E组：x≥210）．学校对数据进行分析后，得到部分信息．

八年级被抽取的学生的跳绳个数在190≤x＜200这一组的数据是：
191 197 197 197 197 195
九年级被抽取的学生的跳绳个数在190≤x＜200这一组的数据是：
193 195 195 198 198 198 198 198
八、九年级学生跳绳个数的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
八年级
196
a
189
九年级
196
198
b
（1）填空：a＝　 　；b＝　 　；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生“一分钟跳绳”成绩更优异，请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若该校八、九年级共有学生1600名，估计这两个年级学生跳绳个数不少于200个的人数．
22．（10分）函数图象在探索函数的性质中具有非常重要的作用，下面我们对函数y＝x+（x≠0）展开探索，当x＝﹣6时，y＝﹣5，请结合已有的学习经验，补充完整以下探索过程：
（1）根据给定的条件，确定该函数的解析式为 　 　；
（2）如表是y与x的几组对应值，请把下表补充完整，并画出函数图象：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣3.8
﹣2.5
a
1
5
﹣5
﹣1
1
b
3.8
…
（3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质：　 　；
（4）结合函数图象，请直接写出2x+≤2的解集：　 　．（保留1位小数，误差不超过0.2）

23．（10分）火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元；
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．
24．（10分）阅读【材料一】：对于实数a，b，定义T（a，b）的含义：当a＜b时，T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b，例如：T（1，3）＝1+3＝4；T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3．
【材料二】：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法算出了正确的答案：
（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝＝5050，也可以这样理解：
令S＝1+2+…+99+100①，S＝100+99+…+2+1②，
①+②则：2S＝（1+100）+（2+99）+…+（100+1）＝10100，即S＝＝5050．
（1）已知x+y＝10，且x＞y，求T（5，x）﹣T（5，y）的值；
（2）对于正数m，有T（m2+1，1）＝3，求T（1，m+99）+T（2，m+99）+…+T（199，m+99）的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣），B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC平行线交BP于点N，求MN最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

26．（8分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，D，E两点在△ABC边上运动．
（1）如图1，当∠BAC＝120°时，D在边BC上，E在边AC上，BD＝CE＝2，求△ADE的面积．
（2）如图2，当∠BAC＝60°时，D在边BC上，E在AC延长线上，BD＝CE，连接AD、BE，取BE中点F，连接CF，H为CF上一点，G为AD上一点，连接BG、HG，且满足CH＝AG，求证：∠BGH＝60°．
（3）如图3，当∠A＝90°时，D在边AC上，E在边AB上，连接DE，求CD+DE的最小值．


2021年重庆市北碚区西南大学附中中考数学十一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）如图所示图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（4分）下列各式正确的是（　　）
A．2a2+3a2＝5a4 B．a2•a＝a3
C．（a2）3＝a5 D．＝a
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可．
【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，故选项A不合题意；
B、a2•a＝a3，故选项B符合题意；
C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；
D、＝|a|，故选项D不合题意．
故选：B．
3．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．了解玉米新品种“农大108”的产量情况适合作抽样调查
B．了解本校八年级（2）班学生业余爱好适合作普查
C．明天的天气一定是晴天是随机事件
D．为了解A市20000名学生的中考成绩，抽查了500名学生的成绩进行统计分析，样本容量是500名
【分析】根据问题特点，选用合适的调查方法．适合普查的方式一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．同时根据随机事件的定义，以及样本容量的定义来解决即可．
【解答】解：在A中范围太广，所以适合作抽样调查；
在B中范围较小，适宜作全面调查；
在C中，明天的天气具有不确定性，所以是随机事件；
在D选项中样本容量不带单位，所以错误；
故选：D．
4．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠2 D．x＞﹣1且x≠2
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥﹣1且x≠2．
故选：C．
5．（4分）若5y﹣x＝7时，则代数式3﹣2x+10y的值为（　　）
A．17 B．11 C．﹣11 D．10
【分析】根据5y﹣x＝7，可以求得代数式3﹣2x+10y的值．
【解答】解：∵5y﹣x＝7，
∴3﹣2x+10y
＝3﹣2（x﹣5y）
＝3+2（5y﹣x）
＝3+2×7
＝3+14
＝17，
故选：A．
6．（4分）《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得：．
故选：A．
7．（4分）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，则它们的面积比为（　　）

A．2：3 B．4：5 C．： D．4：9
【分析】根据位似图形的概念得到△A'B'C'∽△ABC，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴△A'B'C'∽△ABC，
∵△A'B'C'与△ABC的周长比是2：3，
∴它们的面积比为4：9，
故选：D．
8．（4分）圆O半径为5，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O切线，∠CAB＝30°，则BD长（　　）

A．10 B．5 C．5 D．
【分析】连接OC，则△ODC是直角三角形，解直角三角形即可求得∠D的度数，然后求得OD的长，进而得到BD的长．
【解答】解：连接OC，
∵DC是圆O切线，
∴∠OCD＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∴∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝10，
∴BD＝OD﹣OB＝10﹣5＝5．
故选：C．

9．（4分）如图，某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC，某同学从建筑物底端A点出发，沿水平方向向右走12米到达D点，在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°，再经过一段坡比为1：2.4，坡长为6.5米的斜坡DE到达E点（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°，则宣传牌BC的高度为（　　）（参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1米）

A．1.4米 B．3.9米 C．4.0米 D．16.6米
【分析】过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作EG⊥AB于G．分别在Rt△DEF和Rt△ABD中，通过解直角三角形求出EF、DF、AB的长，可得EG的长，在Rt△CEG中，∠CEG＝45°，则CG＝EG，由此可求出CG的长；根据BC＝CG+GA﹣AB即可求出宣传牌的高度．
【解答】解：（1）过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作EG⊥AB于G．

∴则四边形EFAG是矩形，
∴AG＝EF，AF＝EG，
Rt△DEF中，i＝tan∠EDF＝1：2.4，
∵DE＝6.5米，
∴EF＝2.5米，DF＝6米，
∵AD＝12米，
∴AF＝EG＝AD+DF＝18米，
在Rt△CEG中，∠CEG＝45°，
∴CG＝EG＝18米，
Rt△ABD中，∠ADB＝54°，AD＝12米，
∴AB＝AD•tan54°≈12×1.38＝16.56（米），
∴BC＝CG+GA﹣AB＝18+2.5﹣16.56＝3.94（米）≈3.9米，
即宣传牌BC的高度为3.9米．
故选：B．
10．（4分）若关于x的二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程＝2+有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据二次函数的性质列出不等式求得a的范围，解分式方程，根据分式方程的解为正数且不是增根，列出不等式，求出a的范围，最后根据a为整数，写出a的值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣ax+1的对称轴为：x＝﹣＝，当x≤﹣2时，y随着x的增大而减小，
∴≥﹣2，
∴a≥﹣4；
方程两边同时乘（x﹣2）得：﹣1＝2（x﹣2）+1﹣ax，
解得：x＝﹣，
∴﹣＞0，且﹣≠2，
∴a＜2且a≠1，
∴﹣4≤a＜2且a≠1，
∵a为整数，
∴a＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0．
故选：B．
11．（4分）甲、乙两车分别从A地、C地同时向B地匀速行驶（C在AB两地之间），当甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向B地继续行驶，且此刻乙的速度大于甲的速度，到达B地后立即以提高后的速度返回，两车与C地的距离之和y（千米）与甲车行驶的时间t（时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲车的速度是（　　）

A．80km/h B．90km/h C．100km/h D．110km/h
【分析】由图象知，t＝0时，甲车在A地，乙车在C地，此时两车到C地的距离和为80千米，于是AC的距离为80千米，2小时甲追上乙，因此速度差为：80÷2＝40千米/小时，设乙车原来速度为x千米/小时，则后来的速度为2x千米/小时，甲的速度为（x+40）千米/小时，相遇后，又行驶1小时，两车到C的距离和达到最大460千米，说明乙车已到B地，而甲未到，此时，乙车距C地的距离为4x千米，甲距C地的距离为[3（x+40）﹣80]千米，可以列出方程，解出乙车原速度，进而求出乙后来速度和甲的速度．
【解答】解：由图象可知：AC之间的距离为80千米，
两车的速度差为：80÷2＝40（千米/小时），
设乙车原速度为x千米/小时，则乙车后来速度为2x千米/小时，甲的速度为（x+40）千米/小时，由题意得：
3（x+40）﹣80+4x＝460，
解得：x＝60，
即：乙车原速度为60千米/小时，则乙车后来速度为120千米/小时，甲的速度为100千米/小时．
故选：C．
12．（4分）如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），直线OA与双曲线y＝交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y＝交于点C，S△ABC＝10，＝，则k的值为（　　）

A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【分析】连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F．根据OA∥BC，得到S△OBC＝S△ABC＝10，根据已知条件得到S△OPB＝，S△OPC＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于F．

∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝10，
∵＝，
∴S△OPB＝，S△OPC＝，
∵S△OBE＝＝4，
∴S△PBE＝，
∵△BEP∽△CFP，
∴S△CFP＝×4＝，
∴S△OCF＝﹣＝4，
∴k＝﹣8．
故选：C．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）据统计从2016年3月至2020年3月，中国网购用户人数从44500万人增加至71000万人，将数据71000用科学记数法表示为 　7.1×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：71000＝7.1×104，
故答案是：7.1×104．
14．（4分）计算：|1﹣|+（﹣）﹣1﹣cos30°＝　﹣3+　．
【分析】根据绝对值的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+（﹣2）﹣
＝﹣3+．
故答案为：﹣3+．
15．（4分）小红有3张牌，标号为1，2，5；小白也有3张牌，标号为0，4，5；两人分别随机地取出1张牌，取出的两张牌标号数字之积为偶数的概率是　　．
【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有9个等可能的结果，取出的两张牌标号数字之积为偶数的结果有7个，
∴取出的两张牌标号数字之积为偶数的概率为，
故答案为：．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，AC＝6，BD＝6；以AD为直径构造⊙O，则阴影部分的面积是 　3π﹣　．

【分析】根据菱形的性质得到AE、DE的长，证得△ACD是等边三角形，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝6，
∴AE＝3，DE＝3，AC⊥BD，
∴tan∠EAD＝＝，
∴∠EAD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
连接AF，OE，
∵AD是直径，
∴AF⊥CD，
∴DF＝CF＝3，
∴AE＝DF，
∴图中的阴影部分的面积＝S扇形EOD﹣S△EOD，
∵∠EAD＝60°，
∴∠EOD＝120°，
∴S扇形EOD＝＝3π，
∵S△AED＝＝＝，
∴S△EOD＝＝，
∴图中的阴影部分的面积＝3π﹣
故答案为：3π﹣．

17．（4分）如图，△ABC满足∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，取AC的中点D，E为AB上任意一点，连接DE，将△CDE沿DE翻折得到△DGE（点G在直线AB右侧），DG交AE于点F，当S△ACE＝4S△FDE时，AF＝　　．

【分析】利用折叠，将图形面积进行转换，找到对应边之间的关系求解．
【解答】解：连接AG，如图，
，
∵D是AC中点，
∴S△CDE＝S△ADE＝＝2S△FDE，
∴AF＝BF，
∵△CDE与△GDE对称，
∴S△GDE＝S△CDE＝2S△FDE，
∴DF＝FG，
∵AF＝BF，
∴四边形ADEG为平行四边形，
∴AD＝EG，
∵CD＝DG＝AD，GE＝CE，
∴CD＝DG＝GE＝CE，
四边形CEGDQ是菱形，
CE＝CD＝AC＝＝，
在Rt△CBE中，BE²＝CE²﹣CB²＝，
∴BE＝，
AF＝EF＝＝，
故答案为．
18．（4分）春节前一周，重庆市某礼品店卖出毛绒玩具、泡泡相机、灯笼挂件若干，购买毛绒玩具、泡泡相机、灯笼挂件的人数依次增加，而价格依次减少，单价都是整数元．其中有4人购买了毛绒玩具，并且毛绒玩具的单价为34元，泡泡相机的单价是7的倍数，购买灯笼挂件的人数不超过10人，并且购买泡泡相机、灯笼挂件的人数之和与泡泡相机的单价相同．春节期间，礼品店的毛绒玩具、泡泡相机、灯笼挂件的单价分别上涨了6元、4元、3元，人数比春节前一周分别增加了1人、2人、3人，这样春节期间这三种商品的总销售额比春节前一周的总销售额增加了177元，那么春节前一周这三种商品的销售额为　269　元．
【分析】设购买泡泡相机人数为m，购买灯笼挂件的人数为n，泡泡相机单价为a，灯笼挂件单价为b，根据题意列表分析，然后得出方程，计算即可．
【解答】解：设购买泡泡相机人数为m，购买灯笼挂件的人数为n，泡泡相机单价为a，灯笼挂件单价为b，根据题意列表分析如下：


毛绒玩具
泡泡相机
灯笼挂件
春节前一周
购买人数
4
m
n
商品单价
34
a
b
春节期间
购买人数
4+1＝5
m+2
n+3
商品单价
34+6＝40
a+4
b+3
∵春节期间这三种商品的总销售额比春节前一周的总销售额增加了177元，
∴5×40+（m+2）（a+4）+（n+3）（b+3）﹣34×4﹣ma﹣nb＝177，
解得：4m+2a+3n+3b＝96，
∵4＜m＜n≤10，m+n＝a，a为7的倍数，
∴a的值为14，
当a＝14时，m＝5，n＝9或m＝6，n＝8，
①当m＝5，n＝9时，
代入4m+2a+3n+3b＝96得4×5+2×14+3×9+3b＝96，
解得b＝7，
∴春节前一周这三种商品的销售额为：34×4+5×14+9×7＝269元，
②当m＝6，n＝8时，
代入4m+2a+3n+3b＝96得4×6+2×14+3×8+3b＝96，
解得：b＝（不合题意，舍去）
故答案为：269．
三、解答题（本大题8个小题，第19-25题每小题10分，第26题8分，共78分）
19．（10分）计算：
（1）2m（m+n）+（m﹣n）（m+n）；
（2）÷（x﹣2﹣）．
【分析】（1）去括号，合并同类项即可．
（2）先算括号内，再算括号外．
【解答】解：（1）原式＝2m2+2mn+m2﹣n2
＝3m2+2mn﹣n2．
（2）原式＝÷（﹣）
＝÷
＝×
＝．
20．（10分）已知，如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线l（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且BE＝AC，BD＝AD，求证：∠ABE＝∠DAC．

【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线；
（2）先根据”HL“证明Rt△BDE≌Rt△ADC，则∠DBE＝∠DAC，再利用角平分线的定义得到∠ABE＝∠DBE，从而得到∠ABE＝∠DAC．
【解答】（1）解：如图，l为所作；

（2）证明：∵AD是BC边上的高．
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE＝∠DAC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABE＝∠DAC．
21．（10分）为了更好迎接中考体考，某校需要了解八、九年级学生一分钟跳绳情况，现从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：0≤x＜180；B组：180≤x＜190；C组：190≤x＜200；D组：200≤x＜210；E组：x≥210）．学校对数据进行分析后，得到部分信息．

八年级被抽取的学生的跳绳个数在190≤x＜200这一组的数据是：
191 197 197 197 197 195
九年级被抽取的学生的跳绳个数在190≤x＜200这一组的数据是：
193 195 195 198 198 198 198 198
八、九年级学生跳绳个数的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
八年级
196
a
189
九年级
196
198
b
（1）填空：a＝　193　；b＝　198　；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生“一分钟跳绳”成绩更优异，请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若该校八、九年级共有学生1600名，估计这两个年级学生跳绳个数不少于200个的人数．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据中位数、众数进行比较得出答案；
（3）求出跳绳个数不少于200个的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）八年级20名学生跳绳个数从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝193（个），
因此中位数是193，即a＝193，
九年级20名学生跳绳个数出现次数最多的是198，共出现5次，因此中位数是198，即b＝198，
故答案为：193，198；
（2）九年级的学生“一分钟跳绳”成绩更优异，理由：九年级学生跳绳个数的中位数、众数均比八年级的高；
（3）1600×＝440（人），
答：估计这两个年级学生跳绳个数不少于200个的人数有440人．
22．（10分）函数图象在探索函数的性质中具有非常重要的作用，下面我们对函数y＝x+（x≠0）展开探索，当x＝﹣6时，y＝﹣5，请结合已有的学习经验，补充完整以下探索过程：
（1）根据给定的条件，确定该函数的解析式为 　y＝x﹣　；
（2）如表是y与x的几组对应值，请把下表补充完整，并画出函数图象：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣3.8
﹣2.5
a
1
5
﹣5
﹣1
1
b
3.8
…
（3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质：　该函数图象关于原点对称；当x＜0时，随x的增大而增大；当x＞0时，随x的增大而增大（答案不唯一，写出一条即可）　；
（4）结合函数图象，请直接写出2x+≤2的解集：　x≤﹣1.4或0＜x≤2.4　．（保留1位小数，误差不超过0.2）

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）利用函数解析式分别求出a、b的值，描点、连线即可得到答案；
（3）从函数的对称性、增减性去描述函数的性质；
（4）根据函数图象写出函数图象在直线y＝﹣x+2下方的自变量x的取值即可得到答案．
【解答】解：（1）x＝﹣6时，y＝﹣5，
∴﹣6+＝﹣5，
∴k＝﹣6．
∴该函数的解析式为y＝x﹣，
故答案为y＝x﹣；
（2）把x＝﹣3代入y＝x﹣得，y＝﹣3+2＝﹣1，
把x＝4代入y＝x﹣得，y＝4﹣＝，
∴a＝﹣1，b＝，
画出图象如图所示：

（3）该函数图象关于原点对称；当x＜0时，随x的增大而增大；当x＞0时，随x的增大而增大（答案不唯一，写出一条即可），
故答案为：该函数图象关于原点对称；当x＜0时，随x的增大而增大；当x＞0时，随x的增大而增大（答案不唯一，写出一条即可）；
（4）由图象得：不等式2x+≤2的的解集为x≤﹣1.4或0＜x≤2.4，
故答案为x≤﹣1.4或0＜x≤2.4．
23．（10分）火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元；
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．
【分析】（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，根据5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，
依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，
解得：x＝120．
答：A套餐的售价是120元．
（2）依题意得：（120﹣20）（1﹣a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+a%）＝48000，
整理得：3.2a2﹣80a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
24．（10分）阅读【材料一】：对于实数a，b，定义T（a，b）的含义：当a＜b时，T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b，例如：T（1，3）＝1+3＝4；T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3．
【材料二】：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法算出了正确的答案：
（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝＝5050，也可以这样理解：
令S＝1+2+…+99+100①，S＝100+99+…+2+1②，
①+②则：2S＝（1+100）+（2+99）+…+（100+1）＝10100，即S＝＝5050．
（1）已知x+y＝10，且x＞y，求T（5，x）﹣T（5，y）的值；
（2）对于正数m，有T（m2+1，1）＝3，求T（1，m+99）+T（2，m+99）+…+T（199，m+99）的值．
【分析】（1）根据x+y＝10，且x＞y，可得x＞5，y＜5，再根据当a＜b时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b，即可求解；
（2）由于m2+1≥1，由T（m2+1，1）＝3，可得m2+1﹣1＝3，根据m是正数可求m，再代入T（1，m+99）+T（2，m+99）+T（3，m+99）+…+T（199，m+99）得到原式＝1++99+2++99+3++99+…+100++99+101﹣﹣99+...+199﹣﹣99，再根据高斯求和公式即可求解．
【解答】解：（1）∵x+y＝10，且x＞y，
∴x＞5，y＜5，
∴T（5，x）﹣T（5，y）
＝5+x﹣（5﹣y）
＝5+x﹣5+y
＝x+y
＝10；
（2）∵m是正数、m2+1≥1，T（m2+1，1）＝3，
∴m2+1﹣1＝3，
解得m＝±（负值舍去），
∴T（1，m+99）+T（2，m+99）+T（3，m+99）+…+T（199，m+99）
＝1++99+2++99+3++99+…+100++99+101﹣﹣99+102﹣﹣99+...+199﹣﹣99
＝（1+2+3+…+199）+（100﹣99）×（+99）
＝（1+199）×199÷2++99
＝100×199++99
＝19999+．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣），B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC平行线交BP于点N，求MN最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

【分析】（1）设抛物线为顶点式，用待定系数法求得函数解析式；
（2）先用两点间距离公式求得PC的长，再利用相似三角形将MN用含ME的式子表示，并把MN表示成关于M点横坐标的二次函数，从而求得MN的最大值；
（3）先设出点Q的坐标，再利用三角形全等用含点Q横坐标的式子表示E、F的坐标，最后根据点E、F在抛物线对称轴上时横坐标为1求出点Q的横坐标，进而求得点Q的坐标．
【解答】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣

由于抛物线经过点B（﹣2，0），
∴a（﹣2﹣1）2﹣＝0，
解得：a＝，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4．
（2）易知：D点坐标为（0，﹣4），
可求得直线AD的函数解析式为y＝﹣x﹣4，
由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：
y＝﹣x+b，
又BP经过点B，得：﹣×（﹣2）+b＝0，
解得：b＝﹣1，
从而BP的解析式为y＝﹣x﹣1，
∴该直线与抛物线的交点P的坐标为（3，﹣），
又可求得点C（4，0），
∴PC＝＝，
过点M作ME∥x轴交直线BP于点E，
设点M的坐标为（m，n），则点E的纵坐标为n，
∴点E的横坐标为﹣2n﹣2，
∴ME＝﹣2n﹣2﹣m，
∵ME∥BC，MN∥PC，
∴∠E＝∠PBC，∠MNE＝∠BPC，
∴△MNE∽△CPB，
∴，
MN＝PC＝﹣（m+2n+2）
＝﹣（m+m2﹣2m﹣8+2）
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，MN有最大值，

（3）设点Q的坐标为（a，b），过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K，
∴△BMQ≌△QNF≌△EKB，
∴NF＝KB＝MQ＝a+2，QN＝EK＝BM＝b
∴点F的坐标为（a﹣b，a+b+2），
点E的坐标为（﹣2﹣b，a+2），
当点F在抛物线的对称轴上时，a﹣b＝1，
∴a﹣（a2﹣a﹣4）＝1，
解得：a＝2﹣（舍去正值），
得点Q的坐标为（2﹣，1﹣），
当点E在抛物线的对称轴上时，﹣2﹣b＝1，
∴﹣2﹣（a2﹣a﹣4）＝1，
解得：a＝1﹣（舍去正值），
得点Q的坐标为（1﹣，﹣3）．
26．（8分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，D，E两点在△ABC边上运动．
（1）如图1，当∠BAC＝120°时，D在边BC上，E在边AC上，BD＝CE＝2，求△ADE的面积．
（2）如图2，当∠BAC＝60°时，D在边BC上，E在AC延长线上，BD＝CE，连接AD、BE，取BE中点F，连接CF，H为CF上一点，G为AD上一点，连接BG、HG，且满足CH＝AG，求证：∠BGH＝60°．
（3）如图3，当∠A＝90°时，D在边AC上，E在边AB上，连接DE，求CD+DE的最小值．

【分析】（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．证明DA＝DB，推出∠B＝∠DAB＝30°，推出∠DAE＝90°，从而可以求解本题．
（2）延长CF到R，使得CF＝FR，连接BR，BH．证明△ABD≌△CBR（SAS），推出∠BAG＝∠BCH，再证明△ABG≌△CBH（SAS），推出BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，推出△GBH是等边三角形，可得结论．
（3）如图3中，在CA的下方作∠ACF＝45°，过点D作DT⊥CF于T，过点A作AH⊥CF于H．证明CD+DE＝（DE+CD）＝（DE+DT），求出DE+DT的最小值，从而可以求解本题．
【解答】（1）解：如图1中，过点D作DH⊥AB于H．

∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠DHB＝90°，BD＝CE＝2，
∴BH＝BD•cos30°＝，
∴BH＝AH＝，
∵DH⊥AB，
∴DB＝DA＝2，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴∠DAE＝90°，
∵AE＝AC﹣CE，
∴AE＝2﹣2，
∴S△ADE＝•AE•AD＝×2×（2﹣2）＝2﹣2．

（2）证明：延长CF到R，使得CF＝FR，连接BR，BH．

∵BF＝EF，∠BFR＝∠EFC，CF＝FR，
∴△BFR≌△EFC（SAS），
∴CE＝BR，∠R＝∠ECF，
∴BR∥AE，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，
∴∠CBR＝∠BCA＝60°，
∵BD＝CE，
∴BD＝BR，
∴△ABD≌△CBR（SAS），
∴∠BAG＝∠BCH，
∵AB＝CB，AG＝CH，
∴△ABG≌△CBH（SAS），
∴BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，
∴∠GBH＝∠ABC＝60°，
∴△GBH是等边三角形，
∴∠BGH＝60°．

（3）解：如图3中，在CA的下方作∠ACF＝45°，过点D作DT⊥CF于T，过点A作AH⊥CF于H．

∵DT＝CD，
∴CD+DE＝（DE+CD）＝（DE+DT），
∵DE+DT≥AH，AH＝AC•＝，
∴CD+DE≥2，
∴CD+DE的最小值为2．
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