2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数中：，，，每两个中间依次增加个，，，无理数的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 某种电子元件的面积大约为平方厘米，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，与位似，点为位似中心．已知：：，的面积为，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

6. 小开家、加油站和湿地公园依次在同一直线上．端午节期间，小开一家从家出发开车前往湿地公园游玩，经过加油站时，加满油后继续驶往目的地．汽车行驶路程千米与汽车行驶时间分钟之间的关系如图所示，下列说法错误的是(    )

A. 汽车经过分钟到达加油站 B. 汽车加油时长为分钟
C. 汽车加油后的速度比加油前快 D. 小开家距离湿地公园千米

7. 九章算术是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元，问有多少人？该物品价值多少元？若设有人，物品价值元，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题中真命题的个数是(    )
   在函数中，当时，；
   三角形的内心到三边的距离相等；
   顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；
   平分弦的直径垂直于弦；
   对于任意实数，关于的方程有两个不相等的实数根．

A.  B.  C.  D.

9. 菱形如图所示，对角线、相交于点，若，菱形面积等于，且点为的中点，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，直线与相切于点，是上的一点，过点于，交于点，连接若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之积是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知两个多项式、，其中为实数，
    若，则；
    存在实数，使得；
    已知，则的值为；
    当时，若，则的值为．
    以上结论中正确的个数有个(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. ______．
14. 在一个口袋中有个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是______．
15. 如图，在▱中，，，，以点为圆心，的长为半径作，交于点，交于点，连接，则图中阴影部分的面积为______．

16. 秋天是观赏银杏的最佳时节，某公园有一片银杏观赏区，种植有“佛手银杏”、“梅核银杏”以及“马玲银杏”三种银杏树为吸引更多市民，公园准备再移栽一批银杏树到观赏区，“佛手银杏”、“梅核银杏”以及“马玲银杏”三种银杏树的移栽棵数分别是原有棵数的，，，移栽后，原有银杏树的总棵数占现有银杏树总棵数的已知移栽一棵“佛手银杏”与“梅核银杏”的费用之比为：，移栽一棵“马玲银杏”与“佛手银杏”的费用相同，若移栽“梅核银杏”的总费用是移栽三种银杏树总费用的，则原有“佛手银杏”的棵数与原有三类银杏树总棵数的比值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，在正方形中，点在上，连接．
    用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，分别与、交于点、；不写作法和证明，保留作图痕迹
    在所作的图形中，求证：请补全下面的证明过程
    证明：四边形是正方形，
    ，．
    ，
    ．
    ，
    ______．
    ．
    又，
    ______．
    在和中：
    
    ______≌．
    ．

19. 本小题分
    年月日，中国人民银行召开数字人民币研发试点工作座谈会，在现有试点地区基础上增加重庆市等个城市作为试点地区，某校数学兴趣小组为了调查七、八年级同学们对数字人民币的了解程度，设计了一张含个问题的调查问卷，在该校七、八年级中各随机抽取名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
    七年级名学生答对的问题数量为：

八年级名学生答对的问题数量的条形统计图如图：

七、八年级抽取的学生答对问题数量的平均数、众数、中位数、答对题及以上人数所占百分比如表所示：两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中的，，的值；
根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解数字人民币？请说明理由写出一条理由即可；
若答对题及以上视为比较了解数字人民币，该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是多少？

20. 本小题分
    如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、两点．
    求一次函数和反比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
    若点、，连接、，求的面积；
    根据图象，直接写出当时，自变量的取值范围．

21. 本小题分
    巫云开高速起于巫溪县，经云阳县，止于开州区，是渝东北地区与主城都市区联系的重要通道，也是重庆过境大通道的重要组成部分，预计在年建成通车，为及时掌握巫云开高速通车后是否会对沿途居民生活产生噪音影响，施工单位派出了两名勘测师对已经修建好的高速路段进行勘测．如图，勘测师甲在一段自西向东的高速路上的处发现民宿在处北偏西方向上，与处距离为米，民宿在处北偏东方向上；勘测师乙在民宿处测得民宿在处北偏西的方向上．
    求的距离结果保留一位小数；
    当居住场所与高速路的距离不大于米的时候，人们的生活会被高速路上的噪声影响，相关部门可通过加装隔音墙来减少噪声污染，每米隔音墙的单价为元．请判断民宿是否会被高速路上的噪声影响？如果有被影响，则在对民宿有噪音影响的高速路段上全部安装隔音墙，请计算出安装隔音墙需要资金多少元？如果没有被影响，请说明理由．参考数据：，

22. 本小题分
    小明锻炼健身，从地匀速步行到地用时分钟．若返回时，发现走一小路可使、两地间路程缩短米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用分钟．
    求返回时、两地间的路程；
    若小明从地步行到地后，以跑步形式继续前进到地整个锻炼过程不休息据测试，在他整个锻炼过程的前分钟含第分钟，步行平均每分钟消耗热量卡路里，跑步平均每分钟消耗热量卡路里；锻炼超过分钟后，每多跑步分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗卡路里热量．问：小明从地到地共锻炼多少分钟？
23. 本小题分
    若一个四位数的十位数字与个位数字的平方差的绝对值恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这是四位数为“最美差数”．
    例如：，是“最美差数”
    又如：，不是“最美差数”
    判断，是否是“最美差数”，并说明理由；
    一个“最美差数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且满足：，记，，若为整数，除以余求出所有满足条件的．
24. 本小题分
    如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方的一点．
    求抛物线的解析式；
    如图，连接，过点作交于点，求长度的最大值及此时点的坐标；
    如图，将抛物线沿射线的方向平移，使得新抛物线经过点，并记新抛物线的顶点为，若点为新抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
25. 本小题分
    在等边中，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接．
    如图，当、、三点共线时，连接，若，求的长；
    如图，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
    如图，在的条件下，连接、交于点．若，请直接写出的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
无理数有，每两个中间依次增加个，，共个．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查积的乘方，掌握积的乘方运算法则是解题基础．根据积的乘方运算法则进行计算求解．
【解答】
解：原式，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：与位似，点为位似中心．
，
，
的面积为，
的面积为．
故选：．
根据位似图形的性质即可解决问题．
本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
．
故选：．
先计算再估计大小．
本题考查二次根式的运算和无理数的估计，正确计算二次根式的混合运算是求解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，汽车经过分钟到达加油站，故选项A不合题意；
汽车加油时长为分钟，故选项B不合题意；
汽车加油后的速度比加油前慢，故本选项符合题意；
小开家距离湿地公园千米，故选项D不合题意；
故选：．
根据函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：若设有人，物品价值元，根据题意，可列方程组为，
故选：．
根据“人数物品价值、物品价值人数”可得方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：在函数中，当或时，，故原命题是假命题；
三角形的内心到三边的距离相等，是真命题；
顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，是真命题；
平分弦不是直径的直径垂直于弦；故原命题是假命题；
对于任意实数，关于的方程的，
有两个实数根，故原命题是假命题，
真命题有两个，
故选：．
由反比例函数性质、三角形内心性质、中点四边形、垂径定理推论、一元二次方程根的判别式等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握反比例函数性质、三角形内心性质、中点四边形、垂径定理推论、一元二次方程根的判别式等知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，菱形面积等于，
，
，
，
，
点为的中点，，
，
故选：．
由菱形的面积公式可求，由勾股定理可求，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】法一、解：，
，
，，

作直径，连接，
，
是切线，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
过作于，
则四边形是矩形，，
，
，
．
故选：．
法二、解：连接，
，
，
，，
．
是的切线，
，
∽，
：：，即：：，
，
．
故选：．
根据勾股定理得到作直径，连接，根据切线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，过作于，根据垂径定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
关于的不等式组有解，
，即，
解分式方程得，
关于的分式方程的解为非负数，
，且，
解得，，且，
，且，
为整数，
或或或或，
满足条件的所有整数的值之积：．
故选：．
不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负整数解，确定出的值，求出之积即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：若，则，
解得或，故错误；
，
，
，
不存在实数，使得，故错误；
，
，
令得Ⅰ，
令得Ⅱ，
ⅠⅡ得：，
，故正确；
若，则，
，
，
，
，
，
，
，故错误；
正确的有一个，
故选：．
解方程，可判断错误；由，可判断错误；在中，令得Ⅰ，令得Ⅱ，可得，判断正确；由，即，可得，从而，，判断错误．
本题考查整式的运算，涉及一元二次方程，完全平方公式，特殊值法等知识，解题的关键是掌握代数式变形的一些基本方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
利用零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值进行计算．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值．
 

14.【答案】 

【解析】解：列表格为：

共有种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为，
所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率．
故答案为．
先列表格展示所有种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：在菱形中，
，
，
连接、，
，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据以及菱形性质可得和是等边三角形，，即可得阴影部分的面积为的面积．
本题考查菱形的性质，扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是明确阴影部分面积等于的面积．
 

16.【答案】 

【解析】解：设佛手银杏”、“梅核银杏”以及“马玲银杏”原有棵数为，，，
由移栽一棵“佛手银杏”与“梅核银杏”的费用之比为：，设移栽一颗“佛手银杏”，“梅核银杏”，“马玲银杏”的费用为，，，
由原有银杏树的总棵数占现有银杏树总棵数的得：，
化简得：；
移栽“梅核银杏”的总费用是总费用的，得： ，化简得；
由，可得：，
．
故答案为：．
设佛手银杏”、“梅核银杏”以及“马玲银杏”原有棵数为，，，设移栽一颗“佛手银杏”，“梅核银杏”，“马玲银杏”的费用为，，，根据“原有银杏树的总棵数占现有银杏树总棵数的”列方程求得；根据“”移栽梅核银杏”的总费用是总费用的“，列方程求得；联立可得，即可得出原有“佛手银杏”的棵数与原有三类银杏树总棵数的比值．
本题考查了方程的应用，解答本题的关键是设出多个未知数，根据题意找到等量关系列出方程．
 

17.【答案】解：

；




． 

【解析】直接利用完全平方公式、单项式乘多项式化简，进而合并同类项得出答案；
直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：图形如图所示：

证明：四边形是正方形，
，．
，
．
，
，
．
又，
，
在和中，
，
≌．
，
故答案为：，，，．
根据要求作出图形即可；
证明≌，可得结论．
本题考查作图基本作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：七年级名学生答对的问题数量为个的出现次数最多，故众数为题，故，
从统计图可知，八年级抽取的学生答对问题数量的中位数为：题，故，
八年级抽取的学生答对问题数量答对题以上的有人，
故八年级抽取的学生答对题及以上人数所占百分比为，故；
八年级抽取的学生答对问题数量的中位数及平均数均大于七年级抽取的学生答对问题数量的中位数及平均数，且八年级抽取的学生答对题及以上人数所占百分比高于七年级抽取的学生答对题及以上人数所占百分比，故八年级的学生更了解数字人民币．
该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是人． 

【解析】根据中位数、众数的定义即可求出，的值，八年级抽取的学生答对题及以上人数除以即可求出的值；
根据平均数、中位数、众数及学生答对题及以上人数所占百分比进行比较即可；
分别求出七、八年级的比较了解数字人民币的学生数再求和即可．
本题考查数据的收集与整理，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义，样本估计总体的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：反比例函数的图象过点，即，
，
反比例函数解析式为：，
又点在上，
，
，
又一次函数过、两点，
，
解得，
一次函数的解析式为；
在平面直角坐标系中画出一次函数的图象如图：
；
当时，，
函数与轴的交点为，
、，
；
观察图象，当时，自变量的取值范围或． 

【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据求得即可；
根据图象可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，三角形面积，函数与不等式的关系．
 

21.【答案】解：如图，过点作，过点作于，过点作于，
则，
，
由题意得：，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
米，
米，
米；
由得：是等腰直角三角形，米，
米，
，
米，
米米，
民宿会被高速路上的噪声影响，
设在上从到处受影响，则米，
，
米，
米，
安装隔音墙需要资金为：元． 

【解析】过点作，过点作于，过点作于，证是等腰直角三角形得，，再由含角的直角三角形的性质得米，然后由勾股定理得米，即可解决问题；
由含角的直角三角形的性质得米，再由米米，得民宿会被高速路上的噪声影响，设在上从到处受影响，则米，然后由勾股定理得米，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设返回时，两地间的路程为米，由题意得：
 ，
解得．
答：、两地间的路程为米；
设小明从地到地共锻炼了分钟，由题意得：
，
整理得，
解得，舍去．
答：小明从地到地共锻炼分钟． 

【解析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
可设两地之间的距离为米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；
可设从地到地一共锻炼时间为分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗卡路里热量，列出方程即可求解．
 

23.【答案】解：是“最美差数”，不是“最美差数”，理由如下：
，，
是“最美差数”，不是“最美差数”；
一个“最美差数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，
，
，
，
，为整数，
，或，或，或，或，，
，
，
除以余，
，或，，
，
，，，或，，，，
或． 

【解析】根据新定义进行解答便可；
根据一个“最美差数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，得，再根据，得，根据，为整数，求得、的值，再根据，得，根据除以余，进而确定、的值，再由，求得、的值便可求得．
本题主要考查了新定义，因式分解的应用，整除的性质，关键是综合应用新定义，因式分解的应用，整除的性质解题．
 

24.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
设抛物线解析式为，
将代入得，
抛物线解析式为；
抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
如图，过点作轴，过点作轴的平行线，交于点，
得于点，

，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，，
，，
，
整理得：，




，
当时，有最大值是，
此时，
长度的最大值为，此时点坐标为；
抛物线解析式为，
抛物线沿射线的方向平移，直线的解析式为，
设抛物线向右平移个单位，则向上平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
平移后的抛物线经过点，
，
解得，
平移后的抛物线解析式为，
，对称轴为直线，
设，，
当为菱形对角线时，，

得，
解得或舍去，
；
当为菱形对角线时，与互相垂直平分，
点和点对称，
，对称轴为直线，
；
当为菱形对角线时，，

，
解得，
，
，
，
或，
综上所述：点坐标为或或或 

【解析】根据抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，可以设抛物线解析式为，将代入得，进而可以解决问题；
首先求出直线的解析式为，过点作轴，过点作轴的平行线，交于点，得于点，根据题意可得是等腰直角三角形，由，可得是等腰直角三角形，所以，得，设，，可得，，整理得，由，进而可以解决问题；
由题意可设抛物线向右平移个单位，则向上平移，可确定平移后的抛物线解析式为，设，，根据菱形的性质分三种情况讨论：当为菱形对角线时；当为菱形对角线时，当为菱形对角线时，分别求出想，，的值，进而可以解决问题．
本题属于二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，

作于，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
在中，，，
；
如图，

，理由如下：
连接并延长至，使，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，，
，
，
；
如图，

连接，作于，
由知：，，，
，，
点、、、共圆，
，
，
，
，
，
，
在中，，
设，则，，
，，
，
，
． 

【解析】作于，先推出，进而求出，解，再解，从而求得
连接并延长至，使，先证得≌，进而证得≌，进一步得，，从而得出；
连接，作于，先证得点、、、共圆，从而得出，，设，解斜三角形和，进一步额求得结果．
本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是“倍长中线”及“四点共圆”等模型方法．