2018-2019学年朝阳外国语学校(亚运村初中部)八上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年朝阳外国语学校(亚运村初中部)八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 甲骨文是中国的一种古代文字，又称“契文”、“甲骨卜辞”、“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是汉字的早期形式，是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字．如图为甲骨文对照表中的部分内容，其中可以抽象为轴对称图形的甲骨文对应的汉字是
A. 方B. 雷C. 罗D. 安

2. 下列运算正确的是
A. 2a23⋅−ab=−8a7bB. 5x4−x2=4x2
C. 3a2⋅a3=2a6D. 2x2÷2x2=0

3. 下列根式是最简二次根式的是
A. 1.6B. 15C. 52D. 8a

4. 如图，在 3×3 的正方形网格中有四个格点 A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是
A. A 点B. B 点C. C 点D. D 点

5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. 2a2−2a+1=2aa−1+1B. x+yx−y=x2−y2
C. x2−6x+5=x−5x−1D. x2+y2=x−y2+2xy

6. 分式 5x23x−2y 中的 x，y 同时扩大 3 倍，则分式的值
A. 不变B. 是原来的 3 倍C. 是原来的 4 倍D. 是原来的 12

7. 在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个 Rt△ABC，使 ∠B=90∘，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了 ∠MBN=90∘ 之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是
A. SAS，HLB. HL，SASC. SAS，AASD. AAS，HL

8. 如图，在等边三角形 ABC 中，BD=CE，将线段 AE 沿 AC 翻折，得到线段 AM，连接 EM 交 AC 于点 N，连接 DM，CM，以下说法：① AD=AE=AM，② ∠ECA=∠MCA，③ CN=12EC，④ AD=DM 中，正确的是
A. ①②B. ①②③C. ①②③D. ①②③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 一种细菌的半径约为 0.000045 米，用科学记数法表示为 米．

10. 若实数 x，y 满足 ∣x−4∣+y−8=0，则以 x，y 的值为边长的等腰三角形的周长为 ．

11. 使分式 x2−1x+1 的值为 0，这时 x= ．

12. 已知 x2+mx+36 是完全平方式，则 m 的值为 ．

13. 2018 年雨季，一场大雨导致一条全长为 550 米的污水排放管道被冲毁．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加 10%，结果提前 5 天完成这一任务，问原计划每天铺设多少米管道?设原计划每天铺设 x 米管道，所列方程正确的是 ．

14. 已知 ab=2，则 a2−2ab−3b2a2−b2= ．

15. 若分式方程：2−1−kxx−2=12−x 无解，则 k= ．

16. 观察与猜想：
1+112+122=94=32；
1+122+132=4936=76；
1+132+142=169144=1312；
1+152+162=961900= ⋯⋯
那么 1+1n2+1n+12= （n≥1 的整数）．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 已知：线段 a，b．等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 b．求作这个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图过程．作法：如图，
①在射线 OA 上截取线段 OB=a；
②分别以点 O，点 B 为圆心，大于 12OB 长为半径画弧，两弧交于 C，D 两点；
③连接 CD，交 OB 于点 E；
④在直线 CE 上截取线段 EF=b；
⑤连接 OF，BF．
所以 △OBF 即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．证明：∵OC= ，OD= ，
∴CD 是线段 OB 的垂直平分线．（ ）

18. 计算：
（1）12−1+18−1−2+π−50；
（2）8+3×6−612．

19. 计算．
（1）已知：a2+3a−2=0，求代数 a−3a2−2a÷a+2−5a−2 的值．
（2）先化简：a−2a−1a÷1−a2a2+a，然后从 0，1，2 中选一个你认为合适的 a 值，代入求值．
（3）当 x=2−1 时，求代数式 1x−2÷x+1x2−4x+4−x−1x+1 的值．

20. 如图，△ABC 和 △DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，∠ABD=∠DCA，AB=DC．当 ∠AEB=100∘，求 ∠EBC 的度数．

21. 解分式方程．
（1）x2x−3+53−2x=4；
（2）1x−1−2x+1=4x2−1．

22. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，△ABC 三个顶点都是整点，坐标分别为 A1,1，B4,2，C3,4．
（1）△ABC 的面积为 ；
（2）画出一个整点三角形，使其与 △ABC 全等且只有一个公共顶点 C，此时点 B 的对应点的坐标为 ；
（3）在 x 轴上求作一点 P，使 △PAB 的周长最小，并直接写出点 P 的坐标．

23. “世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车 2015 年 12 月份销售总额为 32000 元，2016 年经过改造升级后A型车每辆销售价比 2015 年增加 400 元，现统计发现，2016 年 12 月份与 2015 年 12 月份卖出的A型车数量相同，但是 2016 年 12 月份销售总额为 40000 元，那么，2016 年A型车每辆销售价多少元?

24. 已知 ∠MON=α，P 为射线 OM 上的点，OP=1．A，B 均为射线 ON 上的点．
（1）如图 1，若 α=60∘，OA=1，OB>OA，△PBC 为等边三角形，且 O，C 两点位于直线 PB 的异侧，连接 AC．
①依题意补全图 1；
②判断直线 AC 与 OM 的位置关系并加以证明．
（2）若 α=45∘，PA=1，OB>OA，△PBC 为以 P 为直角顶点的直角等腰三角形，且 O，C 两点位于直线 PB 的异侧，连接 AC．上题结论还成立吗?若成立请画图证明，若不成立，说明理由（求出两条直线的夹角度数）．

25. 对于两个不等的非零实数 a，b，若分式 x−ax−bx 的值为零，则 x=a 或 x=b．又因为 x−ax−bx=x2−a+bx+abx=x+abx−a+b，所以关于 x 的方程 x+abx=a+b 有两个解，分别为 x1=a，x2=b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程 x+8x=6 的两个解中较大的一个为 ；
（2）关于 x 的方程 x+m−nmnx=m+4mn−n2mn 的两个解分别为 x1，x2x1（3）关于 x 的方程 2x+n2+2n−32x−1=2n+3 的两个解分别为 x1，x2x1
26. 在 △ABC 中，AC=BC，∠ACB=90∘，点 D 在 BC 的延长线上，M 是 BD 的中点，点 E 是射线 CA 上一动点，且 CE=CD，连接 AD，作 DF⊥AD，DF 交 EM 延长线于点 F．
（1）如图 1，当点 E 在 CA 上时，填空：AD DF（填“=”，“<”或“>”）；
（2）如图 2，当点 E 在 CA 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断 AD 与 DF 的数量关系，并证明你的结论．

27. 教材第 66 页探索平方差公式时设置了如下情境：边长为 b 的小正方形纸片放置在边长为 a 的大正方形纸片上（如图①），你能通过计算未盖住部分的面积得到公式 a+ba−b=a2−b2 吗?（不必证明）．
（1）如果将小正方形的一边延长（如图②），是否也能推导公式?请完成证明．
（2）面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图③），其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 c2，也可以表示为 4×12ab+a−b2，由此推导出重要的勾股定理：a2+b2=c2，图④为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你完成证明．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 a−2b2=a2−4ab+4b2，画在下面的网格（图⑤）中，并标出字母 a，b 所表示的线段．

28. 在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90∘，P 是线段 BC 上一动点（与点 B，C 不重合），连接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQ=CP，过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H，交 AB 于点 M．
（1）若 ∠PAC=α，求 ∠AMQ 的大小（用含 α 的式子表示）；
（2）过点 M 作 ME⊥QB 于点 E，请你猜想线段 ME 与 PQ 的关系并证明．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D
4. A【解析】找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示．
5. C
6. A
7. D
8. B
第二部分
9. 4.5×10−5
10. 20
11. 1
12. ±12
13. 正确
14. −1
15. ①②③
16. 31，30，1+1n+1 或 nn+1+1nn+1
第三部分
17. （1） 略．
（2） BC；DB；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
18. （1） 原式=2+32−2−1+1=2+32−2+1+1=4+22.
（2） 原式=43+32−32=43.
19. （1） 原式=a−3a2−2a÷a+2a−2a−2−5a−2=a−3a2−2a÷a2−4−5a−2=a−3aa−2⋅a−2a+3a−3=1aa+3.
∵a2+3a−2=0，
∴a2+3a=2，
∴原式=1a2+3a=12．
（2） 原式=a2−2a+1a÷1−a2a2+a=a−12a⋅aa+11−aa+1=1−a.
当 a=2 时，原式=1−a=1−2=−1．
（3） 原式=1x−2⋅x−22x+1−x−1x+1=x−2x+1−x−1x+1=x−2−x−1x+1=−1x+1.
当 x=2−1 时，
原式=−12−1+1=−22．
20. （1）如图，
在 △ABE 和 △DCE 中，
∠1=∠2,∠3=∠4,AB=DC,
∴△ABE≌△DCE．
（2）∵△ABE≌△DCE，
∴EB=EC，
∴∠5=∠6，
又 ∵∠AEB=∠5+∠6=100∘，
∴∠5=50∘，即 ∠EBC=50∘．
21. （1） 方程两边乘 2x−3，得
x−5=42x−3.
解得：
x=1.
当 x=1 时，2x−3≠0，
∴ 原分式方程的解为 x=1．
（2） 方程两边乘 x−1x+1，得
x+1−2x−1=4.
解得：
x=−1.
当 x=−1 时，x2−1=0，
∴ 原分式方程无解．
22. （1） 3.5
【解析】△ABC 的面积为：3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=3.5．
（2） 如图所示：△AʹBʹC 即为所求．
1,5
【解析】点 Bʹ 坐标不确定，此时坐标为：1,5．
（3） 如图所示：△PAB 的周长最小，P2,0．
23. 设 2016 年A型车每辆销售价 x 元，
根据题意得
32000x−400=40000x,
解得
x=2000,
经检验，x=2000 是所列方程的解，且符合题意．
答：2016 年A型车每辆销售价 2000 元．
24. （1） ①依题意，将图 1 补全：
② AC∥OM．
证明：连接 AP，
∵OA=OP=1，α=60∘，
∴△OAP 是等边三角形，
∴OP=PA，∠OPA=∠OAP=60∘，
∵△PBC 是等边三角形，
∴PB=PC，∠BPC=60∘，
∴∠OPA+∠APB=∠BPC+∠APB，
即 ∠OPB=∠APC，
∴△OBP≌△ACP，
∴∠PAC=∠O=60∘，
∴∠OPA=∠PAC，
∴AC∥OM．
（2） 变化．夹角为 45 度．
25. （1） x=4
（2） 12；2
（3） ∵2x+n2+2n−32x−1=2n+3，
∴2x−1+n2+2n−32x−1=2n+2．
∵n2+2n−3=n−1n+3，n−1+n+3=2n+2，x1 ∴2x1−1=n−1，2x2−1=n+3．
∴x1=n2，x2=n2+2．
∴x2−22x1=12．
26. （1） =
（2） 连接 BE，
∵∠ACB=90∘，点 D 在 BC 的延长线上，
∴∠ACD=∠BCE=90∘，
在 △ACD 与 △BCE 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵∠ACB=90∘，DF⊥AD，
∴∠BEC+∠MBE=∠ADC+∠MDF=90∘．
∴∠MBE=∠MDF．
∵M 是 BD 的中点，
∴MB=MD．
在 △BME 与 △DMF 中，
∠MBE=∠MDF,MB=MD,∠EMB=∠FMD,
∴△BME≌△DMFASA．
∴BE=DF．
∴AD=DF．
27. （1） 未盖住部分的面积为：aa−b+ba−b=a+ba−b，
也可以看作 a2−b2，
则 a+ba−b=a2−b2．
（2） ∵S梯形=12a+b2=12a2+2ab+b2，
又 ∵S梯形=12ab+12ba+12c2，
∴12a2+2ab+b2=122ab+c2，12a2+ab+12b2=ab+12c2，
得 c2=a2+b2．
（3） ∵ 图形面积为：a−2b2=a2−4ab+4b2，
∴ 边长为 =a−2b，
由此可画出的图形为：
28. （1） ∠AMQ=45∘+α．理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB 是等腰直角三角形，
∴∠PAB=45∘−α，∠AHM=90∘，
∴∠AMQ=180∘−∠AHM−∠PAM=45∘+α．
（2） PQ=2MB．理由如下：
连接 AQ，过点 M 作 ME⊥QB．
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=45∘+α=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM．
在 Rt△APC 和 Rt△QME 中，
∠MQE=∠PAC,∠ACP=∠QEM,AP=QM,
∴Rt△APC≌Rt△QMEAAS，
∴PC=ME，
∴△MEB 是等腰直角三角形，
∴ME=EB=PC，
∴2ME=PQ．